1、1.6 微积分基本定理教学建议1.教材分析本节采用从局部到整体,从具体到一般的思想,先利用物理意义和导数的几何意义,并根据定积分的概念,探究变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系,通过寻求导数和定积分之间的内在联系,得到微积分基本定理的雏形,再利用一般化而得出微积分基本定理.本节的重点是直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分,难点是了解微积分基本定理的含义,应用微积分基本定理解决简单的综合问题.2.主要问题及教学建议(1)微积分基本定理的探究过程.建议教师充分利用学生所熟知的变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系,并结合图形,让学生直观地看出物体在时间段a,b
2、 上位移的近似值.(2)微积分基本定理的重要意义.建议教师可以结合数学史、数学文化的学习向学生适当介绍微积分基本定理的有关内容.同时,还可引导学生对“定义法”和用定理求定积分进行对比,使学生体会利用微积分基本定理求定积分的优越性.备选习题1.求定积分 dx 的值.解: dx= dx= dx= 1dx- dx=1-2 dx=1-2ln(x+2) =1-2ln 2.2.已知 f(x)= (12t+4a)dt,F(a)= f(x)+3a2dx,求函数 F(a)的最小值.解:因为 f(x)= (12t+4a)dt=(6t2+4at)=6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2,F(a)
3、= f(x)+3a2dx= (6x2+4ax+a2)dx=(2x3+2ax2+a2x) =2+2a+a2=a2+2a+2=(a+1)2+11.所以当 a=-1 时,F(a) 的最小值为 1.3.已知 f(x)= 求 k 的值,使 f(x)dx= .解:分 2k3 和-2 k2 两种情况讨论:当 2k3 时, f(x)dx= (1+x2)dx= =(3+9)- .整理,得 k3+3k+4=0,即 k3+k2-k2+3k+4=0.(k+1)(k2-k+4)=0.k=-1.又2k3,k=-1(舍去).当-2k2 时,f(x)dx= (2x+1)dx+ (1+x2)dx=(x2+x)=(4+2)-(k2+k)+(3+9)-= -(k2+k)= ,k2+k=0,即 k=0 或 k=-1,满足条件.综上所述,k=0 或 k=-1 时,使 f(x)dx= .
