1、 高等数学历年试题集及答案(2005-2016)12005 年广东省普通高等学校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分）1、下列等式中，不成立的是A、 B、1)sin(lmx 1sinlmxC、 D、0si0x i20x2、设 是在（ ）上的连续函数，且 ，则 =)(f, cedf2)(dxf)(A、 B、 C、 D、2xecex2x21Cex213、设 ，则fcos)(afax)(limA、- B、 C、- D、incosasinxsin4、下列函数中，在闭区间-1，1上满足罗尔中值定理条件的是A、 x B、 C、 D、|)(f 2)(
2、xf 21)(xf3)(f5、已知 ，则 =yuuA、 B、 C、 D、12)(x )ln(2xy1)(xy)ln(2xy二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、极限 = 。)(1limxxe7、定积分 = 。21sind8、设函数 ，则 = 。xfl)(1)f9、若函数 在 x=0 处连续，则 a= 。1(,0,2).xaf 10、微分方程 的通解是 。eydx2三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）11、求极限 )。1(22nlimn12、求极限 。02xl)td13、已知 ，求 。1lnarctn2xy y14、设函数 是由方程 所确定
3、的隐函数，求 。)(x 2larctxdxy15、计算不定积分 。dx)sin312316、计算定积分 。2ln1tde17、求由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形绕 x 轴旋转xysin,co6,0x而成的旋转体体积。18、计算二重积分 ,其中积分区域 。Ddx)ln(2 41),(2yxyD19、求微分方程 满足初始条件 的特解。034y 60,2)(y20、已知 ，求全微分 。xez)sin(dz四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分）21、设 ，21)(xf（1）求 的单调区间及极值；（2）求 的闭区间0，2上的最大值和
4、最小值。)(xf22、证明：当 时， 。t011ln()tt23、已知 ，且 ，求 f(0)。2)(f0 5sinxdfxf32005 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、D 2、B 3、C 4、C 5、A二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、1； 7、0； 8、 9、 10、82e)(2cxe三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）11、解： 1(22limnnn21122linn12、解： 20)(limxdtxx20)(lnixdtxx01)l
5、()1(l)1(lnm02020 xxxx13、解： 22ln(arct y23222 222 1lnl11l11 xxxx xxx14、解法一：设 ，则lnarct),( yyF22 11, xxyx2yx2 分5 分2 分5 分2 分2 分5 分2 分422 11),( yxxyxFy 2故 （xy） 。, ydxy解法二：方程 可写为 2lnarctx )ln(21arct2yxy视 ，上式两边对 x 求导得)(xy，2211yx即 ，22yy所以 ，推出 （xy）x)( yxdy15、解： xx23sin11 cxxot3ln32（每项的原函数求对各得 1 分，总体答案写对得 5 分）
6、16、解：令 ，则ue 221, udte2lnl1dt32)(6 分643arctn1312 uu17、解：由两条曲线 及两条直线 所围成的平面图形xysi,o,0x如图所示（要画出草图，不画图不扣分） ，依题意，旋转体的体积为6022sincdxV5 分 43ios6060 d18、解：采用极坐标变换 ，则sin,coyrx5 分4 分3 分4 分5 分1 分3 分6 分3 分5Ddxy2ln201lnrd3l8l122 r19、解：方程 的特征方程为034y解出 21,321可知方程的通解为 xxecy由上式可得 231用初始条件 代入上面两式得 6)0(,)(y63,21c解出 故所求
7、的特解为,421c xey420、解： xxyeyxz)os(xy2c故 dyzxdzdyexyxeyx 2)cos(1)cos(四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分）21、解： 的定义域为 ，21)(xf),(21)( xf令 ，解出驻点（即稳定点）0 ,21x列表 x )1,(-1 （-1，1） 1 ),()(f 0 + 0 x单调减 极小 单调增 极大 单调减可知极小值 ef1)(3 分5 分2 分3 分5 分2 分4 分5 分2 分4 分6极大值 ef1)(（2）因 在 0，2上连续，由（ 1）知 在（0， 2）内可导，且
8、在（0，2） ，内只有一xf )(xf个驻点 （极大值点） ，因 ，且12,6,0)(efff 21(0)()()fffee故 在闭区间0，2上的最大值为 ，最小值为21)(xeff)(0)(f22、证明：设 则ln,)(f 1,)( txf由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使，即 ，)()1(ftf1lnt又因 ，故ttltt23、解：应用分部积分法0sin)(xdfx 00 cos)(sin)(sin)( xdfxfxdf),(i)(co)(i)( 00 fffff 由题意有 6 分3,2,50ffff 所 以5 分8 分1 分4 分6 分2 分4 分72006 年广东省普通高校本科插班生
