1、第 3 章 空间向量与立体几何 第 1 课时 空间向量及其线性运算教学过程一、 问题情境必修 4 教材第 59 页,有这样一个情境:湖面上有三个景点 O,A,B,一游艇将游客从景点 O 送至景点 A,半小时后,游艇再将游客送至景点 B.问题 1 游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示?解 是向量 ,即 + = .(图 1)(图 2)问题 2 如果游客还要到景点 B 下 100m 深处的海底世界 D 处游玩,游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么 ?生:不同,因为 O,A,B,D 不在同一个平面内 .师:这就是我们今天要学习研究的内容空间向量 .(点题)师
2、:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容?用什么方法?二、 数学建构问题 3 空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些? 11.概念梳理平面向量 空间向量定义 既有大小又有方向的量表示法几何表示: 字母表示: a,向量的模 向量的大小相等向量 方向相同且大小相等的向量相反向量 方向相反且大小相等的向量单位向量 模长等于 1 的向量2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算 )(图 1)加法: a+b= + = ;减法: a-b= - = ;数乘: a= ( R) .3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律 )(图 2)(1)加法交换律: a+b=b+a;(2)加法结
3、合律:( a+b)+c=a+(b+c);(3)数乘分配律: (a+b)= a+ b( R) .4.共线(平行) 向量(1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 .记作: a b.规定:零向量与任意向量共线 .(2)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(a0), b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ,使 b= a.三、 数学运用【例 1】 (教材第 82 页例 1)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, M 是 BB1 的中点 .化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量 .(1) + ;(2) + + ;(3) - - .2 (
4、见学生用书 P49)(例 1)规范板书 解 (1) + = .(2)因为 M 是 BB1 的中点,所以 = .又 = ,所以 + + = + = .(3) - - = - = .向量 , , ,如图所示 .变式 (1) + + = ; (2) + + + = 0 . 题后反思 注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算 .【例 2】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是上底面 A1B1C1D1 的中心 .若 =m +n + ,求 m,n 的值 .3 (见学生用书 P50)(例 2)处理建议 引导学生将问题转化为向量 如何用向量 , , 表示,即可
5、求得 m,n 的值 .规范板书 解 因为点 E 是上底面 A1B1C1D1 的中心,所以 =( + )=( + )= + .又因为+ = ,所以 m=n=.题后反思 逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法 .【例 3】 设 e1,e2 是空间两个不共线的向量,已知 =e1+ke2, =5e1+4e2, =-e1-2e2,且 A,B,D 三点共线,求实数 k 的值 . (见学生用书 P50)处理建议 A,B,D 三点共线即 = ,转化为向量共线问题进而求得 k 的值 .规范板书 解 =5e1+4e2, =-e1-2e2,故 = + =(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.A
6、,B,D 三点共线, = ,即 e1+ke2= (6e1+6e2). e1,e2 是不共线的向量, k= 1. 题后反思 点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“ a= b”和向量运算法则来解题 .四、 课堂练习1.化简: + + + = 0 . 2.下列等式中正确的有 . 0+a=a; 0a=0; 30=0; a-a=0;| 0|=0.3. 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, G 为 A1BD 的重心 .设 =a, =b, =c,试用 a,b,c 表示 .(第 3 题)解 = + = +( + )=+( - )+( - )= + + =a+b+c
7、.五、 课堂小结1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律 .2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点 .第 2 课时 共面向量定理教学过程一、 问题情境问题 1 在平面向量中,向量 b 与向量 a(a0) 共线的充要条件是存在实数 ,使得 b= a.那么,空间中任意一个向量 p 与两个不共线向量 a,b 共面时,它们之间存在怎样的关系呢?问题 2 观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系? 1二、 数学建构如图 1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, = , = ,而 , , 在同一平面内,此时,我们称 , ,是共面向量 .(图 1)1.共
8、面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 .问题 3 你能从长方体中尝试找出几组共面向量? 2问题 4 向量 = + ,向量 = + ,那么向量 与向量 , 共面吗?若=x +y (x,yR),你能得到什么结论? 32.共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组( x,y),使 p=xa+yb.证明 (必要性) 向量 a,b 不共线,当向量 p 与向量 a,b 共面时,它们可以平移到同一个平面内 ,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组( x,y),使得 p=xa+yb.(充分性)对于空间的三个向量 p,a,b,其
9、中 a,b 不共线 .如果存在有序实数组 (x,y),使 p=xa+yb,那么在空间任意取一点 M,作 =a, =b, =xa,过点 A作 =yb(如图),则 = + =xa+yb=p,于是点 P 在平面 MAB 内,从而, , 共面,即向量 p 与向量 a,b 共面 .(图 2)与平面向量一样, p=xa+yb,这就是说,向量 p 可以由两个不共线的向量 a,b 线性表示 .三、 数学运用【例 1】 已知向量 , 分别在两条异面直线上, M,N 分别为线段 AC,BD 的中点,求证:向量 , , 共面 .(见学生用书 P51)处理建议 根据共面向量定理,只需证明存在实数 x,y,使得 =x
