1、1.4 生活中的优化问题举例教学建议1.教材分析本节通过一些具体的问题,让学生先了解问题的背景,结合生活经验,给出问题的答案.让学生体会数学建模的过程,培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力.培养学生应用数学的意识.本节的重点是求解优化问题的思路和方法.2.主要问题及教学建议(1)优化问题.建议教师利用具体的实例,向学生介绍何为优化问题和解决这些问题的方法和措施,明确导数是求函数最大(小) 值的强有力的工具 .(2)优化问题中的定义域问题.建议教师通过具体的实例,引起学生注意所建立的函数模型中的函数的定义域问题,并引导学生根据实际情况确定函数的定义域.明确具体的实例中,函数模型中的函数
2、的定义域应根据具体问题来确定.备选习题1.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为 k(k0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 xx(0,0.048),则存款利率为( )时,银行可获得最大收益 .( )A.0.012 B.0.024 C.0.032 D.0.036解析:由题意,存款量 g(x)=kx(k0),银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为 y,则 y=0.048kx-kx2.于是 y=0.048k-2kx,令 y=0,解得 x=0.024,依题意知 y 在x=0
3、.024 处取得最大值 .故当存款利率为 0.024 时,银行可获得最大收益 .答案:B2.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为 . 解析:设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),其中 00,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y), 在 x 轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).设矩形的面积为 S,则 S=2x(4-x2)(00;当 x2 时,S0.因此,当 x= 时,S 取得极大值,也就是最大值,此时,2x= ,4-x2= .所以矩形的长和宽分别为 时,矩形的面积最大.答案:3.某商场销售
4、某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:kg )与销售价格 x(单位:元/kg)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3x6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/kg 时,每日可售出该商品 11 kg.(1)求 a 的值;(2)若该商品的成本为 3 元/ kg,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)x=5 时,y=11, +10=11.a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2.商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,其中 3x6.f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表 :x (3,4) 4 (4,6)f(x) + 0 -f(x) 42 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点 .当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值 42.即当销售价格为 4 元/kg 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
