1、成都龙泉中学 2015 级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）（考试用时： 120 分 全卷满分：150 分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔 把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试
2、题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 2,|146xyA， (,)|3xBy，则 AB的子集的个数是：（ ）A4 B3 C 2 D12. 已知 为单位向量，且 与 垂直，则 的夹角为（ ）21,e1e2,eA. B. C. D.30600503若等差数列 满足 ，则 的前 2016项之和 （ ）na12015263ana2016SA1506 B1508 C1510 D15124.给出下列四个命题：“若 为 的极值点，则
3、 ”的逆命题为真命题；0x=yf0fx“平面向量 , 的夹角是钝角”的充分不必要条件是ab 0ba若命题 ，则 ；1:0px1:0px命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”.R2xR210x其中不正确的个数 是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 如图，已知平行四边形 中， ， ， 为线段 的中点， ，则（ ）A. B. 2 C. D. 16设 ，则对任意实数 a、b，若 a+b0 则（ ）Af （a）+f （b）0 Bf（a ）+f（b）0C f（a）f（b）0 Df（a）f（b） 07. 定义 矩阵 ，若 ，则 21214233=a cosin3()(2)cosinxf x(
4、)fx（ ）A. 图象关于 中心对称 B. 图象关于直线 对称,0 2xC.在区间 上单调递增 D. 周期为 的奇函数68. 如图所示的流程图,若输出的结果是 9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A17 B16 C15 D14第 8 题图9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个
5、月按 31 天算，记该女子一个月中的第 天所织布的尺数为 ，则nna的值为（ ）1329312480aaA. B. C. D. 6565162916310.已知函数 ，若 ， 则 的取值范围为（ ）|()cosxfe()(fxfxA B C D 1,31,31,21,)211. 已知 ， ，则曲线 为椭圆的概率是（ ）2,0a,2baxbyA. B. C. D. 74713812. 已知定义在 上的函数 与其导函数 满足,4fxfx，若 ，则点14()0xfxf1220xfxyey所在区域的面积为（ ）,yA. 12 B. 6 C. 18 D. 9第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考
6、题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22 23 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.已知抛物线 的准线方程为 ，则实数 a 的值为 . 14.设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切ln,0()21xfDx()yfx(1,0)线所围成的封闭区域，则 在 上的最小值为 . 2zy15在区间 上随机地取两个数 ，则事件“ ”发生的概率为 0,x5yx16.已知数列 与 满足 ，若 的前 项和为 且nab*12()3nabNnb3(21)nT对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 .8(3)2nb*三、解
7、答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17 （本题满分为 12 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a、b、c， ，ABC 的面积为 （）求 c 的值；（）求 cos（B C）的值18.（本小题满分 12 分）时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小 车租车点的收费标准是，不超过 2 天按照 300 元计算；超过两天的部分每天收费标准为 100 元（不足1 天的部分按 1 天计算） 有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次） ，设甲、乙不超过 2 天还车的概率分别为 ；2 天以上且不超过 3 天还车的概率分别 ；两1,
8、3 1,23人租车时间都不会超过 4 天（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E19. （本小题满分 12 分）2ya图 2图 1O GGCA BD A BCDEF FEO如图 1，在矩形 AB CD 中， ，点 分别5,2ABD,EF在边 上，且 ， 交 于点 现将 沿 折起，,ABCD4,1EFCGADF使得平面 平面 ，得到图 2F（）在图 2 中，求证： ；（）若点 是线段 上的一动点，问点 在什么位置时，二面角 的MMM余弦值为 3520.（本小题满分 12 分）椭圆 ： 的离心率为 ，过其右焦点 与
