1、递推数列学案 2010-11-10 第 1 页 共 10 页双流中学 2011 级高考第一轮复习学案3.4 求数列的通项公式 2010-11-10一、考纲解读考试要求：掌握常见的递推模型，会求常见递推数列的通项公式考纲解读：在近年的高考中，对数列递推公式的考查已成为热点，但用递推数列求通项公式有着很强的灵活性，有些学生在解题是摸不着头绪，从而影响了解题速度，也在高考中失去了先机。而解决这一问题的关键在于转化。由递推数列求通项公式，有两个方法：一是先归纳猜想，再用数学归纳法证明；二是构造等差数列或等比数列，运用等差数列或等比数列求解。而等差数列和等比数列是两类最基本的数列。因此，当我们遇到陌生的
2、递推关系式时，通过等价变形，化为熟悉的递推关系式，再化为等差或等比数列，从而达到解决问题的目的。二、回归教材教材再现 在教材中出现的递推数列中，最多的是关于 ， 的递推数列，即 。nSa1nnaS教材复 习 参考 题 B 组 第 5 题 在数列 中， ， （ ） ，求证： 是等比na11323,数列。三、基础知识与基本方法归纳1、已知数列 的前 项和公式 或 与 的关系求通项公式nanSFnaS（1）已知数列 的前 项和公式 ，利用 求通项.2,1nSn基本步骤：当 时， ；1n1aS当 时， ，此时的 只适用于 ；2nnff检验 是否成立，若成立，则 ；若不成立，则通项公式要写1f *naN
3、成分段形式： .12nnaS（2）已知 与 的关系，可利用 消去 或用 代换 ，转n 1nSnS12nna化为数列 的递推关系.S【跟踪训练 1】（1）已知等差数列 的前 项和 ， 为常数，则数列 的的通na23nppn项公式为 ；递推数列学案 2010-11-10 第 2 页 共 10 页（2）数列 的前 项的和为 满足 ， .nanS21nSa1a（）证明：数列 为等差数列；1n（）求 的通项公式.na（3）已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ，求 的表达na12nnS21()nnaSn式。2、 型的递推数列：*1Nnfan累加法： .22111 nkfaknk【跟踪训练 2】（1
4、）若数列 中， ，则 ；na1,211n na（2）若数列 中， ，则 ；na*11, Nnanna递推数列学案 2010-11-10 第 3 页 共 10 页3、 型的递推数列：nnaf1累乘法： .21211231 nffann 【跟踪训练 3】（1）已知数列 满足: ， （ 且 ） ，求数列 的通项公式。na1n*Nna（2）正项数列 中， ， ，则 ；na1*1210Nnananna4、一阶线性递推数列： （其中 均为常数， ）qapnn1,p(1)0pq构造法：已知 ，则 为公比为 的等比数列；qa an1【跟踪训练 4】（1）已知数列 中， ，则 ；n *11,2naNn（2）已知
5、数列 中， ，则 ；na*112,Nnanna递推数列学案 2010-11-10 第 4 页 共 10 页5、 （其中 均为常数， ）型的递推数列：1nnapq,p(1)0pq方法一：一般地，先在递推公式两边同除以 ，得 ，引入辅助数列 （其中n1nnaqnb） ，得 ，转化为一阶线性递推数列求解。nabq1nnpbq方法二：在递推公式两边同除以 ，得 ，引入辅助数列 （其中 ） ，1n1()nnapp nbnap得 ，再用累加法求解1()nnbp【跟踪训练 5】已知数列 中， ， ，求na15611()32nnana6、形如 的递推数列：11,0nnapabp一般利用待定系数法构造等比数列，
6、即令 ，与已知递推式比(1)()nnaxypaxy较，解出 ，从而转化为 是公式为 的等比数列（前提是首项不为 0）,xyxyp【跟踪训练 6】已知数列 满足 ，求 的通项公式.na*114,32,2nNna递推数列学案 2010-11-10 第 5 页 共 10 页7、形如 （ ）的递推数列：1knnap0,ac对形如 （ ）的数列，求解此数列的通项公式一般在递推关系式的两边取对数，得 ，这样就把问题转化为前面熟悉的问题类型一阶线性递推数列。lglgc【跟踪训练 7】已知数列 满足 （其中 ） ，求数列 的通项公式.na211,nna0ana8、形如 （ ， ）的递推数列：1nncad0d形
