1、第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：12kbax +，且0x =的充要条件是0x =； ：齐次性：x x= ：三角不等式：x yxy+ 1范数：11niix x=2范数：12221()niixx=范数：1maxiinx x= p范数：11()nppipixx=2）矩阵范数： ：非负性：0A ，且0A =的充要条件是0A=； ：齐次性：AA= ：三角不等式：AB A B+ + ：乘法不等式：AB A B F范数：12211nnijFijAa=1范数：111maxnijjniA a=，列和最大 范数：111maxnijinjA=a，行和最大 2范数：2()HA AA=
2、，其中1()maxHiinAA =，i为HA A的特征值，()AA 3 Gauss）消元法（上三角阵）：313M n； 3Gauss-Jordan消元法（对角阵）：12M n； 列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位：分解法：A=LU，L单位下三角阵，上三角阵 U单位上三角阵全选主元消元置； 4）三角分解法： Doolittle U：Crout分解法：A=LU，L下三角阵， ：Cholesky分解法：A对称正定，TA LL=，L为单：改进的Cholesky分解法：A对称正定，位
3、下三角阵 TA LDL=，L为单位下三角阵，D为对角阵 Crout分解法解三对角方程 5）矩阵的条件数：追赶法：1() 1cond A A A=，谱条件数：1222()cond A A A= ()1()ACond AxAAxCond AA11()1IBB+6）如果1B nS0,0, ,Re( ) 0(0)RyyxabCyy= =用以求解绝对稳定区间 6）线性多步法德一般格式：ni局部阶段误差+（系数通过Taylor展开构造） 其中绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定101() () ()ppniniiiiyx ayx h by x+=+()01() () ()qqnn
4、n qnTCyx Chyx Chyx=+ +nullnull0010110111 ( ) 11()!qqiCiaq()iiiiiippqiiiCabb= =pppCia= + + = 线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数22rp= + 00C =10C =7）线性多步法的收敛性判断：称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式i10()pppiirr ar+ =， 第二特征多项式iirbr1()ppi=当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件 收敛相容且满足根条件 稳定多项式（特征多项式）8）数值稳定性判断：(, ) () ()rh r h r = 令hh =，()irh是稳定多项式的根，20() 1 ( )rh h oh=+ + ：若对任意,hab R有0() ()irh rh，且当0() ()irh rh=时，()irh为单根，则称为相对稳定区间； ,ab：若对任意,hab R有() 1irh，则称,ab为绝对稳定区间
