1、选修 2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明 1 1)时，第一步应验证不等式( )12 13 12n 1A1 n22”这一命题，证明过程中应验证( )An1 时命题成立Bn1，n2 时命题成立Cn3 时命题成立Dn1，n2，n3 时命题成立答案 D解析 假设 nk 时不等式成立，即 2kk22，当 nk1 时 2k1 22 k2(k22)由 2(k2 2)(k 1) 24k 22k30(k1)(k3)0k 3，因此需要验证 n1,2,3 时命题成立故应选 D.8已知 f(n) (2n7)3 n9，存在自然数 m，使得对任意 nN *，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m
2、的值为( )A30 B26C36 D6答案 C解析 因为 f(1)36，f(2) 108336，f(3)3601036，所以 f(1)，f(2)，f(3)能被36 整除，推测最大的 m 值为 36.9已知数列a n的前 n 项和 Snn 2an(n2) ，而 a11，通过计算 a2、a 3、a 4，猜想 an( )A. 2(n 1)2B.2n(n 1)C. 22n 1D.22n 1答案 B解析 由 Snn 2an知 Sn1 (n1) 2an1S n1 S n(n1) 2an1 n 2ana n1 (n1) 2an1 n 2ana n1 an (n2)nn 2当 n2 时，S 24a 2，又 S
3、2a 1a 2，a 2 a13 13a3 a2 ，a 4 a3 .24 16 35 110由 a11，a 2 ，a 3 ，a 413 16 110猜想 an ，故选 B.2n(n 1)10对于不等式 n1(nN )，某学生的证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设 nk(kN )时，不等式成立，即 (n2)12 13 14 12n 1n 22证明 当 n2 时，左 0右，12不等式成立假设当 nk( k2，k N *)时，不等式成立即 成立12 13 12k 1k 22那么 nk1 时， 12 13 12k 1 12k 1 1 12k 1 2k 1 k 2
4、2 12k 1 1 12kk 22 12k 12k 12k ，k 22 2k 12k (k 1) 22当 nk1 时，不等式成立据可知，不等式对一切 nN *且 n2 时成立17在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这 n 条直线将它们所在的平面分成 个区域n2 n 22证明 (1)n2 时，两条直线相交把平面分成 4 个区域，命题成立(2)假设当 nk(k2)时，k 条直线将平面分成 块不同的区域，命题成立k2 k 22当 nk1 时，设其中的一条直线为 l，其余 k 条直线将平面分成 块区域，直线k2 k 22l 与其余 k 条直线相交，得到
5、 k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成 k1 段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域 k1 块从而 k1 条直线将平面分成 k1 块区域k2 k 22 (k 1)2 (k 1) 22所以 nk1 时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18(2010衡水高二检测)试比较 2n2 与 n2 的大小(nN *)，并用数学归纳法证明你的结论分析 由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到 2n2 与 n2 的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论解答本题的关键是先利用特殊值猜想解析 当 n1 时，2 124n 21，当 n2 时，2 226n 24，当 n3 时，2 3210n
6、29，当 n4 时，2 4218n 216，由此可以猜想，2n2n 2(nN *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，左边2 124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当 n2 时，左边2 226，右边2 24，所以左边右边；当 n3 时，左边2 3210，右边3 29，所以左边右边(2)假设 nk 时(k3 且 kN *)时，不等式成立，即 2k2k 2.那么 nk1 时，2k1 2 22 k22(2 k2) 22k 22.又因：2k 22( k1) 2k 22k3(k3)(k1)0，即 2k22(k1) 2，故 2k1 2(k1) 2 成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何 nN *都成立