7、如 （ ， ）的数列，求解此数列的通项公式一般是通过倒数法，把1n相应的递推关系式两边倒数，得 ，这样就化归为熟悉的等差数列问题，再利用相应的等1nac差数列来分析与求解。【跟踪训练 8】设等差数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式na112nn*()Nna9、形如 的递推数列：21nnapqa形如 （其中， ， ， ， ）的递推数列，1a2b0pq240q求解此数列的通项公式一般用待定系数法，把递推关系式变形为 ，其中11()nnastas满足 ，化归为等比数列问题，再应用前面类型的方法求解。,sttq【跟踪训练 8】设等差数列 中， ， ，且 ，求数列 的通项公式na12a213nna*(
8、)Nna递推数列学案 2010-11-10 第 6 页 共 10 页10、形如 或 的递推数列：1napq1nnapq这种类型一般可转化为 与 是等差数列或等比数列来求解22【跟踪训练 10】（1）在数列 中， ， ，求数列 的通项公式na116nna*()Nna（2）在数列 中， ， ，求数列 的通项公式311、形如 （ 、 、 、 是常数）的递推数列：1nnpaqrsrs解特征方程 得 ， ，考查 或x1nnpxqxras1nnpxqxras一般地，当特征方程 有两个不同的根 与 时，则数列 是等比数列；当特征pqrs22n方程 有且仅有一根 时，则数列 是等差数列。pxqrs0x0nax
9、【跟踪训练 11】在数列 中， ， ，求数列 的通项公式na1212nna*()Nna12、利用归纳猜想法，求通项公式对不便用以上方法求解的问题，可以先根据递推关系求出数列的前几项，总结其规律特征，写出通项公式，然后用数学归纳法证明。【跟踪训练 12】2010 年重庆卷 在数列 中， ， ，其中实数 。求数na1211(2)nnac *)N0c列 的通项公式na递推数列学案 2010-11-10 第 7 页 共 10 页四、典型例题例 1、 高考领航第 46 页例 1、 已知数列 中， ， ，且na12a（ ， ） ()nnaqa20q（1）求证数列 是等比数列；1*()N（2）求数列 的通项
10、公式；（3）若 是 与 的等差中项，求 的值，并证明；对任意的 ， 是 与 的等差中项。369 *nNna36n例 2、已知函数 是定义在 上的偶函数， 是定义在 的奇函数。2()31fxmxR()51gxpR数列 满足： ， 。na1 21()()nnnfaga（1）求数列 的通项公式；（2）若 ， 表示 的前 项和，求 的值。0nnSlinS递推数列学案 2010-11-10 第 8 页 共 10 页例 3、2010 年湖北理科第 20 题 已知数列 满足： ，na11 13()2(),2nna；数列 满足：10()nanb).(21nn（I）求数列 的通项公式；,n（II）证明：数列 中
11、的任意三项不可能成等差数列.递推数列学案 2010-11-10 第 9 页 共 10 页例 4、 （仅供选作）2010 年全国卷 理科第 22 题 已知数列 中，na.1,11nnac（）设 ，求数列 的通项公式；21,5nabcnb（）求使不等式 成立的 的取值范围。31c递推数列学案 2010-11-10 第 10 页 共 10 页例 5、2010 届双流县二诊模拟理科第 22 题 已知函数 。1Inxfa（）若函数 在 上是增函数，求正实数 的取值范围；fx1,（）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值；afx,2（）当 时，证明：对任意的正整数 ，不等式 都成立。11n11In234n五、课后作业：高考领航“活页”第 243 页244 页做第 2、3、6、7、8、9、10、11、六、反思与小结（本节知识网络与易错易混归纳）
