1、几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法 1几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1） 1()nxf这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列f(n)可求前 n 项和).当 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式而当 为
2、等差数列时，则)f ()f为二阶等差数列，其通项公式应当为 形式，注意与等差数列求和公式一般形1(nx 2nxabc式的区别，后者是 ，其常数项一定为2nSab（2） 1()nxg这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列g(n)可求前 n 项积).当 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式)（3） ；1(,01)n+x=qd,q为 常 数这类数列通常可转化为 ，或消去常数转化为二阶递推式 .1(nnxpx 211()nnxqx例已知数列 中， ,求 的通项公式 12()， nx 解析解法一转化为 型递推数列1()nnxqx 又 ，故数列 是首项为，公比为12()nx， 1， 12x1
3、nx的等比数列 ，即 2nnnx解法二转化为 型递推数列11()nnxq =2xn-1+1(n2) =2xn+1 nxx，得 (n2)，故 是首项为 x2-x1=2，公比为的等比数列，112()nnx1nx即 ，再用累加法得 12nxA2nx解法三用迭代法当然,此题也可212312(1) 12nnnnnnxx 用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法 2例已知函数 的反函数为1()2()fxx121(),()ygxgx，求数列 的通项公式.321(),nxgg n 解析由已知得 ，则 ()(01)2xx11,()2nnx令 =,则 .比较系数，
4、得 .1nnxpp32nnp3p即有 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，2()(33xx1x12 ，故 1)nnx123nn评析此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之（4） 1(,nncxd为 非 零 常 数 ） ；若取倒数,得 ，令 ，从而转化为（1）型而求之.1nnxcAnyx（5） ；(,)+=qd,qd为 非 零 常 数这类数列可变换成 ，令 ，则转化为(1)型一阶线性递推公式.1nnAny例设数列 求数列 的通项公式1132(*)nnxxN. 满 足 ： ， nx 解析 ，两边同除以 ，得 令 ，则有132 132nnxA32nyA于是，得 ，数列 是以首项为
5、 ，公比为 的等比数132nnyA1()nnyyny 7143列，故 ，即 ，从而 17()4n17342A2173nx例设 求数列 的通项公式0 1(*)nxxN为 常 数 ， 且 ， n 解析设 用 代入，可解出 13(3)nnpp， 12nx 5p 是以公比为-2，首项为 的等比数列5nx 00355x ，1032()(nnx即 103()(55nnx0()2(1)(*)nnxNAA （6） 1,0)pn+n=cxp几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法 3这类数列可取对数得 ，从而转化为等差数列型递推数列.1lglgnnxc2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递
6、推数列 例设数列 求数列 的通项公式12215(*)33n nnnxxN. 满 足 ： ， ， nx 解析由 可得25(*)3nxN，2111()nnnx .设 12125233nyxyyx， 则 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 且 ，故 即 用累加法得(*)3nN（ ） 1()xn-1（ ） 或1211221)()3nnnnx x ，12()()33nnx()213nn.例在数列 求数列 的通项公式1221(*)n nnxxxxN 中 ， 已 知 ， ， nx 解析可用换元法将其转化为一阶线性递推数列令 使数列 是以 为公比的等比数列( 待定)1nnya， ny 2a1,a即 对照已
7、给递推式， 有221()xx， 122)nnnxx即 的两个实根11， ， 220、 是 方 程从而 12125555aaaa， ； 或 ， 211(nnnnxxxx)或 21155(22nnnn)由式得 ；由式得 1()nnnxx 151()2nnnxx几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法 4消去 115()()2nnnnx ， 得 例在数列 求 1221(*)n nnxxxxN 中 ， 已 知 ， ， 10x解析由 ，得 213式+式，得 ，从而有 数列 是以为其周期故 = =-13nnx6nnxx nx 10x43 特殊的 n 阶递推数列例已知数列 满足 ，求 的通项公式
8、n 11231()(2)n n， n 解析 123()()xxx 2n n，得 故有1(3)nx1(3)nx， 13122nnxx.， ，将这几个式子累乘，得 22()2()n n . ， 或又 1211,!(2)nxx ， 故 例 9数列 满足 ，求数列 的同项公式n 212,nxx nx解析由 ，得 12nx 21211()()n式式，得 ，或 ，故有 .21()nnx 21()nnnxx1(2)nx , .1231234,2nnnnx 3221,4将上面几个式子累乘，得 ，即 1()nxA1()()nxxnA 也满足上式， 12x12*()()n N以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法这些知识是拓展性的，超出了课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握
