1、第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念一、非标准1.函数 f(x)=x2-1 在 x0 到 x0+x 之间的平均变化率为( )A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+(x)2D.(x)2-x+1解析: =2x0+x.答案:B2.将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 R,则球的表面积的增加量 S 等于( )A.8RRB.8RR+4(R)2C.4RR+4(R)2D.4(R)2解析:S=4(R+ R)2-4R2=8RR+4(R)2.答案:B3.若一物体的运动方程为 s(t)=2- t2,则该物体在 t=6 时的瞬时速度为( )A.8 B.-4C.-6
2、 D.6解析:瞬时速度为 =-6.答案:C4.函数 f(x)在 x=a 处可导,则 等于( )A.f(a) B.f(a)C.f(h) D.f(h)解析:令 h-a=x,则 h=a+x,故 =f(a).答案:B5.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+x)-f(x0)=ax-b(x)2(a,b 为常数),则( )A.f(x0)=aB.f(x0)=bC.f(x0)=-bD.f(x0)=0解析:f(x 0)= (a-bx)=a.答案:A6.已知曲线 y=x2+1 在点 M 处的瞬时变化率为-4, 则点 M 的坐标为 . 解析:设 M(x0,y0),则= (2x0+x)=2x0=-4
3、,x0=-2.y0=4+1=5.M 坐标为 (-2,5).答案:(-2,5)7.已知 f(x)=sin x,且 =cos x0,则 f = . 解析:f(x 0)= =cos x0,f =cos .答案:8.汽车行驶的位移 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示.在时间段t 0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为 ,其三者的大小关系是 . 解析: =kMA, =kAB, =kBC.由图象可知 kMAkABkBC, .答案:9.已知函数 f(x)=ax2+2,且 f(-1)=2,求实数 a 的值.解:因为 f(-1)= (-2a+ax)=-2a.又因为 f(-1)=2,即-2a=2,
4、所以 a=-1.10.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为 T(t)= +15,其中 T(t)为体温(单位:),t 为太阳落山后的时间(单位:min).(1)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少 ?(2)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温平均变化率是多少 ?它代表什么实际意义?(3)求 T(5),并说明它的实际意义.解:(1)在 t=0 和 t=10 时,蜥蜴的体温分别为 T(0)= +15=39,T(10)= +15=23,从 t=0 到t=10 min,蜥蜴的体温下降了 16 .(2)平均变化率 =-1.6.它表示从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 .(3)T(5)=-1.2.它表示 T=5 min 时蜥蜴体温下降的速度为 1.2 /min.