10、+y .规范板书 证明 = + + , = + + ,两式相加得 2 = + + + + + .又 + =0, + =0, 2 = + ,即 = + , , , 共面 .题后反思 证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理 .【例 2】 (教材第 85 页例 2)设空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若点 P 满足向量关系 =x +y +z(其中 x+y+z=1),试问: P,A,B,C 四点是否共面? (见学生用书 P52)处理建议 通过分析,将判断 P,A,B,C 四点是否共面转化为空间向量是否共面 .即要判断 P,A,B,C 四点是否共面,可考察三个共
11、起点的向量 , , 是否共面 .规范板书 解 由 x+y+z=1(不妨设 x0),可得 x=1-z-y,则 =(1-z-y) +y +z = +y( - )+z( - ),所以 - =y( - )+z( - ),即 =y +z .由 A,B,C 三点不共线,可知 和 不共线,所以 , , 共面且具有公共起点 A,从而 P,A,B,C 四点共面 .变式 如果将 x+y+z=1 整体代入,由( x+y+z) =x +y +z 出发 ,你能得到什么结论?规范板书 解 将 x+y+z=1 整体代入,得 x +y +z =0,则 P,A,B,C 四点共面 .题后反思 (1) 联系平面向量,对于空间中任意
12、一点 O,满足向量关系 =x +y (其中 x+y=1)的三点P,A,B 是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法 .(2) 通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想 .【例 3】 如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, E 是 PD 的中点,求证: PB平面 AEC.(见学生用书 P52)(例 3)处理建议 本题要证 PB平面 AEC,可转化为证明向量 与平面 AEC 内某一向量平行或两个不共线向量共面,且 PB 不在平面 AEC 内 .规范板书 证法一 连结 BD,交 AC 于点 O,再连结 EO. 底面 ABCD 是菱形, O 是 BD 的中点 .又 E 是 P
13、D的中点, OE 是 DBP 的中位线, .又 PB 平面 AEC,EO平面 AEC,PB 平面 AEC.证法二 底面 ABCD 是菱形, = .又 E 是 PD 的中点, =2 , = + + =2 + + =( + )+( + )= + .又 与 不共线, , , 共面 .而 PB平面 AEC,PB 平面 AEC.题后反思 可以通过添加辅助线(证法一),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二) .通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能 .四、 课堂练习1. 若点 P 与不共线的三点 A,B,C 共面,且对于空间任意一点 O,都
14、有 = +2 + ,则 = -.2.已知两个非零向量 e1,e2 不共线,如果 =e1+e2, =2e1+8e2, =3e1-3e2,求证: A,B,C,D 四点共面 .证明 因为 + =5(e1+e2),所以 =( + ),所以 , , 共面且共起点,即 A,B,C,D 四点共面 .3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是 BB1,A1D1 的中点,问: , 与 是否共面?解 = + + = - + =( + )- = - .又 , 不共线,根据共面向量定理可知向量 , , 是共面向量 .五、 课堂小结1.本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理 .2.
15、运用共面向量定理证明线面平行及四点共面 .第 3 课时 空间向量基本定理教学过程一、 问题情境1.在教材第 83 页例 2 中,若 F 是 DB的三等分点或四等分点,则 能否用 i,j,k 表示?若 F 是 DB上的任意一点,则 能否用 i,j,k 表示?2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?如何表示?二、 数学建构由上例归纳,可得到一般性结论:1.空间向量基本定理如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在唯一的有序实数组( x,y,z),使 p=xe1+ye2+ze3.证明 (存在性) 如图,设 e1,e2,e3 不共面,过点 O 作 =e1, =e2,
16、 =e3, =p.(图 1)过点 P 作直线 PP OC,交平面 OAB 于点 P;在平面 OAB 内,过点 P作直线 PA OB,PB OA,分别与直线 OA,OB 相交于点 A,B.于是,存在三个实数 x,y,z,使 =x =xe1, =y =ye2, =z =ze3,所以 = + + =x +y +z ,所以 p=xe1+ye2+ze3.(唯一性)假设还存在 x,y,z且 x x,使 p=xe1+ye2+ze3,即 xe1+ye2+ze3=xe1+ye2+ze3,所以( x-x)e1+(y-y)e2+(z-z)e3=0.因为 x x,所以 e1= e2+ e3,所以 e1,e2,e3 共
17、面,此与已知矛盾 .所以有序实数组( x,y,z)是唯一的 .推论 设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任意一点 P,都存在唯一的有序实数组( x,y,z),使得=x +y +z .2.基底如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么空间的每一个向量都可由 e1,e2,e3 线性表示,我们把 e1,e2,e3称为空间的一个基底,向量 e1,e2,e3 叫做基向量 .如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底 .特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用 i,j,k表示 .三、 数学运用【例 1】 (教材第 88 页例 1)如
18、图,在正方体 OADB-CADB中, E 是 AB 与 OD 的交点, M 是 OD与 CE 的交点,试分别用向量 , , 表示向量 和 . (见学生用书 P53)(例 1)规范板书 解 因为 = + ,所以 = + = + + .由 OME DMC,可得 OM=MD=OD,所以 = = + + .题后反思 重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用 .【例 2】 如图,已知空间四边形 OABC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG=2GN,用基底向量, , 表示向量 . (见学生用书 P54)(例 2)规范板书 解 因为 M,N 分别是对边 OA,BC 的中
