1、数列通项公式的求法集锦一，累加法形如 (n=2、3、4.) 且 可求，则用累加1()naf(1)2.(1)ffn法求 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 1. 在数列 中， =1， (n=2、3、4) ，求 的通项公式。n1a1nna解： 时 ，这 n-1 个等式累加得： =21341.naa时 , 12.na（ n-1） ()2故 且 也满足该式 ( ).21()nn1a2nanN例 2在数列 中， =1， ( ),求 。na112nnNn解：n=1 时, =1 以上 n-1 个等式累加得1a223341.nnaa时 , = = ，故 且 也满211.na(2)n
2、12nna1a足该式 ( )。nN一、累乘法形如 (n=2、3、 4)，且 可求，则用累乘法1()naf(1)2.(1)ffn求 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。n例 3在数列 中， =1， ，求 。a11nana解：由已知得 ，分别取 n=1、2、3(n-1), 代入该式得 n-1 个等式累乘，即1na=123(n-1)=(n-1)!所以时， 故32411na 1()!na(1)!na且 =1 也适用该式 ( ).0!(1)!nanN例 4已知数列 满足 = ， ，求 。na123a解：由已知得 ，分别令 n=1，2，3，.(n-1),代入n上式得 n-1 个等式累
3、乘，即 = 32411na231.4n所以 ，又因为 也满足该式，所以 。1na1na三、构造等比数列法原数列 既不等差，也不等比。若把 中每一项添上一个数或一个式子构成新n n数列，使之等比，从而求出 。该法适用于递推式形如 = 或 =na1nabc1na或 = 其中 b、c 为不相等的常数， 为一次式。nbaf1n f例 5、 （06 福建理 22）已知数列 满足 =1， = ( )，求数列 的n11n2Nna通项公式。解：构造新数列 ，其中 p 为常数，使之成为公比是 的系数 2 的等比数列nana即 = 整理得： = 使之满足 = p=11nap2()1na21即 是首项为 =2，q=
4、2 的等比数列 = = 1 nn1n例 6、 （07 全国 理 21）设数列 的首项 ，n1(0,)= ，n=2 、3、4na12（ ）求 的通项公式。na解：构造新数列 ，使之成为 的等比数列np12q即 = 整理得： = 满足 =nap1()2npna132npna12得 = p=-1 即新数列 首项为 ， 的3q等比数列 = 故 = +1na1(） 1n（ ） n1(） 1n（ ）例 7、 （07 全国 理 22）已知数列 中， =2， = n1a12)naN（ ）求 的通项公式。n解：构造新数列 ，使之成为 的等比数列napq= 整理得： = +1nap(2)1na(2)na(2)p使
5、之满足已知条件 = +2 解得1n(2) (1) 是首项为 的等比数列，由此得naq= =2na()1(nna(21)n例 8、已知数列 中， =1， = ，求数列的通项公式。n11n23分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含 是变量，而不是常量了。故应构n造新数列 ，其中 为常数，使之为公比是 的系数 2 的等比数列。3nana解：构造数列 ， 为不为 0 的常数，使之成为 q=2 的等比数列n即 = 整理得： =1n2()1n1(3)n满足 = 得 新数列 是首项为1na3n3nna= ，q=2 的等比数列 = =13na12nn2n例 9、 （07 天津文 20）在数列 中， =2，
6、 = ，求数列的通项 。11n43an解：构造新数列 ，使之成为 q=4 的等比数列，则 =n1()n4()na整理得： = 满足 = ，即 得1na431na4331新数列 的首项为 ，q=4 的等比数列n 14nna14na四、构造等差数列法数列 既不等差，也不等比，递推关系式形如 ，那么把两n 11()nnabf边同除以 后，想法构造一个等差数列，从而间接求出 。1b例 10 （07 石家庄一模）数列 满足 且 。求 、na12nn(2)481a()1a、 是否存在一个实数 ，使此数列 为等差数列？若存在求出 的值及2a3()na；若不存在，说明理由。n解： 由 = =81 得 =33；
7、又 = =33 得 =13；(1)44321a3a3321a2a又 = =13， =51假设存在一个实数 ，使此数列 为等差数列(2)2n即 = = = 该数为常数1nna1nan12n = 即 为首项 ，d=1 的等差数列2n12 =2+ =n+1 =1na()na()1n例 11、数列 满足 = ( )，首项为 ，求数列 的通n1n1)nN2ana项公式。解： = 两边同除以 得 = +11na12()n1(2)n1()n()n数列 是首项为 =1，d=1 的等差数列 =1+ ()n1()(2)na(1)n故 =na2n例 12数列 中， =5，且 （n=2、3、4） ，试求数列 的n1a
8、13nnana通项公式。解：构造一个新数列 ， 为常数，使之成为等差数列，即n13nnad整理得 +3，让该式满足 取 ，13nnad13nna3nd得 ，d=1 ，即 是首项为 ，公差 d=1 的等差数212n12列。故 =31()nanna()32n例 13、 （07 天津理 21）在数列 中， =2，且 （1 11(2)nn）其中 0， 求数列 的通项公式。nN()n解： 的底数与 的系数相同，则两边除以 得1na1n1nna即 是首项为 ，公差 d=1 的等差数12nn2na120列。 。0(1)na()nn五，取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有 项，直接求相邻两项的关系很困难
