1、例谈立体几何中的轨迹问题上海虹口 田庆涛引例 如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线本题是2008年浙江省高考题，诸如此类的立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模考与高考中频出，本文就高中范围内，常见轨迹产生的原理进行分析，给出立体几何中轨迹问题的两种常见的处理方法.一、平面截圆柱面所得的截线曲线在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行线所生成的曲面叫做柱面，平行直线中的每一条直线叫做柱面的母线1.特别地，在空间，到定直线的距离为定值的动点（或动直线）形成的轨迹为以定直线为轴的圆柱
2、面，平面截圆柱面产生的截口轨迹通常为圆、直线、椭圆等.命题12 圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆.如图，平面APB为圆柱面的截线，其中AB为截面与圆柱的轴截面的交线，下面证明截线为椭圆：分别作焦球与截面相切，切点分别为 1F， 2F ，在截线上任取动点P，过P作圆柱的母线，与焦球分别切于M、N两点，连接 1PF、 2PF ，易知 1PF PM ，2PF PN ，所以有： 1 2PF PF PM PN MN 即动点P到定点 1F， 2F 的距离之和为定值MN，所以P的轨迹为以 1F， 2F为焦点，以MN为长轴长的椭圆.命题2 圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线.命
3、题3 圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆.二、平面截圆锥面所得的截口曲线在空间，通过一定点，且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面1.特别地，过定直线l上的某一定点O，且与定直线l成等角（非直角）的直线族所生成的曲面为圆锥面，定直线l为圆锥面的轴，直线族中的每一条直线均为圆锥面的母线，定点O为圆锥面的顶点.圆锥面被平面截得的截口曲线可以为直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等.命题42 当截面与圆锥的轴垂直时，截面曲线为圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的同一叶时，截得的曲线为椭圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的不同叶中时
4、，截面曲线为双曲线；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线中的某一条平行时，截面曲线为抛物线.如图，平面PQL为圆锥面的截面，其中AK为截面与圆锥的轴截面的交线，做焦球与截面切于F，设P为截线上的任意动点，过P作母线与焦球切于M，易知，PM PF NB ，AN AF ， NKA BJA ，所以AN AB AN AB NBAK AJ AK AJ KJ ，结合AN NBAK KJ ，PM PF NB ，AN AF ，KJ PQ ，可得：PF AN ePQ AK ，由此，F为截线的焦点，直线LQ为截线的准线，定值ANAK 为截线的离心率，直线KJ为截线的焦点轴.P1F 2FA BNMP FM O
5、N QA B KLJA B P当焦点轴与圆锥面的母线平行时， 1ANAK ，此时截线为抛物线；当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于同一叶时，0 1ANAK ，此时的截线为椭圆；当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于不同叶时， 1ANAK ，此时截口曲线为双曲线.三、立体几何中轨迹问题的两种常见处理方法（1）几何法借助曲线的定义或几何图形的特征进行识别轨迹类型的方法称之为几何法.使用几何法时，需特别关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，同时还需关注被截面的类别，常见的被截面有平面、圆柱面与圆锥面等.如两平面的交线为直线，平面截圆柱面所得截口曲线可以为圆或椭圆，平面截圆锥面所得截口曲线可以为圆、椭圆、
6、抛物线、双曲线等，具体可以结合前文的命题进行识别.（2）代数法建立坐标系，通过解析法，求出截口曲线的轨迹方程的方法称为代数法.使用代数法时，一般需要选择合适平面，建立的平面直角坐标系，在截口曲线上任取点 ,P x y ，依照题中的条件，建立方程并化简，得到方程 , 0f x y （高中范围内，通常只涉及到两个变量的方程），最后结合方程的特征识别轨迹的类型.【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系，但此类问题中最终的方程一般只含有两个变量.四、立体几何中常见的轨迹问题举例（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法.例1、（2006北京）平面的斜线AB交于点B
