1、9.1 分式及其基本性质一、教学目的1使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。2使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。二、教学重点、难点重点：分式的意义及其基本性质。难点：分式的变号法则。三、教学过程引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。例题：甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？分析：设甲每小时做 x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做 90 个所
2、用的时间是90x（或 ）小时，乙做 60 个的用的时间是60（x-6） （或 ）小时，根据题x90 60x意列方程= 6可以看出 、 都不是整式。列出的方程也不是已学过的方程。学习本章内容x90就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。1分式在算术里，两个数相除可以表示在分数的形式。分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。在代数里，整式的除法也有类似的表示。如前面的例题中， （90x）小时可表示成小时， 60（x-6） 小时可表示成 小时。x9060x又如 n 公顷麦田共收小麦 m 吨，平均每公顷产量（mn）吨，可用式子 吨表示。nm再
3、如轮船的静水速度为 a 千米/小时。水流速度为 b 千米/小时，轮船在逆流中航行 s千米所需时间s（a-b） 小时，可用式子 小时表示。as、 、 、 的分母中都含有字母。x906nmbas一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 可以表示成 的形式。如果 B 中含有字母，式A子 叫做分式。基中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。可见，上列各工都是分式。由分子的意义可以知道：（1）分式是两个整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。式子 、90x、 都不是分式，因为它们的分母都没有字母。
4、60x4y（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。字母所取的值有可能使分母为零。因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。因此在分式中，分母的值不能是零，例如在 里，x0；在 里，ab。x90bas例 1 当 x 取什么值时，下列分式有意义？（1） ； （2） 。14x解：（1）由 x-20 得 x2，即当 x2 时，分式 有意义。2x（2）由 4x+10 得 x 时，分式 有意义。例 2 当 x 是什么数时，分式 的值是零？52x解：由分子 x+2=0，得 x=-2。而当 x=-2 时，分母 2x-5=-4-50，所以当 x=-2 时，分式 的
5、值是零。5x问题：（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？（2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以 为例回答此题。5102x2分式的基本性质我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根据。分式也有类似的性质，就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：MBABA,其中 M 是不等于零的整式。分式的基本性质是分式变号法则。通分，约分及化简繁分式的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。例 1 下列等式的右边是怎样从
6、左边得到的？（1） ； （2） .)0(2cbayx23解：（1）c0， x0， ， .bcaba22yxxy23例 2 填空：（1） ； （2） .ba2x2解：（1）a0， ，即填 a2+ab。baba2（2）x0， ，即填 x。yxxyx22例 3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1） ； （2） .yx32ba.053解：（1） .yxyxyx4362132（2） .bababa1025.05.05例 4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“”号：（1） ； （2） ； （3） .a65yxnm解：（1） .abb65)1(（2） .yxxy3
7、)(3（3） .nmnm2注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。例 5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1） ； （2） ； （3） .x12a32x解：（1） .)(222x（2） .1-22aa+=（3） .3)(222xx注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“”号，括号内各项都变号。四、需要注意的几个问题1要特别注意分式中作为分母的代数式的值不得为零的教学。在分数里，分数的分母是一个具体的数，是否
8、为零一目了然；而在分式里，要明确其是否有意义，就必须分析，讨论分母中所含字弱不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零。2从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：.)0(,MBABA从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。首先应引导学生认识到分式的基本性质中的 A、B、M 表示整式。随着知识的扩充，A、B、M 还可代表任何代数式。其次要强调 M0。在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调 M0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，
9、而在代数中，M是一个含字母的代数式。由于字母的取值可以是任意的，所以就有 M=0 的可能性。因此，当我们应用这个性质时，都应考查 M 这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。3分式的变号规律是由两条法则概括而成的。第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。这一条是根据分式的基本性质推导出来的。第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。这一条用分式的基本性质是推导不出来的。根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负” ，在分式（两式相除）中同样适用。来源:W分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。
