1、,* 从麦克斯韦方程组出发，导出电磁波在导体与介质中的基本方程及其对应的边值关系。,* 分析介质分界面上电磁波的行为，得到电磁波的反射定律、折射定律及菲涅耳公式。,* 引出电磁波在导体中传播的衰减常数、趋肤深度、反射系数。,* 介绍谐振腔、波导管。,第4章 电磁波的传播,1 平面电磁波,电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。,1自由空间电磁场的基本方程,2真空中的波动方程,3介质的色散,若电磁波仅有一种频率成分,若电磁波具有各种频率成分，则：,实际上具有各种成分的电磁波可以写为：,对均匀介质 ， 由于介质的相对电容率和相对磁导率是频率的函数，因此在介质中，不同频率
2、的电磁波有不同的相速度，这种现象称为介质的色散。,4时谐波（又称定态波）及其方程,时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。,这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为 ，因此有以下关系成立：,代人介质中的麦克斯韦方程组,相应的亥姆霍兹方程为,概括地，在一定频率下，麦克斯韦方程组,和,上述一维（x轴方向传播）常微分方程的一个解是,其场强的表达式为,波函数,由条件,得,即要求,上述代表一种可能的模式，横电磁模（）。,对于实际存在的场强应理解为只取其的实部，即,式中,称为相位因子。,相位因子,上面所得到的解表示一个沿x轴方向传播的平面波。,在时刻t =
3、0，相位因子coskx，x=0的平面处于波 峰；,在时刻t，相位因子变为cos(kx-t)，其波峰移到kx-t=0处，即移到,在真空中，电磁波的传播速度为,由相位因子可得平面电磁波的相速度为,相速度,电磁波状态（相位）传播的速度，称为相速度。,真空中的相速度,在介质中，电磁波的传播速度为,介质中的相速度,介质中对电磁波的折射率可以写成,在如图所示的坐标系下，平面电磁波的表示式为,波矢 波数,z,y,x,P,S,k,r,r,k表示沿电磁波传 播方向的一个矢量，其 值为,在图中，取垂直于矢量k的任一平面S，设P为此 平面上的任一点，位矢为r，则有,z,y,x,P,S,k,r,r,r为r在矢量k上的
4、投 影。,由于在平面S上任 意点的位矢在k上的 投影都等于r，因此 整个平面是等相面。,波函数,表示沿k 方向传播的平面波。k称为波矢，其数值,称为波数。,由于沿电磁波传播方向相距为,的两点，其相位差为2。所以，波矢可以写成,n表示平面的法线。,电磁波解必须满足条件,对方程解取散度，可得,平面波特性,偏振性,横波特性(TEM波）,证明：,同理,在平面电磁波中，电场波动和磁场波动都垂直于k的方向，电磁波为横波。,在平面电磁波中，由于E和B都可以在垂直于k的 任意方向上振荡，因此，通常将E(或B)的取向称为 电磁波的偏振方向。,一般情况下，选择与k垂直的任意两个互相正交 的方向，作为电场(或磁场)
5、的两个独立偏振方向。 因此，对每一波矢量k，存在两个独立的偏振波。,电磁波的电场和磁场满足关系,平面电磁波电场的旋度为,电场与磁场正交,证明：,在平面电磁波中，电场与磁场相互垂直，EB沿着波矢k方向。,电场与磁场同相,在平面电磁波中，电场波动与磁场波动同相，其 振幅比为,真空中的振幅比,在真空中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为,介质中的振幅比,在介质中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为,平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时 值如图所示。,随着时间的推移，整个波形向x轴方向以速度c / n 移动。,即平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，所以有,平面电磁波的能量,由于能量密度是场强的二次式
6、，不能把场强的复 数表示直接代入。计算瞬时值时，应代入实数,所以得,瞬时能量密度,平面电磁波的能量密度是随时间迅速变化的量实际上我们只需要用到它们的时间平均值。,平面电磁波的平均能量密度为,平均能量密度,所以得能流密度,平面电磁波的能流,或写成,能流密度也是场强的二次式，因而也不能把场强的复数表示直接代入，而应代入实数表达式,所以得能流密度的瞬时值,瞬时能流密度,将能流密度的时间平均值定义为平面波的强度。,平面电磁波的平均能流密度为,平均能流密度,2 电磁波在介质界面上的反射和折射,电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论可以导出反