7、，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是( )A一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【解析】直线l运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面，由公理二易知点C刚好落在平面与线段AB的垂面的交线上，所以动点C的轨迹是一条直线.选择A.【点评】空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，在处理问题中注意识别即可. B CAlA A AN N NK K K KK【变式】（2004重庆）若三棱锥A BCD 的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与 ABC 组成图形可能是（ ）A. B. C. D.【解析】显然点B点符合题目要求，
8、在 ABC 中取一点符合条件的点P，过P分别作平面BCD、线段AB的垂线，垂足分别为E、F，即有PE P F ，连接BP，在线段BP上取点P，在 BP E 与 BP F 中分别作PE 、P F 的平行线，分别交BE、BA于E、F两点，易知，P E 平面BCD，P F AB ，结合相似不难得到P E P F ，由此可知符合条件的点P的轨迹为直线BP，排除A、B选项，对比C、D选项，易知选择D.【变式】如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M为BC中点，点N在四边形 1 1CDDC 内运动，且 1 1MN AC ，则N点的轨迹为（ ）A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D
9、.双曲线的一部分【解析】过N向平面ABCD作垂线，垂足为H，则AC MH ，所以H为DC中点，不难得到N点的轨迹为一条线段.AB C AB C AB C AB CP P P P AB C DEEF F PPA B CD1A 1B 1C1D N M A B CD1A 1B 1C1D N MH例2、如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，若四边形 1 1ABCD 内一动点P到 1AB和BC的距离相等，则点P的轨迹为（ ）A椭圆的一部分 B圆的一部分C一条线段 D抛物线的一部分【解析】由于 1AB 平面 1 1ABCD ，连接OP，此即为点P到 1AB的距离，由此，动点P到 1AB和
10、BC的距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题，符合抛物线的定义，所以本题选D.【点评】立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.【变式1】在正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，若平面 1 1ABCD 上一动点P到 1AB与到BC的距离比为2，则点P的轨迹为（ ）A椭圆的一部分 B圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分【答案】C【变式2】在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，若平面 1 1ABCD 上一动点P到 1AB与到BC的距离比为12，则点P的轨迹为（ ）A椭圆的一部分 B圆的
11、一部分C一条线段 D抛物线的一部分【答案】A A B CD1A 1B 1C1D PO例3、（2008浙江）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得 ABP 的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线【解析】考虑到三角形的面积为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到P点在此圆柱面上，又点P在平面内运动，所以点P在平面与圆柱面的截线上，由于AB是平面的斜线段，所以平面与圆柱面斜交，由命题1，可以得到动点P的轨迹是椭圆，选择B.【点评】“动中寻静”，
12、充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程.例4、已知动点P在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的侧面 1 1BBCC中,且满足 1 1PD D BD D ,则动点P的轨迹是（ ）的一部分A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【解析】由于 1 1PD D BD D ，所以可视点P为以 1DD 为轴，以1D B为母线的圆锥面上的动点，又动点P在 1 1BBCC中，所以动点P在平面 1 1BBCC与圆锥面的截线上，由于 1 / /DD 平面 1 1BBCC，所以平面 1 1BBCC与圆锥轴截面的母线的交点在不同叶上，截口曲线为双曲线，选择C.【点评】结合圆锥面生成过程，识
