1、2.1.1 函数( 二)自主学习学习目标1了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射2知道函数与映射的关系自学导引1映射的概念设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素 x，在 B中_元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的_这时，称 y 是 x 在映射 f 作用下的_，记作_，x 称作 y的_2一一映射如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合 B 中的_，在集合A 中都_，这时我们说这两个集合的元素之间存在_，并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的_3映射与函数由映射的定义可以看出，映射是_概念的推广，函
2、数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须是_对点讲练知识点一 映射的概念例 1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合 A 到集合 B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A0,1,2,3，B1,2,3,4，对应法则 f：“加 1”；(2)A(0，)，BR，对应法则 f：“求平方根” ；(3)AN ，B N，对应法则 f：“3 倍” ；(4)AR ，B R，对应法则 f：“求绝对值” ；(5)AR ，B R，对应法则 f：“求倒数” 规律方法 判断对应 f：AB 是否是 A 到 B 的映射，须注意两点：(1)明确集合 A、B 中的元素；(2)判断 A 的每个元素是
3、否在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意 B 中的每个元素在 A 中是否有原象，集合 A 中的不同元素对应的象是否相同变式迁移 1 下列对应是否是从 A 到 B 的映射，能否构成函数？(1)AR ，B R，f：x y ；1x 1(2)A0,1,2,9，B0,1,4,9,64，f ：ab( a1) 2；(3)A0，)，BR，f：xy 2x；(4)Ax|x 是平面 M 内的矩形 ，Bx| x 是平面 M 内的圆，f：作矩形的外接圆知识点二 象与原象例 2 已知映射 f：A B 中，AB(x，y)|xR，yR ，f：(x，y)(3x 2y1,4x 3y 1)(
4、1)求 A 中元素(1,2) 的象；(2)求 B 中元素(1,2) 的原象规律方法 解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2) 搞清楚由原象到象的对应法则变式迁移 2 已知集合 AR ，B( x，y)|x，yR ，f ：AB 是从 A 到 B 的映射，f：x( x1，x 21)，求 A 中元素 在 B 中的象和 B 中元素 在 A 中的原象2 (32，54)知识点三 映射的个数问题例 3 已知 Aa，b，c ，B2,0,2 ，映射 f：AB 满足 f(a)f(b)f(c) 求满足条件的映射的个数规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论变式迁移 3 若
5、将本例中的条件改为 “B 1,0,1 ，f(a) f(b)f(c) ”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不一样的2对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应3判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合 A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于 B 中的每一个元素
6、是否都有原象，则不作要求. 课时作业一、选择题1设 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，则下面说法正确的是( )AA 中的每一个元素在 B 中必有象BB 中每一个元素在 A 中必有原象CA 中的一个元素在 B 中可以有多个象DA 中不同元素的象必不同2设集合 Ax|0 x 6，By|0y2，对于以下对应的关系中，不是 A 到 B 的映射的是( )Af：x x Bf ：x x12 13Cf：x x Df：x x14 163设集合 A、B 都是坐标平面上的点集(x，y)|x R，yR ，映射 f：AB 使集合 A中的元素( x，y)映射成集合 B 中的元素( xy，xy)，则在 f 下，象
7、(2,1)的原象是( )A(3,1) B.(32，12)C. D(1,3)(32， 12)4给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：A你们班的同学 ，B 体重 ，f ：每个同学对应自己的体重；M1,2,3,4，N2,4,6,8，f：n2m，n N，mM；MR，N x|x0，f：yx 4；A 中国，日本，美国，英国，B北京，东京，华盛顿，伦敦，f ：对于集合 A 中的每一个国家，在集合 B 中都有一个首都与它对应上述四个对应中是映射的有_，是函数的有_，是一一映射的有_( )A3 个 2 个 1 个 B3 个 3 个 2 个C4 个 2 个 2 个 D2 个 2 个 1 个5集合 A1,2,3
8、，B 3,4 ，从 A 到 B 的映射 f 满足 f(3)3，则这样的映射共有( )A3 个 B4 个 C5 个 D6 个二、填空题6设 AZ，Bx |x2n1，nZ，CR，且从 A 到 B 的映射是 x2x1，从 B到 C 的映射是 y ，则经过两次映射，A 中元素 1 在 C 中的象为_12y 17设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表：映射 f 的对应法则如下：原象 1 2 3 4象 3 4 2 1映射 g 的对应法则如下：原象 1 2 3 4象 4 3 1 2则 fg(1)的值为_8根据下列所给的对应关系，回答问题AN *，B Z，f：xy3x1，x A，yB；AN，