9、招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、函数 在 x = 0 处1)(3xfA. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导2、设函数 在点 x0处连续，且 则 =)(f .4)(0lim0xfx )(0xfA. -4 B. 0 C. D. 413、设函数 若 存在，则 =1(),)sin,2xafx)(li0xfxaA. B. C. D. 21e123e214、设 ，则 =ln()zxydzA. B. C. D. d1dyx1xydydx5、积分 0xeA. 收敛且等于-1 B. 收敛
10、且等于 0 C. 收敛且等于 1 D. 发散二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、若直线 是曲线 的水平渐近线，则 = 。4y12xaya7、由参数方程 所确定的曲线在 t=0 相应点处的切线方程是 。tex,sin8、积分 。(coi)dx9、曲线 及直线 x = 0， x = 1 和 y = 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积 V =xey。10、微分方程 的通解是 。45y三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）811、求极限 。2ln)1l(imn12、计算不定积分 。)(xd13、设函
11、数 。y，y求21sin214、函数 y = y(x)是由方程 所确定的隐函数，求 在点（1，0）处的值。2xeydxy15、计算定积分 。120l)d16、求二重积分 ，其中积分区域 。DxyoyxD,),(217、设函数 ，求 。zarctn12yx18、求微分方程 满足初始条件 的特解。xylt ex6四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、已知函数 是 在 上的一个原函数，且 f(0)=0.)(f 2341505g),(（1）求 ；x（2）求 的单调区间和极值；)(f（3）求极限 。40sinlm()xtdf20、设 ， 都
12、是 上的可导函数，且 ， g=(0)(xfg), 1)0(,)(,)( fxgxf=0。试证： 。,(1(22x92006 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、D 2、B 3、B 4、A 5、C二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、8 7、 x+2y-3=0 8、4 9、 10、)1(2e )sinco(212xeyx三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、解法一： )2ln(ln)12(l imimnn21ln)21l(l2ienn解法二： n
13、nnn 12l)l(l)2(l imim2)(lx解法三： 2ln)1l(2ln)1(l ii xnnxxlim2 分6 分3 分2 分4 分6 分1 分2 分1021lim1)()2(li22xxxx(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)12、解法一： xdxd12= carsin解法二： )21()(41)1( 22 xddxxd= c)arcsin(解法三：设 = t，则 x = 2tdttd1)(2= =t2ctarsin= cxarsin13、解： = ，)1(oi2)1(sin22xxsin，l 2lnsi1)2(1sin2)1(sin22 xxxdxy 14、
14、解法一：将方程 两边对 x 求导数得yey，2xy4 分5 分6 分2 分分6 分2 分6 分1 分3 分5 分6 分3 分5 分6 分1 分4 分11则 xyxey)(2 yexyxeyd22。10xyd解法二：将方程 两边取自然对数得2ye221)ln(yxy则 )(2 yexyxdy22.10xyd解法三：设 F（x,y）= ，2yxey则， ，22 xx，22 yxeyeFyx yexyxeyxedxyyyyx 222.10xy15、解： dxxxd )1ln()1ln()ln( 02110 22 .12)ln()l(002xd5 分6 分1 分4 分5 分6 分1 分2 分3 分5
15、分6 分2 分4 分5 分6 分1216、解法一：D= 如答图 1 所示0,1),(2xyxDDydxd10222.1523)53()(1 1102 ydyxy解法二：D= 如答图 1 所示0,),(2xyxDdd221042cos.152sin3sinco51ico5122240 dd（说明：本题不画图，不扣分）17、解： )(12yxxyz= ，2yx.214)(2)(122yxz yx18、解： 原方程可变形为： ，xdycotln1 分3 分4 分5 分6 分1 分3 分4 分5 分6 分2 分3 分5 分6 分2 分131sinllcotlncxyxdy（说明：没写绝对值不扣分）化简