13、别圆锥面是解决问题的前提，平面截圆锥面所得的截口曲线的识别，需关注截面与圆锥轴截面母线的位置关系，辩证识别.【变式】（2014上海八校联考）设B、C是定点，且均不在平面上，动点A在平面上,且 1sin 2ABC ，则点A的轨迹为（ ）A.圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D.以上均有可能【解析】由 1sin 2ABC ，可知 ABC 为固定角，由于B、C是定点，可视点A为以直线BC为轴，AB为母线的圆锥面上的动点，又动点A在平面上，所以点A在平面 与圆锥面的截线上，由于截面与母线的位置关系不定，所以截线可以为圆、椭圆、双曲线、抛物线等，本题选择D.A B P A B CD1A 1
14、B 1C1D P例5、如图，在矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将 ABE 沿着直线BE翻转成 1ABE ，使平面 1ABE 平面ABCD，则点 1A的轨迹是（ ）A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.以上都不是【解析】将 ABE 沿着直线BE翻转成 1ABE 的过程中，1AB的长度始终是保持不变的，这样，点 1A在以B为球心，以AB为半径的球面上，所以点 1A的形成轨迹为圆弧，选择B.【点评】在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.例6、已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点
15、P到直线1 1AD的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直线【解析】本题从几何的角度很难找到突破口，可以尝试从代数的角度处理：如图，建立直角坐标系x D y ，设 ,P x y ，则有2 1y x 化简可得： 2 2 1x y ，即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择B.【点评】“数缺形式少直观，形缺数时难入微”，轨迹问题更是如此，从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好方法.【变式1】已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，M在棱AB上，且 13AM ，点P在平面A
16、BCD上，动点P到直线 1 1AD的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1，则点P的轨迹为（ ）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D直线【解析】涉及到数值的具体量化，采用代数法，建立如图所示的直角坐标系x A y ，设 ,P x y ，则有 2 22 11 1 03x x y 化简可得：2 2 13 9y x ，故点P的轨迹为抛物线，选择A.A B CD1AEA B CD1A 1B 1C1D MPx yQNA B CD1A 1B 1C1DM P xyA B CD1A 1B 1C1DM P【变式2】四棱锥P ABCD ，AD 面PAB，BC 面PAB，底面ABCD为梯形， 2BC AD ，APD
17、CPB ，则四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）A圆 B不完整的圆 C抛物线 D抛物线的一部分【解析】结合题中的条件易知 2PDPA ，在平面PAD内符合“阿氏圆”定义，考虑到P不能在直线AD上，故顶点P的轨迹是不完整的圆，选择B.（2）与轨迹相关的度量与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹面的面积，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的角度、距离、周长等.例1、在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,M N分别为 1AC 、 1 1AB的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长为_.【解析】依照题意，只需过点M作直线BN的垂面即可，垂面与正方体
18、表面的交线即为动点P的轨迹.分别取 1CC 、 1DD 中点G、H，易知BN 平面AGHD，过M作平面AGHD的平行平面EFG H ，点P所构成的轨迹即为四边形EFG H ，其周长与四边形AGHD的周长相等，所以点P所构成的轨迹的周长为2 5 .【点评】本题中面面的交线（截痕）即为动点P的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转化.例2、已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在 1DD 上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的表面积为_，体积为_【解析】线段MN移动中， MDN 始终为直角三
