1、八种求数列通项公式的方法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以23n3na1322na为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列1a 3(1)n的通项公式为 。n 1()2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等132nna132na2na差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。()n二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12nn123212()()()()()()1nn 所
2、以数列 的通项公式为 。na2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出12na12na，即得数列 的通项公式。12321()()()()nn 例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。a13n， n解：由 得 则1nnna12321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.a评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1231nna1231nna，即得数列 的通项公式。123()()()()nnna 例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。11n， n解： 两边除以 ，得 ，13nna11233na则 ，故112nn2232111
3、221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1321nna11233nna，即得数列 的通项公式，最后再1122()()()()33nnnaa 求数列 的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故12()53， 0n12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)25!.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进
4、而求出1()nna 12()5nn，即得数列 的通项公式。13212naa a例 6 已知数列 满足 ，求 的通项公式。n1231()(2)n na， na解：因为 123()()n所以 1naaa用式式得 1.nn则 1()2)n故 na所以 13222 !(1)43.nanna 由 ， ，则 ，又知 ，则131n na 12a取 得 11a，代入得 。2 !1452na所以， 的通项公式为n!.n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1()2)nna1(2)na，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。1322naa 2时 ， n四、待定系数法例 7 已知数列 满
5、足 ，求数列 的通项公式。na11356nna， na解：设 1152()nxx将 代入式，得 ，等式两边消去 ，得23na 125n nnxx2na，两边除以 ，得 代入式得13525nnx5n32,1,x则 152()nnaa由 及式得 ，则 ，则数列 是以 为160a0na15nan1首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。5212nn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数13n152()naa列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。5naa例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113524nna， n解：设 112()nxy
6、xy将 代入式，得354na13(2)n nna整理得 。(2)xyxy令 ，则 ，代入式得534y52112()nnnaa由 及式，530得 ，则 ，n11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此52na1，则 。13n2nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为1354a，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列1152(52)nnnaa 2na的通项公式，最后再求数列 的通项公式。n例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n21 1345n， na解：设 21()()()n naxyzaxyz 将 代入式，得345，则22 2(1)()()n nnzz(
7、) 52axyxyaxyn等式两边消去 ，得 ，n2(3)(4)(5)zz解方程组 ，则 ，代入式，得3245xyz3108xyz2 21()0(1)()n nana 由 及式，得383023108na则 ，故数列 为以21()()201nan 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此，则 。2383n 43108na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为2145n，从而可知数列 是等比2 21()0(1)()n nan 23108na数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。2308a 五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。n51nna17na
8、解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得51237naa， 0n， 5123nalg5llg设 1()(l)n nxyxy11将式代入 式，得 ，两边消去 并整理，11 3lg2()5(lg)nanyaxy5lgna得 ，则(lg3)lg25，故l5xy4l316xy代入 式，得 11 1lglg2lg3lg2l()5()444164n naa 12由 及 式，1g3l2l3ll 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则lg3lg24164nalg3l27416，因此l lg()5nn 1111 16
9、6444411 664455l ll(l7)53lg2lg3lg2l()l()7lg(3nnnnn114162)nnn则 。115547nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lg3lg2lg3lgl()5()4164464n n是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后a llg2164n再求出数列 的通项公式。n六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2n213(1)31nn2(2)3(2)13()()112(3)2(1)()12(1)1(23()!nnnn nnnn
10、naa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常3(1)2nna用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知1lg3()2lgnn1l()nn，从而 。(1)23!13212lglgl lg5nnnaa 1()3!25na七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()839nna， n解：由 及 ，得1228()3n192122342284()(1)5839()0481a由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。21()na（1）当 时， ，所以等式成立。128()9
11、（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3ka22222222()()()1813()()()()11()(3)3(1)kkkkkk2由此可知，当 时等式也成立。n根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2)nb故 ，代入 得11()nna1(412)6nnnaa2214()46nnnbb即 2(3)因为 ，故0nna11240nna则 ，即 ，12b3b可化为 ，13()2nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此b11432413a21，则 ，即 ，得2()nnn()nb()3na。2343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形124nanb132nnb式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通nb3a项公式。