9、，1na但两边同除以 后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 。1na na例 14、已知数列 ， = ， ，求 =？n11nnaNna解：把原式变形得 两边同除以 得1nn 1n1n 是首项为 ，d= 的等差数列故 。1na()nana例 15、 （06 江西理 22）已知数列 满足 ，且n132（ ） 求数列 的通项公式。132nna2N()na解：把原式变形成 两边同除以 得11(3nnaa1n即 构造新数列 ，使其成为公比 q= 的等比数123nana13列即 整理得： 满足式使 1()nn123na21数列 是首项为 ，q= 的等比数列na1 。1()()3nnn31na例
10、16 （06 江西文 22）已知各项均为正数的数列 满足： ，且n13a求数列 的通项公式。112nnaNna解：把原式变形为 1112(2)nnn两边同除以 得 移项得：1na11nna 12()nna所以新数列 是首项为 q=2 的等比数列。n183故 解关于 的方程得 。213nnana12(9)nn六利用公式 求通项1()nnS有些数列给出 的前 n 项和 与 的关系式 = ，利用该式写出anSanS()fa，两式做差，再利用 导出 与 的递推式，从而求出 。11()nnSf11nna例 17.(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 满足 1 且 6 =anS
11、nSn 求 的通项公式。(12naNna解：由 = 解得 =1 或 =2，由已知 1，因此 =2 又S1()261a1a由 = 得1nn()()26nn=0 0 11()(3)nnaana13na从而 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，故 的通项为 =2+3(n-1)=3n-1.n例 18.(07 陕西理 22)已知各项全不为 0 的数列 的前 k 项和为 ，且 = (kkkSk12ka)其中 =1，求数列 的通项公式。N1aka解：当 k=1 时， = 及 =1 得 =2； 当 k2 时，1S12a2由 = = 得 =2 0 =2kkSkk1()kkak1ka从而 =1+(m-1)2=2
12、m-1 =2+(m-1)2=2m (m ) 故 =k (k ).21ma2mNN例 19.(07 福建文 21)数列 的前 n 项和为 ， =1， ( n ),求 的通anS112nSn项公式。解：由 =1， =2，当 n2 时 = = 得 =3，因此 1a21Sn1n1()na1nna是首项为 =2，q=3 的等比数列。故 = (n2), 而 =1 不满足该式2 na231所以 = 。na213()n 例 20.(06 全国理 22)该数列 的前 n 项和 (n=1、2、3) 求a1433nnSa 的通项公式。na解：由 (n=1、2、3)得 = 1433nnS1S14所以 =2 再 = （
13、n=2 、3）11nna将和相减得： = =1S114()(2)3nna整理得 （n=2、3）因而数列 是首项为 ,124()nna na124aq=4的等比数列。即 = = ，因而 。n14n42n七重新构造新方程组求通项法有时数列 和 的通项以方程组的形式给出，要想求出 与 必须得重新构造nab nab关于 和 的方程组，然后解新方程组求得 和 。n nab例 21.（07 辽宁第 21 题）：已知数列 ， 满足 =2， =1 且nab1ab（ ）,求数列 ， 的通项公式。134nnabb2n解析：两式相加得 则 是首项为 ，d=2 的等差1nnabnab13ab数列，故 =3+2(n-1
14、)=2n+1(1)n而两式相减得 = = 则 是首项为 =1，q=n12n1()2nn1的等比数列，故 = (2)12ab()联立(1)、(2)得 由此得 ， 。1()2nn1()2nna1()2nb分析该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出 、 的通项公式。若改变一下数据，又n该怎样解决呢？下面给出一种通法。例 22.在数列 、 中 =2， =1，且 （n ）求数列 和nab11267nnabNna的通项公式。nb解析：显然再把 与 做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列 其中为1nab nab的常数。则 = = +
15、=01n26(7)nnab(2(76)令 得 =2 或 =3 则 为首项 ，q=76(2)n71n1+2 的等比数列。即 =2 时， 是首项为 4，q=4 的等比数列，故 =4 = ；12nab2nab14n=3 时， 是首项为 5，q=5 的等比数列，故 =5 =2335联立二式 解得 ， 。nnab342na54nb注：该法也可适用于例 21，下面给出例 21 的该种解法解：构造新数列 ，则n= + + =nab13()4na13()4nb()1133()4nnab令 得 =1 或 = 即 =1 时，新数列 中， =1121nbn12n（ ） 新数列 是首项为 ，d=2 的等差nab1()
16、na13ab数列 = = (1)3当 = 时，新数列 是首项为 =1，q= 的等比数列 2nab1b2 = (2)nab1联立(1)、(2) 得 ， 。12nn12nna12nb例 23.在数列 、 中， ，且 （n ） ，求 、nab1157nnabNna的通项公式。nb解：构造新数列 ，则nab= + = ，令 得 1n(5)n(17)n157()nnab1571= 或 =5 为首项 ，q= +5 的等比数列32nab1b即 =-3 时， 是首项为 = ，q=5+ =2 的等比数列，故 =133a23nab= ；n当 =5 时， 是首项为 =6，q= +5=10 的等比数列，故25nb15b=65nab10n联立二式 得 ， 。13260nn1390524nnna13024nb
