1、2.3 数学归纳法一、非标准1.用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1= (nN*,a1),在验证 n=1 时,左边所得的项为( )A.1 B.1+a+a2C.1+a D.1+a+a2+a3答案:B2.用数学归纳法证明“凸 n(n3,nN)边形的内角和公式” 时,由 n=k 到 n=k+1 时增加的是( )A. B. C. D.2解析:如图,由 n=k 到 n=k+1 时,凸 n 边形的内角和增加的是: 1+2+3=,故选 B.答案:B3.利用数学归纳法证明 + 1)时,假设当 n=k 时不等式成立,则当n=k+1 时,应推证的目标不等式是 . 答案:1+ + + k+17.用数学归纳法证明
2、(1+1)(2+2)(3 +3)(n+n)=2n-1(n2+n)时,从 n=k 到 n=k+1 左边需要添加的因式是 . 解析:当 n=k 时,左边=(1+ 1)(2+2)(3+3)(k+k),当 n=k+1 时,左边= (1+1)(2+2)(3+3)+(k+k)(k+1+k+1),比较两式可知,由 n=k 到 n=k+1,左边需添加的因式为(2k+2).答案:2k+28.用数学归纳法证明“n 3+5n 能被 6 整除”的过程中,当 n=k+1 时,对式子(k+ 1)3+5(k+1)应变形为 . 解析:采取凑配法,凑出归纳假设 k3+5k 来,( k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+
3、1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k 3+5k)+3k(k+1)+69.已知数列a n的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n2,nN*).(1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式;(2)用数学归纳法证明 an的通项公式.解：(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想 an=52n-2(n2,nN*).(2)证明:当 n=2 时,a 2=522-2=5,猜想成立.假设当 n=k 时成立,即 ak=52k-2(k2,kN*),当 n=k+1 时,由已知条件和假设有ak+1=Sk=a1+a2+ak=5+5+10+52k-2=5+ =52k-1.故 n=k+1 时,猜想也成立.由可知,对 n2,nN*,有 an=52n-2,所以数列a n的通项 an=10.用数学归纳法证明对一切 nN*,1+ + .解：证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,不等式成立.(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 1+ + ,则当 n=k+1 时,要证 1+ + ,只需证 .因为= 0,所以 ,即 1+ + ,所以当 n=k+1 时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切 nN*都成立.