9、长轴垂直的直线与椭C21(0)xyab32F圆在第一象限相交于点 ， M|F（1）求椭圆 的标准方程；（2）设椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，点 是椭圆上的动点，且点 与点 ，CABPPA不重合，直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 ，求证：以BP3xS3xT线段 为直径的圆恒过定点ST21.（本小题满分 12 分）已知函数 2()ln,()fxaxR（）若 在 处取极值，求 在点 处的切线方程；f f(1,)f（）当 时，若 有唯一的零点 ，求0a()fx0x0.注 表示不超过 的最大整数，如x.6,21,52.参考数据： ln2.693,l1,ln59l7.46请考生在第 22
10、、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10 分。22.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 （ 为参数） 以 为极点， 轴的非负半轴sin1cotyxtOx为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 C2s()写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 的普通方程；C()若 ，求直线 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 的交点的极坐标4l23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|2|fxa（1 ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；6|23xa（2）在（1）的条件下，若存在
11、实数 使 成立，求实数 的取值范围n()()fmfnm成都龙泉中学 2015 级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）参考答案15 ACDCD 610 BCBBA 1112 DA13 8 1 4. 6515.【解析】在区间 上随机地取两个数 、 构成的区域的面积为 1，事件“0,1xy”发生构成的区域的面积为 ，所以所求概率为 5yx56100|d 616. 【解析】依题设，当 时， ；4,)n13bT当 时， ，2n 113(2)()2nnnnbT又当 时， ， . .11nna 等价于 ，8()na1()38(3)即 ， 对一切 恒成立，1(3)2362n*N令 ，则nf1()(nf
12、f，当 时， ，11()()422n4()(ff当 时， ，当 或 时， 取得最大值，5()ff5 ， ， .max()(4)16fn31617解：（） ，ABC 的面积为 = absinC= sin ，解得：a=5，由余弦定 理可得：c= = =76 分（）由（）可得：cosB= = = ，又B（0 ，） ，可得：sinB= = ，cos（BC）=cosBcos +sinBsin = + = 12 分18 【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， 78750E【解析】 （1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车 2 天内时，则甲租车 3 或 4 天，其概率为 ；1123P当乙租车
13、3 天时，则甲租车 4 天，其概率为 ；238则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为 51271P分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为 可为,600，700，800，900，1000， 6 分111360,70326328 6115902323PP 8 分6P故 的分布列为600 700 800 900 1000P1635613 10 分故 的期望为 121510780907506363E19.解：（）在矩形 中， , ,ABCD5,2A4,EDF ， 即 .tantanFDEOA在图 2 中， ， . OFz yx GD CBAFEOM又平面 平面 ，平面 平面 ，ADFBCADFBCA
14、F 平面 ， ，OOE依题意， 且 ，四边形 为平行四边形.E , ， 又 ，CO 平面 ， 又 平面 ， .DGDCEG（）如图 1，在 中， ， ，RtAF521,5F ， ， .FE484OE如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，则O， ， ，4(,0)5A1(,0)52(,)5D 8(0,)5， ， ， ，(,0)F82(0,)5E48(,0)5E ， 平面 ，EOAADF 为平面 的法向量.1(,)n设 ，则 ，M482(,(1),55E设 为平面 的法向量，则2(,)nxyzAF即 ，可取 ，20FA 0482(1)55xyz 2(0,41)n依题意，有 ，1222|3|cos,|
15、6()n整理得 ，即 ， ，2890404当点 在线段 的四等分点且 时，满足题意MDE1MDE20解：（1）解： ，又 ，联立解得： ，32cea因 为 2|bFa21ab，所以椭圆 C 的标准方程为 214xy（2 ）证明：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 AP 的方程为 ，(2)ykx联立 得 3x(5)Sk，0()Py设 ， ， 代 入 椭 圆 的 方 程 有 ： 2001(2)4xyx整理得： ，故 ，22001()4x20x又 ， ( 分别为直线 PA，PB 的斜率 )，02ykx02ykk，所以 ，0214所以直线 PB 的方程为： ，(2)4yxk联立 得 ，3x1T，所以以 ST 为直径的圆的方程为： ，2225151(3)88kkxy令 ，解得： ，0y532x所以以线段 ST 为直径的圆恒过定点 5302，21解：（1） 4 分710xy（2 ） 2lnfa32xaf0x令 ，则3gx26gx由 ，可得0,aa在 上单调递减，在 上单调递增gx,6,6