19、点,所以 = , = + ,则 = + = += +( - )= + = + + .题后反思 运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量 .【例 3】 已知向量 e1,e2,e3为空间的一个基底,试问:向量 a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3 是否共面?并说明理由 . (见学生用书 P54)处理建议 用反证法,先假设 a,b,c 共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件 .规范板书 解 假设 a,b,c 共面 .由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数 x,y,z,使得 xa+yb+zc=0,即 x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2
20、+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即( 3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由 e1,e2,e3 不共面,得解得 不妨令 x=-1,则 y=7,z=5.于是 a=7b+5c,所以 a,b,c 三向量共面 .题后反思 以向量 e1,e2,e3为空间的一个基底表示向量 a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算 .运用了方程的思想 .四、 课堂练习1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心 .若 = +x +y ,则 x-y= 0 . 提示 因为 = + = + = +( + ),所以 x=y=,则 x-y=0
21、.2.“向量 a,b,c 不共面”是“ a,b,c为基底”的充要条件 .3.已知 是空间的一个基底,给出下列四组向量: ; ; a+2b,2b+3c,3a-9c;.其中能构成空间的一个基底的有 . 提示 不能构成空间的一个基底,因为 -3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.4. 已知 a,b,c是空间的一个基底,若 pa+qb+c 与 a+pb+qc 共线,则实数 p= 1 ,q= 1 . 五、 课堂小结1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念 .2.运用代数的方法判断向量是否共面 .第 4 课时 空间向量的坐标表示教学过程一、 问题情境问题 1 空间向量基本
22、定理是什么?问题 2 我们如何选择基底?空间向量如何用坐标表示?二、 数学建构(图 1)问题 3 如图 1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置? 1问题 4 确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数 .那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?问题 5 如何用一组实数来表示电灯的位置?解 通过类比联想,容易知道需要三个数 .在地面上建立直角坐标系 xOy,则地面上任一点的位置只需两个数x,y 就可确定 .为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个数 z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可 .例
23、如,若这个电灯在平面 xOy 上的射影的两个数分别为 4 和 5,到地面的距离为 3,则可以用有序数组(4,5,3) 确定这个电灯的位置 (如图 2).(图 2)问题 6 如何用坐标表示空间向量 呢?能表示所有的空间向量吗?1.空间向量的坐标表示(图 3)如图 3,在空间直角坐标系 O-xyz 中,分别取与 x 轴、 y 轴、 z 轴方向相同的单位向量 i,j,k 作为基向量,对于空间任意一个向量 a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组( x,y,z),使 a=xi+yj+zk.有序实数组( x,y,z)叫做向量 a 在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标,记作 a=(x,y,z).2
24、.在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任意一点 A(x,y,z),向量 是确定的,容易得到 =xi+yj+zk,因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).这就是说,当空间向量 a 的起点移至坐标原点时 ,其终点的坐标就是向量 a 的坐标 .3.空间向量坐标运算法则(1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), a=(a 1,a 2,a 3), R;(2)若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).(例 1)4.空间向量平行
25、的坐标表示a b(a0) b1=a 1,b2=a 2,b3=a 3( R) .三、 数学运用【例 1】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是 D1D,DB 的中点, G 在棱 CD 上,且 CG=CD,H 是C1G 的中点 .以 D 为坐标原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,求向量 和 的坐标 . (见学生用书 P55)处理建议 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标 .规范板书 解 由已知可得 E ,F ,C1(0,1,1),G .H 是 C1G 的中点, H .故 =, = .题后反思 求向
26、量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标 .【例 2】 (教材第 90 页例 1)已知 a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求 a+b,a-b,3a. (见学生用书 P56)处理建议 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题 .规范板书 解 a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).3a=3(1,-3,8)=(3,-9,24). 题后反思 空间向量的坐标运算,需要准确、熟练,为后续学习奠定基础 .【例 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N,P 分别是 CC1,B1C1,C1D1 的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求证:平面 MNP平面 A1BD. (见学生用书 P56)处理建议 先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证 .(例 3)
