1、3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主学习学习目标1理解反函数的定义2知道指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数(a0，a1)3通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质自学导引1反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的_，而把这个函数的自变量作为新的函数的_称这两个函数互为反函数(2)反函数的记法：函数 yf(x)的反函数通常用_表示2指数函数与对数函数的关系(1)指数函数 ya x与对数函数 ylog a x_.(2)指数函数 ya x与对数函数 ylog a x 的图象关于_对称对点讲练知识点一 求函数的
2、反函数问题例 1 求下列函数的反函数(1)y x；(14)(2)ylog 2x，x(1,8) ；(3)yx 21，x(0，)规律方法 求函数 yf( x)的反函数的步骤为：(1)由 yf(x) 解出 xf 1 (y)；(2)由函数 yf(x )求 y 的范围；(3)x、y 互换得 yf 1 (x)，注明定义域，即函数 yf(x)的值域变式迁移 1 求下列函数的反函数(1)ylog 2x； (2)y( )x；13(3)y5x1.知识点二 互为反函数的图象间的关系例 2 设方程 2xx30 的根为 a，方程 log2xx30 的根为 b，求 ab 的值规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系，
3、利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题变式迁移 2 本例中若将题干中的两个方程分别改为 xlg x3 和 x10 x3，结果怎样？知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用例 3 设 a，b，c 均为正数，且 2alog a，( )blog b，( )clog 2c，则( )12 12 12 12Aa0，且 a1)，g( x)log ax(a0，且 a 1)，若 f(3)g(3)0 且 a1)满足 f(27)3，则 f1 (log92)的值是( )Alog 3 B. C. D2222 2二、填空题6函数 y1log 3x 与函数 y23 x，当 x 从 1 增加到 m
4、 时，函数的增量分别是 y1 与y2，则 y1_y2(填“” ， “”或“1b0)(1)求 yf(x) 的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于 x 轴32.3 指数函数与对数函数的关系 答案自学导引1(1)自变量 因变量 (2)yf 1 (x)2(1)互为反函数 (2)yx对点讲练例 1 解 (1)由 y x，(14)得 xlog y，且 y0，14f 1 (x)log x，x(0，) 14(2)由 ylog 2x，得 x2 y，又 x(1,8)，00，得 x ，y 1又 x(0 ，)，y 1，f 1 (x) ，x (1，)x 1变式迁移 1 解 (1)由 ylo
5、g 2x，得 yR，x2 y，f 1 (x)2 x，xR.(2)由 y( )x，得 xlog y 且 y0.13 13f 1 (x)log x(x0)13(3)由 y5x1，得 x 且 yR，y 15f 1 (x) ，x R.x 15例 2 解 将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a 是指数函数 y2 x的图象与直线 yx3 交点 A 的横坐标，b 是对数函数 ylog 2x 的图象与直线 yx3 交点 B 的横坐标由于函数 y2 x与 ylog 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线 yx 对称，由题意可得出 A、B 两点也关于直线 yx 对称，于是 A、B 两点的坐标为 A(
6、a，b)，B( b，a)而 A、B 都在直线 yx 3 上，ba3(A 点坐标代入) ，或 ab3(B 点坐标代入)，故 ab3.变式迁移 2 解 将两方程化为：lg x3x 与 10x3x，在同一坐标系中分别作出函数 ylg x，y10 x，y3x 的图象，结合例题解法易知 ab3.例 3 A 方法一 由函数 y 2x，y( )x，12ylog 2x，ylog x 的图象知：00，2 a1，log a1，1200，00， log2c0，12c1，01，选 D.课时作业1B f(x) 的值域即为其反函数定义域2D3C 互为反函数图象关于 yx 对称，(1,5)点关于直线 yx 对称点为(5,1)，选 C.4C f(3)a 30，由 f(3)g(3)0，得( )x1( )0.ab ab 1，x0.ab函数的定义域为(0，)(2)先证明 f(x)是增函数对于任意 x1x20，a1 b0，ax 1ax2，bx 1ax2bx 2.lg(ax 1bx 1)lg(ax2bx 2)f(x 1)f(x2)f(x)在(0，)上为增函数假设 yf(x) 的图象上存在不同的两点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线 AB 平行于 x 轴，则 x1x 2，y 1 y2，这与 f(x)是增函数矛盾yf(x) 的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于 x 轴
