1、练习题1. 极限 xx xxxxx xx 1lim)4(1lim)3( 5865li)2(31li)1( 231 2232 (5) 已知 , 01lim2 baxxx求常数 a, b.(6) (7) xxxsin1silim20 21lim22xxx(8) (9) xx x21lim0 xxsin)31l(lim0(10) 1lim1xxex2. 函数的连续性(1) 确定 b 的值 , 使函数 02)( 1xexbxxfy x在 x=0 点连续.(2) 确定 a, b 的值, 使函数 1lim)( 2212 nnn xbxaxxfy在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间
2、断点的类型. xxfsin)( 00012)(11xxxfxx3. 连续函数的性质(1) 设 , 证明：1)(1 xxxxf nn 有一个不大于 1 的正根.)(xf(2) 若 , 且 , 证明: ),()( Cxf Axfx)(lim内有界.),()(在xf提高1 内至少有一个最值存在 .),()(在xf2 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在 , 使得21.ff )()(212. 函数的连续性(1) 确定 b 的值 , 使函数 02)( 1xexbxxfy x在 x=0 点连续.解: 100)(lim)(li)( exfbffx(2) 确定 a, b 的值, 使函数 1lim)( 221
3、2 nnn xbxaxxfy在整个实数轴上连续.解: 1211)(2xbaxfy bafff xx)(lim)(li)1( 11 xba 2_,0a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. xxfsin)(解: x=0 为可去间断点. 00012)(11xxxfxx解: , x=0 为跳跃间断点.1)(lim1)(li00 fxfx3. 连续函数的性质(1) 设 , 证明：1)(1 xxxxf nn 有一个不大于 1 的正根.)(xf解: 若 n=1, 则显然有解 x=1.若 n1, 则 , 由零点定理可知在(0, 1) 内至少有一个根0)1(,0)( nff(2) 若 , 且
4、, 证明: ),Cxf Axfx)(lim内有界.),()(在xf解: 由 可知: , 当 时, , 故Afxlim0Xx1)(Axf 1)(xf由 可知 , 故 ,当 时, ),()(Cf ,)(XCf 01MX1)(Mxf取 即可.1aM提高1 内至少有一个最值存在 .),()(在xf2 对于最值与 A 间的任意值 C, 存在 , 使得21.ff )()(21证明: 若 , 则显然结论成立. Axf)(设存在 , 则存在 X0, 当 时, 有Axf)(0 Xx2)()( 0Axfxf 于是: )(2)()( 00 xfxfxf 由 , 可知存在,)(XCxf ,X)(,:)(max)( 0xfXxff 从而 内有最大值 .),()(在xf )(f对于任意的 C, , 存在 X10, 当)(fCA时, 有 1Xx Cxf2)(于是有 .AXf 2)(1分别在闭区间 上使用介值定理即可得, 11结论 2.