9、B N *，f：xy| x1|，xA，y B；Ax|x 为高一(2)班的同学，B x|x 为身高，f：每个同学对应自己的身高；AR，B R，f：xy ，xA，yB.1x |x|上述四个对应关系中，是映射的是_，是函数的是_三、解答题9设 f：AB 是集合 A 到集合 B 的映射，其中 A正实数 ，BR， f：xx 22x1，求 A 中元素 1 的象和 B 中元素 1 的原象210已知 A1,2,3， m， B4,7， n4， n23 n，其中 m， nN *.若 x A， y B，有对应关系 f： x y px q 是从集合 A 到集合 B 的一个映射，且 f(1)4， f(2)7，试求p，
10、q， m， n 的值2 1.1 函数( 二) 答案自学导引1有一个且仅有一个 映射 象 f(x) 原象2任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系一一映射3函数 非空数集对点讲练例 1 解 (1)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则 f 是 A 到 B 的映射，又 B 中的每一个元素在 A 中都有唯一的原象与之对应，故 f：A B 也是一一映射(2)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则 f 不是 A 到 B 的映射，故不是一一映射(3)中集合 A 中的每一个元素通过
11、法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则 f 是从 A 到 B 的映射，又 B 中某些元素 1、2、4、5在 A 中没有原象与之对应，故 f：AB 不是一一映射(4)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，故法则 f 是从 A 到 B 的映射，但对于 B 中某些元素在 A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故 f：AB 不是一一映射(5)当 x0A， 无意义，故法则 f 不是从 A 到 B 的映射1x变式迁移 1 解 (1)当 x1 时，y 的值不存在，不是映射，更不是函数(2)在 f 的作用下，A 中的 0,1,2,
12、9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64，是映射，也是函数(3)当 A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应， 不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数，因为 A，B 不是数集例 2 解 (1)当 x1，y2 时，3x2y 10,4x3y19.故 A 中元素(1,2)的象为(0,9) (2)令Error!， 得Error!，故 B 中元素(1,2)的原象是 .(617，917)变式迁移 2 解 将 x 代入对应关系，可求出其在 B 中的对应元素( 1,3)2 2由Error! 得 x .12所以 在 B 中的象为( 1,3)， 在 A 中对应的原象为 .2 2 (32，54) 12
13、例 3 解 (1)当 A 中三个元素都对应 0 时，则 f(a)f(b) 000f(c) 有一个映射；(2)当 A 中三个元素对应 B 中两个时，满足 f(a)f(b)f(c )的映射有 4 个，分别为 202,022，(2)02,0( 2)2.(3)当 A 中的三个元素对应 B 中三个元素时，有两个映射，分别为(2) 20,2( 2)0.因此满足条件中的映射共有 7 个变式迁移 3 解 由于 f(a)、 f(b)、f (c)的取值属于1,0,1，故 f(a)f(b)f (c)时，f(a)，f(b)， f(c)取值的情况如表所示.f(a) f(b) f(c)1 1 11 1 11 1 11 1
14、 11 0 00 1 00 0 01 0 00 1 0由表可知这样的映射有 9 个课时作业1A 2.A 3.B 4.C5B 由于要求 f(3)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的 4 种可能6.13解析 A 中元素 1 在 B 中象为 2111，而 1 在 C 中象为 .121 1 1371解析 g(1)4，fg(1)f(4) 1.8 解析 对 xA ，在 f：xy3x 1 作用下在 B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又 A、B 均为数集，因而能构成函数；当 x1 时，y |x1|1 1|0B，即 A 中的元素 1 在 B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数对高一
15、(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2) 班的同学不是数集，从而不能构成函数当 x0 时，|x| x 0，从而 无意义，因而在 x0 时，A 中元素在 B 中无象，1|x| x所以不能构成映射9解 当 x1 时，x 22x1(1 )22(1 )10，所以 1 的象是2 2 2 20.当 x22x11 时，x 0 或 x2.因为 0A，所以1 的原象是 2.10解 由 f(1)4，f(2) 7，列方程组：Error!Error!.故对应法则为 f：x y3x1.由此判断出 A 中元素 3 的象是 n4 或 n23n.若 n410，因为 nN *，不可能成立，所以 n23n10，解得 n2(舍去不满足要求的负值)又当集合 A 中的元素 m 的象是 n4 时，即 3m116，解得 m5.当集合 A 中的元素 m 的象是n23n 时，即 3m110，解得 m3.由元素互异性知，舍去 m3.故p3，q1，m5，n2.
