1、标 题 : 研究生高等数值分析 (贾仲孝 )2003(zz) 1 证明不动点定理（存在唯一性） 2 第三章习题 8 3 共扼剃度法 ak 的选取，以及正交的证明 4 梯形法（迭代，相容，稳定区间） 具体为 dy/dt + y=0 y(0)=1? 5 求正交 阵使 H*（ 2/3 1/3 2/3） =e1 求 I 2ww （ w 的二范数为 1）的特征值 已知 H，问计算 Ha 的运算量 6 摄动原理 误差分析 7 拉各朗日插值（这里实际考的是代数基本定理的应用） 8 忘了 标 题 : 2005 研究生高值考题（贾哥版） 下面是 B 卷内容，总共六道题 1.用 Givens 变换 QR 分解一个
2、 3*2 的矩阵，并求解一个最小二乘 2.证明：对于 Minres 和 Gmres (1)A 有 k 个特征值时，至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同的特征值， r0 由 k 个属于不同特征值的特征向量构成时， k 步收敛（这里没有 “至多 ”） 3.A 为 m*n 矩阵， mn (1)用完全 QR 分解，不完全 QR 分解以及 SVD 表示 A+ (2)用完全 QR 分解以及 SVD 得到 min|Ax-b|问题的 xls 和 rls，并加以证明 4. (1)证明 Arnoldi 过程中断时找到准确解 (2)证明 Arnoldi 过程中断时不会发生方法中断 (3)当 A 为正定对称阵时
3、，证明 Lanczos 方法不会发生方法中断（即 WAV 非奇异，讲义上有的 ） 5.A=uv。 u,v 均为向量， A 的秩为 1 (1)证明 uv 为 A 的特征值 (2)A 还有哪些其他的特征值？（答案： 0） (3)用幂法求 A 的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案： 1 步） 6.关于 CG 的问题 (1)类似于推导 alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了 (2)当 A=I-BB时，其中 B 的秩为 p，用 CG 求解 Ax=b 问题，最多几步可收敛？为什么？ （答案： min(p+1,n)） 感觉把讲义上的东东都看懂了就没问题了，贾哥还是很好的人哪 _d 标 题 : 高等数
4、值分析 贾仲孝（ A 卷） 2006.1.10 1 A=1， 1， 1， 1； 0， 1， 2， 3， r 是最小化二乘问题 |b-Ax|的残差， r 可能是下面那个向量？给了 3 个向量。 用法方程，根据 Ar=0 解。 2 A=sqrt（ 2）， 1， 1； 0， 1， 1， b=（ 1， 1， 1） （ 1）用 Givens 变换求 A 的 QR 分解 （ 2）用 QR 求最小化二乘问题 |b-Ax| 3.（ 1）证 明对 Arnoldi 方法和 GMRES 方法， Arnoldi 过程中断，方法找到了精确解。 （ 2）证明如果 Arnoldi 方法中断，则 Arnoldi 过程一定不中
5、断。 4.（ 1）证明对于 MINRES 和 GMRES，如果 A 只有 k 个不同的特征值，则 k 步收敛。 （ 2）如果 A 的特征值互不相同， x0=0， b 由 A 的 k 个特征向量组成，证明 MINRES 和 GMRES方法 k 步收敛。 5（ 1）推导 alpha（ k），证明 r（ k）与一个什么向量垂直（记不起了。很简单，就是几步数学演绎） （ 2）为什么在绝对精确的计算下， CG， Lanczos， MINRES， Arnoldi， GMRES 方法至多 n 步一定找到精确解。 6（ 1）叙述 Rayleigh-Ritz 方法和精化的 Rayleigh-Ritz 方法的主要
6、收敛结论。 （ 2）描述 Arnoldi 方法和精化的 Arnoldi 方法。 标 题 : Re: 高等数值分析 贾仲孝（ A 卷） 2006.1.10 1.备选项： (a) 1 1 1 1; (b) 1 -1 -1 1; (c) -1 1 1 -1; 5(1).给定 phi(x_k) = (1/2)(x_k)A(x_k)- (x_k)b； 递推式 x_k+1= x_k + alpha * p_k，问 alpha 多少时使得 phi(x_k+1)最小，并证明 b - A(x_k+1)和 p_k 垂直。 标 题 : 高等数值分析（ 2007/1/16）贾仲孝 1.(1) f ( x_0 ) =
7、a， f ( x_1 ) = b， f ( x_2 ) = c， x_k = ( k - 1 )/h, k = 0,1,2, 求 f ( x ) 的拉格朗日差值多项式。 (2) 求 f(x) = |x| 在 -1 , 1 上的最小平方逼近，基函数取 1， x2 2.(1) 若 A 可对角化，则当 A 仅有 k 个不同特征值时，证明对于 A x = b MINRES 方法与 GMRES方法至多 k 步找到精确解。 (2) 若 A 的特征值各不相同，对 A x = b 而言，取 x_0 = 0， b 可以表示成由 k 个特 征向量，证明 MINRES 方法与 GMRES 方法 k 步找到准确解。