7、射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正确性。,反射和折射定律,1电磁场的边值关系,2反射、折射定律的导出过程,（1）假设入射波为单色平面电磁波，反射、折射电磁波也为平面电磁波,（2）波矢量分量间的关系,且 和 在一个平面内,证明,在界面上 z= 0, x，z 任意,两边除以,两边对x求偏导,（4）入射、反射、折射波矢与z轴夹角之间的关系,因此反射、折射波矢也在 平面,（3）入射波、反射波、折射波在同一平面,入射波在 平面且,振幅和位相的关系,1 垂直入射面（ 平面）,2 平行入射面（ ）,入射面，假定 与 方向相同,由边值关系得：,3 在任意方向，可以分解为,相位关系分析,， 从光疏煤质到
8、光密煤质,但是 与 总是同相位。,当入射角大于折射角时，根据菲涅耳公式，有,半波损失,电场垂直于入射面,这说明，反射波与入射波反相，相当于在反射波的 相位上附加了。此时，反射波与入射波可表示为,当入射角与折射角之和大于/2时，根据菲涅耳 公式，有,电场平行于入射面,反射波与入射波反相，存在半波损失。,当电磁波从疏介质正入射（或掠入射）到密介质时，无论电场在哪个方向都将出现半波损失。,当入射角与折射角之和等于/2时，根据菲涅耳 公式，有,布儒斯特定律,无论入射波是什么状态，反射波中电场没有平行于入射面的分量。此时，反射波成为完全偏振的电磁波。这一现象，称为布儒斯特定律。,当电磁波由密介质射向疏介
9、质时，入射角将小于 折射角。,全反射,当入射角波增大到某一个临界角度时，折射角可 增大至/2，相对于折射波从界面掠过。,当入射角将大于临界角时，疏介质中将不再有折射波，电磁波全部被反射回密介质中。这种现象，称为全反射或全内反射。,发生全反射的临界角为,当入射角将大于临界角时，有,折射波的电磁场为,当入射角将大于临界角时，折射波是一个振幅呈现指数衰减的电磁波。,当,时，振幅衰减为分界面处的1/e，此值常称为透入深度。,透入深度可以写成,折射波的特点,3 有导体存在时电磁波的传播,根据导电介质的亥姆霍兹方程可知，只要用复电容率代替绝缘介质公式中的电容率，就可以把电磁波在绝缘介质表面的行为，改变为在
10、导电介质表面上的行为。,导电内自由电荷的分布,设均匀导体内部有自由电荷(x,t)，它们满足,由此得到,在导体内某处0，则有电流从该处流出，使该处的减小。,微分方程的解为,电荷守恒定律得,电荷密度随时间指数衰减，衰减常数为,电磁波的频率满足,作为良导体的条件的判据。,关系式,表明：在良导体内部，电荷以指数形式很快衰减。即在良导体内部不能累积电荷，导体上的电荷只能分布在它的表面。,导体中的麦克斯韦方程组,将波函数代人导体中的麦克斯韦方程组,式中,称为导体的复电容率。,设入射电磁波为单色平面波，则导体中传播的电磁波可以表示为,式中波矢,也是一个复数。,穿透深度,将波矢写成,于是，得到导体中传播的单色
11、平面电磁波表达式,衰减常数,在导电介质内部，电磁波的振幅是以指数形式衰减，其衰减的快慢由波矢的虚部描述。因此，通常将称为衰减常数。,由于沿着方向每前进1 /距离，电磁波振幅衰减为原来的1/e。为此定义,为穿透深度，又称为衰减长度或趋肤厚度。,传播常数,在导电介质内部，与垂直的面是波阵面，的方向就是电磁波相位传播的方向。,由于沿着方向每前进2/，对应电磁波的相角改变2。即有,相速度为,在波矢表达式中，实部是描述电磁波传播特性的物理量。因此，通常将称为电磁波的传播常数。,根据波矢的定义，有,比较上式两边的实部和虚部，可得,在一般情况下，和的方向不一定相同。只有在电磁波垂直入射导体表面时，等相面和等
12、振幅面都平行于导体表面，此时它们的方向才一致。,趋肤效应,设入射电磁波沿z轴方向垂直射向导体表面，此时和都沿z轴方向，则导体中传播的电磁波可以写成,由关系式,可得波矢的实部和虚部,其相速度为,具有色散现象的介质，称为色散介质。对电磁波而言，导体是色散介质。, / 1情况,位移电流可以写成,传导电流为,二者之比为,近似得,即,说明：当介质的导电率很低，或入射电磁波的频率很高时，电磁波的波长远小于穿透深度，此时电磁波能够透入介质的深部。, / 1情况,此时有,即,说明：在良导体中，电磁波仅分布在导体的表面层。,高频电磁波，以及相应的高频电流仅分布在导体很薄的表面层中的现象，称为趋肤效应。趋肤效应说