16、得： xcesin将初始条件代入得： 221c故所求的特解为 .xeysin四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、解：（1） ,15205)( 234xxgxf .5)(,0 .5)345 34xxfc cxd（2） ，)1(3120 2xg令 ，解得 x=0， x=1， x=3.)(xf列函数性态表如下x（ 0,）0 （0，1） 1 （1，3） 3 （3， ）y+ 0 + 0 0 + 无极值 极大值 极小值 （说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）故 f(x)在区间（ ）及（3， ）单调上升，在区间（1，3）单调下降；1,f(x)
17、的极大值 f(1)=1，极小值 f(3)=27。（3）解法一： )(sinlm)(sinl4004xfftdxx.01520sinl542340xxx4 分5 分6 分1 分3 分4 分5 分8 分9 分11 分12 分14 分14解法二： )(sinlm)(sinl4004xfxftdxx.0152lii2340xxx20、证明：设 ，)()(22xgfxF则 。)( .0)(2)()(,xfgxfxf故 =c，c 为常数。2F又 ,0)(,10f。),(122 xgxc14 分1 分3 分5 分6 分8 分11 分12 分14 分152007 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题
18、一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、函数 的定义域是1ln2)(2xxfA.（ ，0） （0， ） B.（ ，0）C.（0， ） D. 2、极限 xx2sin)(lim2A. 等于-1 B. 等于 0 C. 等于 1 D.不存在3、设 是 在（0， ）内的一个原函数，下列等式不成立的)(FfA. B. CxFdx)(lnlnCxFdxf )(sin)(sincoC. D. f 1)1(22 xx224、设函数 ，则下列结论正确的是xt0A. 的极大值为 1 B. 的极小值为 1 )( )(xC. 的极大值为 D.
19、 的极小值为 x2 25、设 则).0,(,0,),(3yxyf )0,(xfA.等于 1 B.等于-1 C.等于 0 D. 不存在 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6、极限 。xxlim7、设 ，要使 在 处连续，应补充定义 = 。321)(f )(xf3)3(f8、设函数 ，则其函数图像的水平渐近线方程是 。21xey169、微分方程 的通解是 y= 。042ydx10、设 ，则全微分 du= 。)ln(2zu三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、求极限 的值。xxta1lim012、设 ，求二阶导数 。22lncosyy13、设
20、函数 由方程 确定，求 。)(x0lnarcsi32exx 0xdy14、计算不定积分 。dx 2341)(215、计算定积分 。3201dx16、设平面图形由曲线 与直线 及 围成，求该图形线 y 轴旋转所得的旋转体体积。3y0y2x17、设 ，计算 的值。yxxf arctn),( yxff),(),(18、计算二重积分 ，其中积分区域 。Dd210,8,2yD四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、若函数 在 内连续，且满足 ，求 。)(xf),xdtff02)(2)( )(xf20、设函数 ，xf1（1）求 ；)(f（2）
21、证明：当 x0 时， 单调增加。)(xf172007 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、D 4、D 5、A二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、 7、 8、y=1 9、 10、e1 xcxc2sino122zyxdd三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、解：应用洛必塔法则，原式= xxsincolim0= = xxxsicosili0=0.12、解： .221sin1sin2 xxy 说明：正确计算 和 各得 2 分)(co2
22、)(l.2)1(s xy13、解：将 代入方程 得：0x 0lnarci3yex.)(03xxyy方程 两边对 x 求导数得：larcsin32e.0rsil122 dydxyyx将 代入上式得：,0.323200xxdyy（3 分）（6 分）（4 分）（6 分）（2 分）（4 分）（6 分）1814、解：原式 dxdxdx2341)2(12.Cxxarcsin)(6ln2（说明：正确计算 ）分各 得和、 241)3(12dxdxd15、解法一：设 ，则 时， ； 时， .txan0xt3t302302secan1tdtd= 302=sec)1(sectdt= 330t= 4解法二：原式= 3
23、022)1(1xdx= )(2302x= .341)(321023x16、解：如答图 1 所示，所求旋转体的体积为8080322dyVy.564380317、解：由题意知 ，yxxfarctn),( ,1, 22yxyf （6 分）（2 分）（4 分）（6 分）（2 分）（4 分）（6 分）（3 分）（6 分）（2 分）19.1),( 22yxyxf .1),(),( 22yxfxfy故18、解：如答图 2 所示，Ddtyx1= 022r= 2022)1(dr= 21= 四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、解：当 时，有0x .