19、角形，所以1 12PD MN ，即动点P到定点D的距离为定值，故点P的轨迹为以D为球心，1为半径的球，考虑到与正方体围成的几何体为18球，所以几何体的体积为6 ，表面积为18球面外加三个扇形的面积，表面积为54 .【点评】识别动点轨迹是进行量化的前提，本题中涉及球的概念识别.A B CD1A 1B 1C1D NM PA D CBP A BCD 1A 1B1C1D NM A BCD1A 1B1C1D NME GFH GH例3、正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为1，P为侧面 1 1BBCC内的动点，且 2PA PB ，则P点在四边形 1 1BBCC内形成轨迹图形的长度为_【解析】
20、符合“球在空间到两定点距离之比为定值（定值不为1）的点的轨迹”的定义，所以P点在空间形成的轨迹被平面 1 1BBCC截得的轨迹为圆，涉及到具体长度，需要代数法进行量化，建立如图所示的空间直角坐标系：设 ,0,P x z ，依照题意，则有：2 2 2 22 1x z x z 化简可得： 2 2 13x z ，所以在平面 1 1BBCC内的轨迹为以B为圆心，以 33 为半径的圆，在四边形1 1BBCC内形成轨迹刚好为14圆周，轨迹程度为 36 .【点评】在平面内，到两定点的距离之比为定值（且定值不为1）的点的轨迹为圆；此结论最早由希腊数学家阿波罗尼斯发现，后人常称此圆为阿氏圆.类似的，在空间，到两
21、定点距离之比为定值（且定值不为1）的点的轨迹为球（证明略）.例4、正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，面 1 1ABB A上的点P到直线 1 1,AB AD的距离相等，且PA PB ，则AC与AP所成角的大小为_.【解析】在平面 1 1ABB A内，点P到直线 1 1,AB AD的距离相等，所以点P在以1A为焦点，AB为准线的抛物线上，又PA PB ，所以点P在线段AB的垂直平分线上，由此可以确定点P的位置，进而进行量化计算.如图所示，设正方体的棱长为2，则 54PQ ，2 2AC ， 414AP ， 1054PC ，由余弦定理，则有2 82cos 41PAC ，所以AC与AP所成
22、角的大小为 2 82arccos 41 .【点评】找到P点的位置是解决本题的关键，后面只需构造三角形，解三角形即可.A B CD1A 1B 1C1D P xA B CD1A 1B 1C1D Py zA B CD1A 1B 1C1D PA B CD1A 1B 1C1D Q例5、已知直线l 平面，垂足为O，在矩形中ABCD， 1AD ， 2AB ，若点A在l上移动，点B在平面上移动，则O、D两点间距离的最大值为（ ）A. 5 B. 3 2 2 C. 3 D. 2 1【解析】点A在l上移动，点B在平面上移动过程中，AB的中点M到O点的距离始终保持不变，即AB的中点始终在以O为球心，1为半径的球面上.
23、由此可以采用几何法处理，如图，连接OD、MO、MD，易知OM MD OD ，所以OD的最大值为2 1OM MD ，选择D.本题亦可采用代数法求解，如图所示建立坐标系，设 OBA ，其中 0, 2 ，则有 2 22 2 22sin cos sinOD OA AH HD 化简可得 2 2 2sin 2 34OD 所以 22 2 2 3 2 1OD ，即 2 1OD .【点评】利用几何法解决问题，关键抓住几何要素，本题中线段的中点在球面上是几何法解决问题的突破口.利用代数法解决问题时，选择合适的建系方案，尽可能的简化运算.【变式1】（2015上海13校联考）直线m 平面，垂足为O，正四面体ABCD的
24、棱长是4.点C在平面上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（ ）A. 4 2 5 4 2 5,2 2 B. 2 2 2,2 2 2 C. 3 2 2 3 2 2,2 2 D. 3 2 2,3 2 2 【解析】如图所示，易知 1 22OM BC ，由此可知，线段BC的中点的轨迹为以O为球心，2为半径的球，随着 ,B C的移动变化，BC始终与球相交，结合异面直线BC与AD之间的距离为2 2，要使点O到直线AD的距离取最值，需O到BC的距离最大，此时BC与球O相切，由此可得点O到直线AD的距离的取值范围是2 2 2,2 2 2 . m OC BA DM AB C DO mA
25、B CDO lOA B CDM 21OA DH CB xy【变式2】（2012温州一模）如图，直线l 平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为（ ）A4 2 2 B2 2 2 C4 D4 3【解析】分别取BC、AD的中点M、N，由变式1可知，当O到AD的距离为最大时，O、M、N三点共线，且OM BC ，OM 与所成的角为4 ， 2 2 2ON ，此时正四面体在平面上的射影为等腰三角形OEF，底为4，高为 2 2 2 sin 2 24 ，所以射影的面积为4 2 2 .结束语立体几何中轨迹问题以及与轨迹相关的度量问题，可以综合采用几何法与代数法处理，采用几何法时，需要抓住几何不变量，熟悉一些常见曲线定义及其生成过程，以及常见的截口曲线的类型；使用代数法，要建立合适的坐标系，尽可能的简化运算，最后，在个别问题中，还需要注意纯粹性与完备性.参考文献1 吕林根 许子道 解析几何M.高等教育出版社，2012.22 蒋声 圆锥曲线的几何性质M.上海教育出版社，2002.23 范剑云 立体几何中的轨迹问题J.中国科教创新导刊，2010年，第18期. AB C DO l AB C DO l NM FE
