1、3.1.4 概率的加法公式自主学习学习目标1通过实例理解互斥事件和对立事件的定义及其关系2会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率自学导引1互斥事件(互不相容事件)在同一试验中，_的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件) 2事件 A 与事件 B 的并( 或和)由事件 A 和 B_所构成的事件 C，称为事件 A 与 B 的并(或和 )，记作 _3互斥事件的概率加法公式(1)设事件 A 和事件 B 是两个互斥事件，则 P(AB) _.(2)如果事件 A1，A 2，A n两两互斥(彼此互斥) ，那么 P(A1A 2A n)_.4对立事件_且_的两个事件叫做互为对立事件事件 A 的对立事件记作_5
2、事件 A 的对立事件 的概率求法：P(A)_.A对点讲练知识点一 事件关系的判断例 1 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10 张) 中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃” ；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ；(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”点评 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用 Venn 图分析对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析变
3、式迁移 1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报” ，事件 B为“至少订一种报” ，事件 C 为“至多订一种报” ，事件 D 为“不订甲报” ，事件 E 为“一种报纸也不订” 判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 D；(4) B 与 C；(5)C 与 E.知识点二 互斥事件的概率例 2 在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 8089 分的概率是0.51，在 7079 分的概率是 0.15，在 6069 分的概率是 0.09，计算小明在数学考试中取得 80 分以上的成绩的
4、概率和小明及格的概率点评 对于一个较复杂的事件，一般要将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和，关键是确定事件是否互斥变式迁移 2 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数 1、2、3、4、5、6) ，事件 A表示“朝上一面的数是偶数” ，事件 B 表示“朝上一面的数不小于 4”，求 P(AB) 知识点三 对立事件的概率例 3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求：12 13(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率点评 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率
5、变式迁移 3 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m) 8,10) 10,12) 12,14) 14,16) 16,18)概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)10,16)(m)；(2)8,12)(m)；(3)水位不低于 12 m.1互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立
6、事件2互斥事件概率的加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提条件下使用当直接求其一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率. 课时作业一、选择题1把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案都不对2现有 2008 年奥运会志愿者 7 名，其中 4 名为男性，3 名为女性，从中任选 2 名志愿者为游客做向导，其中下列事件：恰有 1 名女性与恰有 2 名女性；至少有 1 名女性与全是女性；至少有 1 名男性与至少有 1 名女性；至少有 1 名女性与全是男
7、性是互斥事件的组数有( )A1 组 B2 组C3 组 D4 组3某射手在一次射击中命中 9 环的概率是 0.28，命中 8 环的概率是 0.20，不够 8 环的概率是 0.30，则这个射手在一次射击中命中 9 环或 10 环的概率是( )A0.50 B0.22C0.70 D无法确定4某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03，丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )A0.09 B0.98 C0.97 D0.965某人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A至多有一次中靶B两次都中靶C两次都不中靶D只
8、有一次中靶二、填空题6从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 ，那么所选 3 人中都是男生的概率为_457某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前 4 声内被接的概率为_8口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，则摸出黑球的概率是_三、解答题9盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取三个球，设事件 A3 个球中有 1 个红
9、球，2 个白球，事件 B3 个球中有 2 个红球，1 个白球 ，事件 C3 个球中至少有 1个红球 ，事件 D3 个球中既有红球又有白球 问(1)事件 D 与 A、B 是什么样的运算关系？(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？10某射手射击一次射中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)至少射中 7 环的概率31.4 概率的加法公式自学导引1不可能同时发生2至少有一个发生(即 A 发生，或 B 发生或 A、B 都发生) C AB3(1)P(A)P(B) (2)P(A 1) P(
10、A2)P(A n)4不能同时发生 必有一个发生 A51P( )A对点讲练例 1 解 (1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花” ，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张， “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，
11、 “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件变式迁移 1 解 (1)由于事件 C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件 A 与事件C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件(2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 B与 E 是互斥事件，由于事件 B 发生可导致事件 E 一定不发生，且事件 E 发生会导致事件B 一定不发生，故 B 与 E 是对立事件(3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件 B发生，事件 D 也可
12、能发生，故 B 与 D 不是互斥事件(4)事件 B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报” ， “只订乙报” ， “订甲、乙两种报” 事件 C“至多订一种报 ”中有这些可能：“一种报纸也不订” ， “只订甲报” ， “只订乙报” 由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能，事件 C 与事件 E有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件例 2 解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B“考试成绩在 90 分以上” ，C “考试成绩在 8089 分” ，D “考试成绩在 7079分” ，
13、E “考试成绩在 6069 分” ，记事件 A“考试成绩在 80 分以上” ，则 ABC ，且 B、C 为互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可知P(A)P(BC)P(B) P(C) 0.180.510.69.记事件 F“小明考试及格” ，有 FBC DE，且 B、 C、D、E 两两互斥，由互斥事件的概率加法公式应有P(F)P(BCDE) P(B) P(C)P(D)P(E) 0.18 0.510.150.090.93.变式迁移 2 解 AB 这一事件包括 4 种结果，即出现 2、4、5 和 6，所以 P(AB) .36 16 23例 3 解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以甲获
14、胜的概率 P1 .(12 13) 16(2)方法一 记事件 A“甲不输 ”，则 A 是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并，所以 P(A) ；16 12 23方法二 实际上，事件 A“甲不输 ”是“乙胜”事件的对立事件，所以 P(A)1 13.23变式迁移 3 解 设水位在a，b) 范围的概率为 P(a，b)由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P(10,16)P(10,12) P(12,14)P(14,16)0.280.380.160.82.(2)P(8,12)P(8,10) P(10,12)0.10.280.38.(3)记“水位不低于 12 m”为事件 A，P(A)
15、1P(8,12) 10.380.62.课时作业1C2B3A P10.300.200.50.4D P10.030.010.96.5C 至少有一次中靶和两次都不中靶不可能同时发生6.15解析 设 A3 人中至少有 1 名女生，B3 人都为男生，则 A、B 为对立事件；P(B)1P(A) .1570.980.30解析 P10.420.280.30.9解 (1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球 2 个白球，或 2 个红球 1 个白球，故DAB.(2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，三个均为红球，故 CA A.10解 设“射中 10 环” ， “射中 9 环” ， “射中 8 环” ， “射中 7 环”的事件分别为A、B 、 C、D，则 A、B 、C、D 是互斥事件，(1)P(A B)P(A)P(B)0.240.280.52；(2)P(A BCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87.答 射中 10 环或 9 环的概率是 0.52，至少射中 7 环的概率为 0.87.