8、3. A = | 0 3 4 | | 3 0 0 | | 4 0 1 | (1) 用 Givens 变换实现 A 的相思变换使得 A 化成对称三对角矩阵 T ; (2) 用 Householder 变换实现 A 的 QR 分解。 4.取 G = -1 1 , x = g(x) = (x2 - 1)/3 , 求证上述变换在 G 内有唯一不动点。 5.取 x_k+1 = x_k + a_k d_k，其中 d_k 为迭代方向 (1)若选取 a_k 使得 | r_k+1 | = min | b - A x_k |，给出 a_k 的算式； (2)求证 r_k+1 与 A d_k 垂直； (3)若取 d_
9、k = r_k，证明对于任意的 x_0，则上述方法均收敛。 6.取 A = u v，其中 u 与 v 不正交。 (1)证明 v u 为 A 特征值； (2)证明 A 的其余特征值均为 0； (3)若对上述 A 使用幂法，则迭代几步之后收敛，收敛向量是什么？ 标 题 : 08 年 1 月数值分析试题 贾哥版： 1、算一个 2 阶拉格朗日插值， f（ x） =1/x，插值点， 2、 2.5、 4，写出插值函数，分析在 3点 的偏差。 1/60 我记得。然后 f（ x） =sqrt（ x），权函数 =1，问一阶最佳平方估计的插值函数 是多少？大概是 4/5x+2/15？这题其实用 chebyshev
10、 和拉格朗日都一样，一阶情况下一样的。 2、用 givens 和 householder 变换把 A QR 了。 A=0， 3， 4； 3， 0， 0； 4， 0， 1。 答案应该是 G 变化下，忘记了 ， H 变换下， R=5， 0， 0.8； 0， 3， 4； 0， 0， -3，只记得两个 R 不一样， QR 向来不唯一吧。 3、证明 Arnoldi 过程中断时 Arnoldi 方法找到了精确解，证明 Arnoldi 方法在第 k 步中断，则 Arnoldi 过程必不中断，证明 A=A 0 时 lanczos 方法一定不中断。比较简单 4、简述算部分特征值的 arnoldi 一般方法和精细
11、方法。略 5、 phi（ x） =1/2（ x， Ax） -（ x， b）， phi(x_k+a*p_k)在 a 取什么值时得到最小，其中 x_k 是Ax=b 的目前近似， p_k 是搜索方向，并且证明， b-Ax_k+1 垂直于 p_k。这题目课件的 CG 中都 有类似的证明，第一问求导，第二问直接算内积，把 x_k+1=x_k+a_k*p_k 的关系以及上面求 导的 a 的值代入即可。这里没有提到 CG，所以不能用 CG 的一些假设前提，比如 Pk*p_k=0就 好，实际上更简单了。第二问是在精确求解情况下，证明 CG， lanczos， MINRES、 Arnoldi， GMRES 五种
12、方法在 k=n 时都一定找到准确解。 CG、 M、 G 都是最优，有限步算法，比较简单， L、 A 主要是在 k=n 的条件下， AQ=QT 成立，没有那个小尾巴了，证明 T 的非奇异后，算 y 算 z 算 x， Ax 一算等于 b 于是精确解。 6、给了一个三阶矩阵 A=-3， 1， 0； 3， -2， 3； 0， 1， -3，给了一个初始向量 v0=1/sqrt（ 3）（ 1， 1， 1），用幂法求主特征值和主特征向量。一部就收敛了，然后 v1Av1 得到这特 征值 -5。 re 上文 1. 俺怎么是 1/40 2. Givens 的 QR 和 Householder 的 QR 确有不同，
13、而且计算过程很不一样，但是结果不过只是符 号的差别，元素算出来是一样的 3. 第 一 问 就 是 h_m+1,m=0=h_m+1,m|e_my|=0=|r_m|=0 第 二 问 是 方 法 中 断v_1,v_2,.v_m-1 正交，但是 v_m 和前面不正交，找一个向量 w,schmit 正交化并归一化得到w=w-sigma_i=1i=m(alpha_i*v_i)，用 v_1,v_2,.v_m-1,w作为 V 执行下一步 Arnoldi 4. 这个确实没什么好说的，见讲义，不过偶背的还是不 够清楚 -_- 5. 第一问按照定义和变分原理的推导过程走一遍就好 第二问也可以利用 Galerkin