24、0)(0)()(02fdtff由题意知 可导，等式 两边对 x 求导数得：xtff02)(2)( .2)( xfxf记 ，则有 =0.fy0xyCdedx22xx2eexx221.xC221,010yx（4 分）（6 分）（3 分）（6 分）（1 分）（4 分）（6 分）（8 分）20故 .21)(2xexf20、解：（1） 两边取对数得 ),1ln()(lxxf两边对 x 求导数得 ,)l()(f则 .xxf 1ln1)（2） （证法一）当 x0 时，记 ，在 上应用拉格朗日中值定理得gl)(, 1,)(1xgxx即 0，lnxx1ln于是 0，xf 1ln1)(故当 0 时， 单调增加.)
25、(f（证法二）当 0 时，记 ，xxx1ln)(则 0，22)()1()( 所以 在（0， ）内单调下降.x又 01lnim)(li xxx当 0 时， 0，于是 0，)( )()( xf故当 0 时， 单调增加.xxf（10分）（2 分）（6 分）（10分）（12分）（8 分）（10分）（12分）212008 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、下列函数为奇函数的是A. B. C. D. x2 xexexsin2、极限 =xx10limA. e B. C. 1 D.
26、-11e3、函数在点 处连续是在该点处可导的0A.必要非充分条件 B. 充分非必要条件C.充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件4、下列函数中，不是 的原函数的是xe2A. B. C. D. 21xe21xe21xe215、已知函数 ，则 =yzdzA. B. C. D. dxey xyydxey xdyexy二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6、极限 = 。xxe0lim7、曲线 在点（1，0）处的切线方程是= 。ny8、积分 = 。2cossidx9、设 ，则 = 。yeveuxxin,xvu10、微分方程 的通解是 。012dy三、计算题（本大题共 8 小题
27、，每小题 6 分，共 48 分）11、计算 。xxsintalim012、求函数 在区间-1，2上的最大值及最小值。2)(43)(f2213、设参数方程 确定函数 y=y(x)，计算 。teyx2 dxy14、求不定积分 。dxcos1in215、计算定积分 。20l()16、设方程 确定隐函数 ，求 。zxye),(yxzyz,17、计算二重积分 ，其中 D 是由 y 轴、直线 y=1， y=2 及曲线 xy=2 所围成的平面区Dxyd域。18、求微分方程 满足初始条件 的特解。xesinco 20x四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22
28、 分）19、证明：对 0， 。xx1220、设函数 在区间0， 1上连续，且 0 1 ，判断方程 在区)(f )(xf xdtf01)(2间（0，1）内有几个实根，并证明你的结论。232008 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、A 4、D 5、D二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、 7、 8、2 9、0 10、1xy Cxy)1ln(22三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、解： =xxsintalim0xcos1el20=
29、 xtali20= .sinectli20xx12、解： ，3)2(81)(f令 ，即 ，解得驻点 x=0，0xfx又 ，所以 f(x)在区间-1，2上最大值 M=24)(,)(,)1(ff及最小值 m=0.13、解： ，ttedyex,2.ttx2114、解： dxdxdxcos1incos1incos1in22 )(2dxx)cos1()cos1ln(.Cin（3 分）（2 分）（3 分）（4 分）（6 分）（6 分）（6 分）（1 分）（3 分）（6 分）（4 分）（5 分）2415、解： . 10 10222)1ln()ln( dxxdx102l10arctn2lnxx.16、解：设
30、,zxyezF),(则 ，zxyxy ezFe2,.2,2zxyzxyeeFxz17、解： Dyxxy dd01= 2120eyx= 1)(22d.18、解： dxeCeyxxdcossincos，xxsinsin xCxsin )(sinxCe由条件 有 ，20xye)0(si故满足初始条件 的特解为 .0x )2(sinxey四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、证明： 等价于 .xe1xe2令 ，2)(fx（2 分）（分）（2 分）（3 分）（5 分）（6 分）（分）（分）（分）（分）（分）（分）（2 分）25，xexf2
