1、1 课时跟踪检测（二） 导数的几何意义 层级一 学业水平达标 1下面说法正确的是( ) A若f(x 0 )不存在，则曲线yf(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处没有切线 B若曲线yf(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处有切线，则f(x 0 )必存在 C若f(x 0 )不存在，则曲线yf(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线斜率不存在 D若曲线yf(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处没有切线，则f(x 0 )有可能存在 解析：选C f(x 0 )的几何意义是曲线yf(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处切线的斜率，当切 线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线 2曲线f(x) 在
2、点M(1，2)处的切线方程为( ) 2 x Ay2x4 By2x4 Cy2x4 Dy2x4 解析：选C ，所以当x0时，f(1)2，即k2.所以 y x 2 1x 2 x 2 1x 直线方程为y22(x1)即y2x4.故选C. 3曲线y x 3 2在点 处切线的倾斜角为( ) 1 3 ( 1， 5 3 ) A1 B. 4 C. D 5 4 4 解析：选B y li mx0 1 3 xx32 ( 1 3 x32 ) x x 2 ， li mx0 x2xx 1 3 x2 切线的斜率ky| x1 1. 切线的倾斜角为 ，故应选B. 4 4曲线yax 2 在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则
3、a等于( ) A1 B. 1 2 C D1 1 22 解析：选A y| x1 li mx0 a1x2a 12 xli (2aax)2a， li mx0 2axax2 x m2a2，a1. 5过正弦曲线ysin x上的点 的切线与ysin x的图象的交点个数为( ) ( 2 ，1 ) A0个 B1个 C2个 D无数个 解析：选D 由题意，yf(x)sin x， 则f ( 2 ) li mx0 sin ( 2 x ) sin 2 x . li mx0 cos x1 x 当x0时，cos x1， f 0. ( 2 ) 曲线ysin x的切线方程为y1，且与ysin x的图象有无数个交点 6已知函数y
4、f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y x2，则f(1) 1 2 f(1)_. 解析：由导数的几何意义得f(1) ，由点M在切线上得f(1) 12 ，所以 1 2 1 2 5 2 f(1)f(1)3. 答案：3 7已知曲线f(x) ，g(x) 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点 x 1 x 处的切线方程为_ 解析：由Error!，得Error! 两曲线的交点坐标为(1,1) 由f(x) ， x 得f(x)li ， m x0 1x1 x li mx0 1 1x1 1 2 yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y1 (x1) 1 2 即x2y10， 答案：x2y103
5、8曲线yx 2 3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_ 解析：设f(x)yx 2 3x，切点坐标为(x 0 ，y 0 )， f(x 0 ) li mx0 x0x23x0xx2 03x0 x 2x 0 31，故x 0 2， li mx0 2x0x3xx2 x y 0 x 3x 0 462，故切点坐标为(2，2) 2 0 答案：(2，2) 9已知抛物线yx 2 ，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离 解：根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx 2 的切线对应的切点到直线 xy20的距离最短，设切点坐标为(x 0 ，x )，则y|xx 0 2 0 li mx0 2x 0 1，所以x 0
6、 ，所以切点坐标为 ， x0x2x2 0 x 1 2 ( 1 2 ， 1 4 ) 切点到直线xy20的距离d ，所以抛物线上的点到直线 1 2 1 4 2 2 7 2 8 xy20的最短距离为 . 7 2 8 10已知直线l：y4xa和曲线C：yx 3 2x 2 3相切，求a的值及切点的坐标 解：设直线l与曲线C相切于点P(x 0 ，y 0 )， y x x0x32x0x23x3 02x2 03 x (x) 2 (3x 0 2)x3x 4x 0 . 2 0 当x0时， 3x 4x 0 ，即f(x 0 )3x 4x 0 ， y x 2 0 2 0 由导数的几何意义，得3x 4x 0 4， 2 0
7、 解得x 0 或x 0 2. 2 3 切点的坐标为 或(2,3)， ( 2 3 ， 49 27 ) 当切点为 时， ( 2 3 ， 49 27 ) 有 4 a，a ， 49 27 ( 2 3 ) 121 27 当切点为(2,3)时，有342a，a5， 当a 时，切点为 ； 121 27 ( 2 3 ， 49 27 ) a5时，切点为(2,3)4 层级二 应试能力达标 1.已知yf(x)的图象如图，则f(x A )与f(x B )的大小关系是( ) Af(x A )f(x B ) Bf(x A )0，对于任意实数x， 有f(x)0，则 的最小值为_ f1 f0 解析：由导数的定义，得f(0) l
8、i mx0 fxf0 x (axb)b. li mx0 ax2bxcc x li mx0 又因为对于任意实数x，有f(x)0， 则Error!所以ac ，所以c0. b2 4 所以 2. f1 f0 abc b b2 ac b 2b b 答案：2 7已知函数f(x)ax 2 1(a0)，g(x)x 3 bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)在 它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值 解：f(x) 2ax， li mx0 y x li mx0 axx21ax21 x f(1)2a，即切线斜率k 1 2a. g(x) li mx0 y x li mx0 xx3bxxx3bx x 3x 2
9、 b， g(1)3b，即切线斜率k 2 3b. 在交点(1，c)处有公共切线，2a3b. 又a11b，即ab，故可得Error! 8已知曲线yx 2 1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切 线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由 解： 2xx， y x xx21x21 x y (2xx)2x. li mx0 y x li mx06 设切点为P(x 0 ，y 0 )，则切线的斜率为ky|xx 0 2x 0 ，由点斜式可得所求切线方 程为yy 0 2x 0 (xx 0 ) 又切线过点(1，a)，且y 0 x 1， 2 0 a(x 1)2x 0 (1x 0 )， 2 0 即x 2x 0 a10.切线有两条， 2 0 (2) 2 4(a1)0，解得a2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是 (，2)
