1、高考中通项公式 求法题型分类na前言：数列通项公式的求法一直以来都是高考数列题的难点，现在我总结出来一些高考常考的几个类型题希望能给大家带来帮助。这些题都很经典希望同学们能够认真体味，发现其中的奥秘！ 叠加法：类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用叠加法(逐差相加法) 求解。1f例 1. 已知数列 满足 ， ，求 。n2nan21na变式: 已知数列 ，1an中 nna3（I） 求 a3, a5；（II）求 an的通项公式.叠乘法：类型 2 nnaf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fn例 1:已知数列 满足 ， ，求 。na321na1变式:
2、已知 ， ，求 。31anna211)(na构造法：类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。p )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转1tatnn pqt化为等比数列求解。例:已知数列 中， ， ，求 .na132nan变式: 在数列 中，若 ，则该数列的通项 _na11,23(1)nana变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列 满足 求数列 的通项公式；n *11,().nNna提高 1：（除变量）已知数列 中， , ，求na1123nnn提高 2：（取对数）已知数列 中， ，求数列na211,nna)0(.的 通 项
3、公 式na提高 3：（取倒数）已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an类型 4 递推公式为 与 的关系式。( 或 )nSa(nSfa解法：这种类型一般利用 与 消去 211n )()11nnnn affSnS例：已知数列 前 n 项和 .a4naS（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .1n n变式:（2006，全国 I,理 22,）设数列 的前 项的和 ， 求首项 与通项 ；na14233nnSa,1an变式:已知正项数列 ，其前 n 项和 Sn 满足 且 成等比数列，求数列na 65102nna153,a的通项公式 na类型 5 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻
4、找周期。例：若数列 满足 ，若 ，则 的值为_。na)12(,0,1nnna76120a变式:（2005，湖南,文，5）已知数列 满足 ，则 = （ ）na)(13,0*11 Nnan 20aA0 B C D33同步练习一选择题1、数列 的前 项和为 ，则 是（ ）na23nSanA等比数列 B等差数列 C从第 2 项起是等比数列 D从第 2 项起是等差数列2、数列 中， ， ，则 （ ）n11,()nnN5aA B C D 533123、已知数列 中， 且 ，则此数列的通项公式为an1an21A B C D 12 5n 1n4、在数列 中， ， ， ，则n10n421nnaA B C D32
5、325、在等比数列 中，若 ， ， ，则nan691a064nA B C 或 D 或2n82nn8226、数列 的前 项和 ，则 的前 项和25nS110TA60 B50 C54 D58二填空题7、数列 的前 项和 ，则 na14nnSa8、数列 中， ，则 522213nan na9、数列 中， ， ，其通项公式 = n11,()n10、数列 中， ， 时， ，则 na112nSana三解答题11、数列 的前 项和 ， ，求 n1,()nSN1nS和12、数列 中， ， ， ，求其通项公式 na21nan21na13、设数列 为等差数列，数列 为等比数列， ， ， ，求 ，nnb1ab243
6、b342an的通项公式nb14、 （2012 年高考（广东理）设数列 的前 项和为 ,满足 , ,且 、nanS12nna*N1a、 成等差数列.25a3()求 的值;1()求数列 的通项公式;na1.解析:()由 ,解得 . 1232175aa1()由 可得 ( ),两式相减,可得 ,即1nnSa12nnS2122nna,即 ,所以数列 ( )是一个以 为首项,3 为132nna132nnaa2na24a公比的等比数列.由 可得, ,所以 ,即 ( ),当1225293nn时, ,也满足该式子,所以数列 的通项公式是 . 1nanana （2013 年高考大纲卷（文）等差数列 中,na719
7、4,2,a(I)求 的通项公式;na(II)设 1, .nnnbbS求 数 列 的 前 项 和【答案】()设等差数列 的公差为 d,则 na1()nad因为 ,所以 . 解得, . 71942a116482()d1,2所以 的通项公式为 . nna() , 所以 . 12()1nban22()()()131n nSn2. （2013 年高考湖北卷（文）已知 是等比数列 的前 项和, , , 成等差数列,且Sna4S2.23418()求数列 的通项公式;na()是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求出符合条件的所有 的集合;若不存在,说明理由.2013nSn【答案】()设数列 的公比为 ,则 ,
8、. 由题意得 nq1a0q即 2432,18SSa2321,()8a解得 故数列 的通项公式为 . 1,2.qn 13(2)nna()由()有 . 31(2)()nS若 存在 ,使得 ,则 ,即 0013n(2)01.n当 为偶数时, , 上式不成立; n(2)n当 为奇数时, ,即 ,则 . 012012n综上,存在符合条件的正整数 ,且所有这样的 n 的集合为 . 21,5nkkN（2013 年高考湖南（文）设 为数列 的前项和,已知 ,2 , NnSna1anS()求 , ,并求数列 的通项公式;()求数列 的前 项和 .1a2 n【答案】解: () 1112. S时 ，当1,0a- 1
9、1111 221 nnnnnn aSasa时 ，当.*,21 Nqnn 的 等 比 数 列 ，公 比 为时 首 项 为() nn qaqaqTaaT 32132设1432nq上式左右错位相减: nnnnn aqaaTq 211)1( 1321 . *,Nnn3. （2013 年高考广东卷（文）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足nanS且 构成等比数列.214,nSa2514,a(1) 证明: ;214(2) 求数列 的通项公式;n(3) 证明:对一切正整数 ,有 .12312naa【答案】(1)当 时, , n145,41045a(2)当 时, , 221nS 21nnnS, 21nn
10、aa10na当 时, 是公差 的等差数列. 2d构成等比数列, , ,解得 , 2514,5142284a23a由(1)可知, 21=4,aa是首项 ,公差 的等差数列. 213nd数列 的通项公式为 . n2(3) 1231113572naan 5721.22n 4. （2013 年高考安徽（文）设数列 满足 , ,且对任意 ,函数 na1248a*nN满足12()cos-innnfxaxx()02f()求数列 的通项公式;()若 ,求数列 的前 项和 .2nnab（ ） nbnS【答案】解:由 124812()cos-innnnfxxxa 12-iaa（ ）所以, 是等差数列. 1()02
11、nnf12nnan而 134d2-n（ ）(2) 12nna nb（ ） （ ） （ ）-212nnS（ ）（ ） 211=3-3-nn（ ）5. （2013 年高考课标卷（文）已知等差数列 的公 差不为零,a 1=25,且 a1,a11,a13成等比数列.na()求 的通项公式;na()求 .14732na【答案】6. （2013 年高考江西卷（文）正项数列a n满足 .2(1)20nna(1)求数列a n的通项公式 an;(2)令 ,求数列b n的前 n 项和 Tn.1()nb【答案】解: (21)0nnn（ ） 由 得 （ a-2)(+1） =0由于a n是正项数列,则 . na(2)由(1)知 ,故 2()(1)()21nnbn11(.3Tn7. （2013年高考课标卷（文）已知等差数列 的前 项和 满足 , .nanS305S()求 的通项公式;na()求数列 的前 项和.21n【答案】(1)设a 的公差为 d,则 S = . n1()2ad由已知可得 1130,.5adad解 得n=2-.n故 的 通 项 公 式 为(2)由(I)知 2111(),(3)23nan从而数列 . 21n的 前 项 和 为 1-+)122n（
