1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法一、非标准1.若 a,b,c 是不全相等的实数,求证:a 2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:a,b,cR,a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.又 a,b,c 不全相等,以上三式至少有一个“=” 不成立 .将以上三式相加,得 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),a2+b2+c2ab+bc+ac.此证法是( )A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法解析:由因导果,故为综合法.答案:B2.在ABC 中,若 sin Asin B0,即 cos(A+B)0,-cos C0,cos C1+ 成立的正整
2、数 a 的最大值是( )A.13 B.12 C.11 D.10解析:由 -1 得 a2y,故 =4,lo =lo 4=4.答案:48.要证 成立,则 a,b 应满足的条件是 . 解析:要证 ,只需证( )30,即 )0.故所需条件为或即 ab0 且 ab 或 ab0 且 ab 或 ab0 且 ab9.ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列 ,求证: .解：证明:要证 ,只需证 =3.即证 =1,即 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),只需证 c2+a2=ac+b2.ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列 ,B=60.由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos 60,即
3、 b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2.命题得证.10.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF AC,AB= ,CE=EF=1.(1)求证:AF平面 BDE;(2)求证:CF平面 BDE.解：证明:(1)设 AC,BD 的交点为 G,连接 EG,因为 EFAG,且 EF=1,AG= AC=1,所以四边形 AGEF 为平行四边形 ,所以 AFEG.因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE.(2)连接 FG.因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以四边形 CEFG 为菱形,所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF,所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE.
