1、2.2.2 反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择 .建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题 .建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了), 对推出矛盾
2、没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆的圆心,C 是 SB 上一点.求证:AC 与平面SOB 不垂直 .证明:如图,连接 AB,OB,假设 AC平面 SOB.直线 SO 在平面 SOB 内,ACSO.SO底面圆 O,SOAB.又 ABAC=A,SO平面 ABC,平面 ABC底面圆 O.这显然与 AB底面圆 O 矛盾,假设不成立.故 AC 与平面 SOB 不垂直.2.设a n是公比为 q 的等比数列,S n是它的前 n 项和.(1)求证:数列S n不是等比数列;(2)数列S n是等差数列吗? 为什么?(1)证明:反证
3、法:假设S n是等比数列,则 =S1S3,即 (1+q)2=a1a1(1+q+q2).a10,(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,与 q0 矛盾,故S n不是等比数列.(2)解:当 q=1 时,S n是等差数列 .当 q1 时,S n不是等差数列.假设 q1 时,S n是等差数列,则 S1,S2,S3成等差数列,即 2S2=S1+S3.2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于 a10,2(1+q)=2+q+q2,q=q2.q1,q=0,与 q0 矛盾.当 q1 时,S n不是等差数列.3.若 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证:a,b,c 中至少有一个大于 0.证明:假设 a,b,c 都不大于 0,即 a0,b0,c0,所以 a+b+c0.又 a+b+c=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30.这与 a+b+c0 矛盾,故 a,b,c 中至少有一个大于 0.