31、)(0，2)(xef 于是 在 内单调增加，从而 =0，)(x),0)(f0f所以 在 内单调增加，故 =0，即 .f, xff2xe1220、解：设 ，则 在0，1上连续，xdtfxF01)(2)( )(F，因为 0 f(x) 1，可证 1，于是 0，1010dxf 10)()(dtfF所以 在（ 0，1）内至少有一个零点 .)(x又 210， 在0，1上单调递增，)(2fF )(xF所以 在（ 0，1）内有唯一零点，即 在（0，1）内有唯一实根)(x dtf02（4 分）（6 分）（8 分）（10 分）（3 分）（6 分）（9 分）（12 分）262009 年广东省普通高校本科插班生招生考
32、试高等数学试题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求）1、设 则31,0().xfxfx)0(limA. -1 B. 1 C. 3 D. 2、极限 xxsin2ilm0A. 0 B. 1 C. 2 D. 3、下列函数中，在点 处连续但不可导的是0A. B. xy1yC. D. lnx4、积分 dxfx)si21(coA. B. Ci2 Cf)sin21(C. D. xf)sn( x5、改变二次积分 的积分次序，则 I=102),(xdyfdIA. B. 10),(yfd10),(ydxfC. D. x二、填空题（本大题共 5 小题，每小
33、题 3 分，共 15 分）6、若当 时， ，则常数 a= 。0x221a7、曲线 的水平渐近线方程是 。y)1ln(8、若曲线 在 t=0 处的切线斜率为 1，则常数 k= 。2)(,3tkx9、已知二元函数 的全微分 则 = 。,yfz,2xyddzz210、已知函数 满足 。)(xf )(0)(1)(f，fxff 则且27三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、计算极限 。xtxde02311lim212、设 用导数定义计算 。,)()21xf .)0(f13、已知函数 的导数 。)(f )1()1ln()(2f，xf 求14、计算不定积分 。dxarct15、
34、计算定积分 。31216、设隐函数 由方程 。),(yxfz yzx，xzy 及求所 确 定0317、计算二重积分 ，其中积分区域 。Ddyyx23)1 41:2D18、求微分方程 满足初始条件 的特解。06y 8,100xx四、综合题（大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、用 G 表示由曲线 y=1nx 及直线 x+y=1,y=1 围成的平面图形。（1）求 G 的面积；（2）求 G 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。20、设函数 .8ln4)(2xxf（1）判断 在区间（0， 2）上的图形的的凹凸性，并说明理由；（2）证明：当 0 x2
35、 时，有 0。)(xf282009 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、A 2、C 3、A 4、D 5、C二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、-4 7、 8、4 9、2y 10、0y 1xe三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、解：原式= 302limxdtex= 201lix= .3li6li2200xxxe12、解： ，xfffx)(lim)(0= 22 1010 )(lim)(li xxx = .2210)(liexx13、解： ，22
36、1)ln()xf22232 )1(4)(4)( xxf .1f14、解：设 则，tx2,原式= dttd21arctnarcn= Ctttt arcnarc)1(22= .Cxxxrarc（2 分）（3 分）（2 分）（4 分）（6 分）（6 分）（3 分）（6 分）（6 分）（6 分）（5 分）2915、解： 为奇函数， ，231x1230dx而 为偶函数，2 11010222 dxdx10 122 .ln)ln()(xxdx故原式 11232 .ld16、解：设 ,则xzzyxFy3),( .3ln21 xzFyx ，所以 .ln3221 zxzFz yzyzx 17、解：设 ，sincoryr则原式= 2021 2133 )()( drrdrd= .048)(424r18、解：因为微分方程的特征方程为 ,62r解得 .321，r微分方程的通解为 .xxecy231,xecy231有 ，20x，解得 ， ，831cy21c故特解为 .xe2四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分）19、解：（1） 10)(dyAy（2 分）（分）（5 分）（6 分）（6 分）（分）（分）（分）（分）（分）（6 分）（3 分）