14、投影原理，题目中的方法都基于 Galerkin 投影原理，所以可以 统一的化成 |r_m|的收敛性的问题加以说明 6. 幂法的迭代，真的就是一步就出来了 标 题 : 高等数值分析 2009.1 贾哥版 题目见往年考题，基本相同，换汤不换药 关键是这汤换得也太让人 ft 了 第一题插值， f(x)=sqrt(1+x),取 x=0， 0.6,0.9 这时告诉大家不让用计算器，我直接列完式子放弃计算了 然后用 Householder 把 A 矩阵 QR 了 经典的矩阵换成了一个十分变态的 2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2 算得时候根号套根号， Yd，我想拿放在一旁不让用的计算器砸人
15、了，还好最近看宽容，抑制了这种冲动。 所以建议后来者先做证明题，然后再回来算这种题。 补充一个 关于幂法的考题 ， 除了以往的那种直接求主特征值和特征向量外 还让叙述幂法 ， 以及证明： 主特征向量和第 k 步得到的特征向量近似之间的夹角为 e_k 求证主特征值与 k 步得到的特征值之间的差为 O(e_k2) 一共两问： 1）叙述幂法，证明特征值的差是 O(e_k) 2）全一矩阵求主特征对 标 题 : Re: 高等数值分析 2009.1 贾哥版 1、 (1)插值， f(x)=sqrt(1+x),给了 3 个点 0， 0.6， 0.9 (2)最小二乘，基函数为 1,x2，在区间 -1,1， f(
16、x)=|x| 2、证明 (1)A 只有 k 个不同特征值且能够对角化时， MINRES 和 GMRES 至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同特征值但是 r0 只由 k 个特征向量线性组合， MINRES 和 GMRES 迭代 k 步收敛 3、 (1)x_(k+1)=x_k+alpha_k*d_k,求使得 |x-x*|尽量小的 alpha_k，其中 x*=inv(A)*b (2)证明 (x_k-x*)垂直于 d_k (3)f_k=A*d_k，取 f_k=b-A*x_k 方法是否一定收敛 4、 (1)叙述幂法 特征值 lambda_a 对应的特征向量为 x_1,sin (x1,vk)=eps
17、ilon_k, 证明 |rho-lambda_1|=O(epsilon2) (2)A=1,1,1;1,1,1;1,1,1,用幂法求主特征值和特征向量 5、 A=2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2 (1)用 Givens 变换变成 3 对角 (2)用 Householder 变换作 QR 分解 标 题 : 高等数值分析 _贾仲孝 自由空间 (Thu Jan 15 22:05:35 2009), 站内 第四题和第五题记得不是特别清楚。 1. 1.) f(x)=sqrt(1+x),x_0=0,x_1=0.6,x_2=0.9,求二次插值多项式。并计算 f(0.44),计算在该点准确值与估计
18、值的误差； 2.) f(x)=abs(x),积分区间 -1,1,phi(x)=1,x*x,权函数为 1，求最佳逼近 2. 矩阵 A 可以对角化， A*x=b，取 x_0=0.对于 MINRES 和 GMRES 方法； 1.) 当 A 仅有 k 个不同特征值时，证明至多 k 步即可收敛 2.) 若 A 的特 征值各不相同， b 可以表示成 k 个特征向量的线性组合，证明 k 步找到准确解； 3.矩阵 A=2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2 1.) 利用 givens 变换把 A 转化成对称三对角矩阵 2.) 利用 householder 变化实现 A 的 QR 分解 4.Ax=b
19、,x_*为方程的精确解， x_*=(A-1)*b, x_k+1=x_k + alpha_k * d_k,其中 d_k 为搜索方向，d_k= A*f， f 为非零向量， 1.) 确定 alpha 的表达式使得范数 |x_* - x_k+1|尽可能小 2.) 证明 x_* - x_k+1 与 d_k 正交， (alpha 的表达式中不要显示 x_*) 3.) 若取 d_k = r_k= b - A*x_k,问算法是否收敛，说明理由 5. 1.) A 为实数矩阵，且特征值满足 lamda_1lamda_2=.=lamda_n 陈述幂法，并证明sin (v1,x1)=O(dieta), p 为第 k 步幂法得到的特征值，证明 |p-lamda|=O(dietak),就是说精度是 dieta 的 k 次方量级。 2.) 利用幂法求下列矩阵的主特征值和特征向量 A= 1 1 1; 1 1 1; 1 1 1 一步收敛，特征值是 3，特征向量是 1/sqrt(3)* 1 1 1 发信人 : AlexPiero (我心黑白 ), 信区 : Pretest 标 题 : 高等数值分析 贾哥 2010.01.20 今年贾哥很厚道啊，几乎拿得是 06 年的卷子。我就不抄写了，和以前的题是一样的 按着 pretest 上的年号 -题号看就可以了。 06-3 06-2 06-4 06-5 07-1 06-6
