1、江苏省 2012 年普通高校“专转本 ”选拔考试高 等 数 学 试 题 卷 （ 二 年 级 ）注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及第 2 页右下角的座位号填写清楚2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效3、本试卷共 8 页，五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一、 选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1、极限 ( )3sin1i2(lmxxA. B. C. D. 0352、设 ,则函数 的第一类间断点的个数为( )4(si)2f )fA. B. C. D. 1233、设 ，则函数 ( )2
2、35)(xxf )xfA.只有一个最大值 B. 只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值 D. 没有极值4、设 在点 处的全微分为 ( )yxz3)2ln()1,(A. B. C. D. ddyxdyx321dyx3215、二次积分 在极坐标系下可化为( )fy),10 A. B. ddsin,co(4se dfd)sin,co(40se C. D. f)i,24sec0 fi,24se 6、下列级数中条件收敛的是( )A. B. C. D. 12)1nn 123(nn12)(n1)(n二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）7 要使函数 在点 处连续，则需补充定义 _x
3、xf)()0)0(f8、设函数 ，则 _xey221） )(7y9、设 ，则函数 的微分 _)0(xyyd10、设向量 互相垂直，且 ，则 _ba, ， 23baba11、设反常积分 ，则常数 _1dxea12、幂级数 的收敛域为_nn)3(1三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）13、求极限 )l(2coslim320xx14、设函数 由参数方程 所确定，求 )(xyttyxln212,dxy15、求不定积分 dx2cos116、计算定积分 dx21 17、已知平面 通过 与 轴，求通过 且与平面 平行，又与 轴垂直的)3,21(Mx)1,(Nx直线方程18、设函数
4、，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 具有二)(),(2yxyfzf 阶连续导数，求 219、已知函数 的一个原函数为 ，求微分方程 的通解)(xf xe)(4xfy20、计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的Dydx1-xyxy2平面闭区域四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）21、在抛物线 上求一点 ，使该抛物线与其在点 处的切线及 轴所围成)0(xyPPx的平面图形的面积为 ，并求该平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积3x22、已知定义在 上的可导函数 满足方程 ，试求：),()(xf 3)(4)(1xdtfxf（1）函数 的表达式；)
5、(xf（2）函数 的单调区间与极值；（3）曲线 的凹凸区间与拐点)(xfy五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）23、证明：当 时， 10x361arcsinx24、设 ，其中函数 在 上连续，且0)(20 xgdtxfx )(xg),证明：函数 在 处可导，且 3cos1)(lim0x )(f21)0(f一选择题1-5 B C C A B D二填空题7-12 2e18dxxn)l(52ln6,0(三计算题13、求极限 )1l(coslim320xx原式= 3030420 2sinlim4sn2lili xxxx 126limcos1li020xx14、设函数 由参数方
6、程 所确定，求 )(xyttyxln22,dxy原式= tttdtxy122 12)()(2 tdtxydx15、求不定积分 x2cos1原式= )12(tant)12(tan)(2 xdxddxCxcoslt)1(16、计算定积分 dx21 原式=令 ，则原式=tx 613arctn212133 dtt 17、已知平面 通过 与 轴，求通过 且与平面 平行，又与 轴垂直的)3,21(Mx)1,(Nx直线方程解：平面 的法向量 ，直线方向向量为 ,)2,30(iOn )32,0(inS直线方程： 1201zyx18、设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 具有二)(),(2yxyfzf
7、阶连续导数，求 2解： xyfxz221yxfxfyz221219、已知函数 的一个原函数为 ，求微分方程 的通解)(xf xe)(4xfy解： ，先求 的通解，特征方程：xef1 04y，042r，齐次方程的通解为 .令特解为 ，21、 xeCY21)( xeBAy)(代入原方程得： ，有待定系数法得：96BAx，解得 ，所以通解为196BA271 xxee)2719()(2120、计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的Dydx1-xyxy2平面闭区域原式= .1210ydx 四综合题21、在抛物线 上求一点 ，使该抛物线与其在点 处的切线及 轴所围成)0(2xyPPx的
8、平面图形的面积为 ，并求该平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积3x解：设 点 ，则 ，切线：P)(,020x02k切 )(2,00xxy即 ，由题意 ，得 ，xy02, 3)(20xdy04,P156)4(21204ddVx 22、已知定义在 上的可导函数 满足方程 ，试求：),()(xf 3)(4)(1xdtfxf（1）函数 的表达式；)(xf（2）函数 的单调区间与极值；（3）曲线 的凹凸区间与拐点)(xfy解：（1）已知 两边同时对 求导得：3)(41xdtfx x2)(fxf即： ， 则 由题意得： ， ，则y33cx2)1(f1c2)(xxf（2） 列表讨论得在 单调递增，在2
9、,0,61 x),()0,(单调递减。极大值 ，极小值),0( )(f 4)(f（3） ,xxf列表讨论得在 凹，在 凸。拐点)1()()2,1(五、证明题23、证明：当 时， 10x361arcsinx解：令 ,0)(,arcsi)(3fxf 0)(,21)( fxf，在 ， 单调递增，)1()1() 3232 xxf )(f，所以在 ， 单调递增，则有 ，得证。0ff (f 0fx24、设 ，其中函数 在 上连续，且0)(20 xgdtxfx )(xg),证明：函数 在 处可导，且 3cos1)(lim0x )(f21)0(f解：因为 ，即 所以有)(li0xgx 321lim0xg3li20xg又因为 在 上连续，所以 ，则)(),)(li)(0x)0(213)(lim)(li)0(lim203020 fxgxdtxgdtxx