13、明，利用金属可以屏蔽高频电磁波。,反射系数,设入射电磁波沿z轴方向垂直射向介质表面，其电场沿x轴方向，如图所示。,k3,k2,k1,x,z,E01,E02,E03,电磁波的边值关系为,得场强振幅之间的关系式,k3,k2,k1,x,z,E01,E02,E03,由于电场只有x分量，磁场只有y分量，所以边值关系可以简化为,k3,k2,k1,x,z,E01,E02,E03,可得,反射波与入射波的能流密度之比，定义为反射系数。由上式可得反射系数公式,良导体, 与 同数量级，并有,此时反射系数近似为1，即入射电磁波几乎全部被反射回来。,4 谐振腔,电磁波的模式,在有界空间中，只有满足一定条件的电磁波才能够
14、存在。通常，将能够在给定的有界空间中传播的电磁波类型，称为电磁波的模式，简称为波模。例如，各种横电波(TE)、各种横磁波(TM)等。,在导体与真空或绝缘体分界面处，若取法线由导体指向绝缘介质，由于理想导体内部没有磁场，所以，理想导体的边界条件可以写成,理想导体的边界条件,当这一组边界条件满足时，另一组关于电场和磁场的法向关系边界条件自然满足。,理想导体的边界条件可以表述为：在导体表面，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。,在实际求解过程中，方程E=0对边界电场的限制，可以用电场在界面法线方向的方向导数表示。即,有界空间的电磁波,y,z,x,L1,L2,L3,一个矩形谐振腔如图所示，设金属腔内
15、壁的坐标为,矩形谐振腔中的电磁波,则有,电场亥姆霍兹方程的解,式中,于是得电场亥姆霍兹方程的通解,对于电场的x 分量，需满足边界条件,和,所以有,同理，可得电场的y 分量和z 分量。因此，矩形谐振腔内电磁波的电场振荡解为,式中，A1、A2和A3是三个任意常数，并满足,即A1、A2和A3三个常数中，只有两个是独立的。,此外，对于电场的x 分量，还需满足边界条件,和,所以有,同理，可得,在谐振腔中，只有波矢满足,条件的电磁波，才可能存在。,在满足,条件下，上述亥姆霍兹方程的解代表了谐振腔内的一种谐振波模，或称为谐振腔内电磁场的一种本征振荡。,谐振腔的本征振荡,和,在谐振腔中，对于每一组(m,n,p
16、)值，有两个独立的偏振波模。,由于在m,n,p中，不能同时有两个等于零。因此，对于立方体谐振腔，频率最低的波模相应的波长为,谐振腔的本征频率由下式确定,波导传输线,同轴线在传输高频信号时的缺点都集中于中芯线上。为了克服上述缺点，波导诞生了。,波导传输线就是利用良导体制成的，一种中空管状的传输线。,0 a x,yb,z,由于波导内没有中芯线，因此克服了同轴线在传输高频电磁波时的缺点。,5 波导,设矩形波导管内壁由理想导体制成，内壁长为a，宽为b，如图所示。,0 a x,yb,z,在波导内，时谐电磁波满足亥姆霍兹方程,在直角坐标系，方程可以简化为分量形式,矩形波导中的电磁波,则得,用分离变量法求解
17、，令,式中,由于波导允许电磁波沿z轴传播，而在x,y方向则限制电磁波。因此，与x,y有关的解应取驻波形式，而与z有关的解应取行波形式。所以，亥姆霍兹方程的解应具有如下形式,由于,则有,和,对于时谐电磁波，有,由此得,从而解得,电磁场所有分量均为零，因此波导中没有电磁波。,矩形波导的波模,将满足,条件的波，称为横电磁波。即：矩形波导中不存在横电磁波(TEM)。,满足条件,满足条件,的电磁波，称为横磁波。,根据亥姆霍兹方程的通解，可知,横磁波,上式必须满足边界条件,可得,m、n 取整数。于是得横磁波的电场与磁场,上式中,对于某一个确定波型(m,n)，对应的最小频率为,这一频率，称为TMmn 波的临
18、界频率。,当外加电磁波频率小于波导中(m,n) 型波的临界频率时，沿z 方向的波数为虚数。,当外加电磁波频率大于波导中(m,n) 型波的临界频率时，沿z 方向的波数为实数。此时的电磁波，将无衰减地沿波导传播。,此时，电磁波的相位因子均变为衰减因子，电磁波将在波导中以指数形式衰减。即，频率小于截止频率的电磁波不能在波导中传播。,在TMmn波中，m、n不能取零。,矩形波导管能够传播的频率最小的横磁波为(1,1)型波，对应的最小临界频率为,矩形波导在传输TM波时，频率必须大于上式频率。因此，上式称为横磁波的截止频率，是矩形波导传输横磁波的频率下限。,满足条件,的电磁波，称为横电波。,根据亥姆霍兹方程的通解，可知,横电波,利用电场的边值关系,在Ez=0时，有,上式即是横电波在四壁的边值关系。,利用这一关系，可得,m、n 取整数。代入亥姆霍兹方程通解，则得,横电波的其它分量为,对于TEmn波，m、n有两组选法：,或,横电波与横磁波不同，模式中存在TE10 、TE01等波型。,对于横电波，矩形波导传输的截止频率有两个，即,矩形波导总是取a b。因此，TE10是能够在矩形波导中传播的频率最小的横电波。,
