1、整式的乘法透视整式乘法中的数学思想数学思想方法是数学知识的精髓，是解题的指导思想，若能正确把握它，并把它落实到学习和应用数学的活动中去，就相当于找到了打开智慧之门的金钥匙.在整式的乘法中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助同学们借助数学思想更好地解题，现举例如下：一、整体思想例 1 已知 m2 m1=0，求 m32 m22008 的值.分析：已知条件是一个二次式，待求式为三次式，我们把已知条件作为一个整体，经过适当变化代入待求式中，使问题得以解决.解法一：m32 m22008= m3 m2 m2 m m2008= m3 m2 m m2 m12009= m(m2 m1)( m2 m1)2009=20
2、09.解法二：由 m2 m1=0，得 m2 m=1.m32 m22008= m3 m2 m22008= m(m2 m) m22008= m2 m2008=12008=2009. 点评：整体思想是一种重要的数学方法，在解题中有着广泛的应用.解法一将已知条件视为一个整体，解法二将变化后的式子视为一个整体.二、恒等思想例 2 已知( x ay)(x by)=x24 xy6 y2，求代数式 13(a b)6 ab 的值.分析：根据题意求 a、 b 的值不太容易，不妨将等式左边按多项式乘多项式的法则展开，再比较等式两边各项的系数，可求得 a b、 ab 的值.解：( x ay)(x by)=x2 bxy
3、 axy aby2=x2( a b)xy aby2=x24 xy6 y2.比较系数，得 a b=4， ab=6.所以 13(a b)6 ab=13(4)66=88.点评：本题解法巧妙地利用了“恒等思想” ，这是数学中常用的一种处理问题的思想，最后直接将 a b、 ab 的值代入所求式子，又体现了整体思想.三、换元思想例 3 计算：( a1 a2 an1 )(a2 a3 an)( a2 a3 an1 )(a1 a2 an).分析：本题若按多项式乘法法则展开很复杂，观察这四个多项式发现它们有很多共同的项，因此不妨设 a2 a3 an1 =A，利用换元法求解，可以大大简化运算过程.解：设 a2 a3
4、 an1 =A，原式=( a1 A)(A an) A(a1 A an)= a1A a1an A2 Aan Aa1 A2 Aan= a1an.点评：用 A 代替 a2 a3 an1 的方法即为换元，它起到了变复杂为简单，变陌生为熟悉的作用.四、数形结合思想例 4 一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示，例如：(2 a b)(a b)=2a23 ab b2就可以用图 1 或图 2 等图形的面积表示：a2 b2 b2 b2ab abab ab图 4（1）请写出图 3 所表示的代数恒等式：_；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：( a b)(a3 b)=a24 ab3 b2；（3）请仿照
5、上述方法另写一个含有 a、 b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.分析：图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系.对几何图形作出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的，一般是从面积方面进行考虑.解：（1）(2 a b)(a2 b)=2a25 ab2 b2；（2）画图（如图 4） ；（3）答案不惟一，如 a(a2 b)=a22 ab，与之对应的几何图形如图 5.点评：从图形中提炼、抽象公式（或等式）是近些年中考的亮点，解此类题的关键是注意把握图形的面积，利用割补原理.图 5aa b bb2图 3abb2ababababa2a2ab ab b2aba2 a2baa a baab baa2a2abab abb2图 1 图 2
