1、2.2.1 综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若 ，且 ，则 ”，试请此结论推广猜想.12,aR12a124a（答案：若 ，且 ，则 ）,.n.n121.naa22. 已知 ， ，求证： .,abc1abc9abc先完成证明讨论：证明过程有什么特点？3. 提问：基本不等式的形式？ 4. 讨论：如何证明基本不等式 .(0,)2（讨论 板演 分
2、析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：(1).出示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证： a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.(3) .练习：已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 .3bcabac(4) .出示例 2：在ABC 中，三个内
3、角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c，且 A、B、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(5). 出示例 3：求证 . 526讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立
4、的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.(7). 练习：设 x 0，y 0，证明不等式： .1123()()xyxy先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明.(8). 出示例 4：见教材 P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）(9).出示例 5：见教材 P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：1. 为锐角，且 ，求证： . （提示：算,ABtant3tan3ABA60AB）tan()2. 已知 求证：,bc14.bc3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面
5、的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为 ，截面积为 ，周长为 l 的2l2()l正方形边长为 ，截面积为 ，问题只需证： .3. 小结：综合法是从已知4l2()4()2(4的 P 出发，得到一系列的结论 ，直到最后的结论是 Q. 运用综合法可以解决不等1,Q式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知 ，直到所有的已知 P 都成立；2,P比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析) ，从“已知 ”推“可知” （综合） ，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 求证：对于任意角 ， . （教材 P52 练习 1 题） 44cosincos2（两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角 成等差数列，求证： .ABC,ABC13abcab3. 设 a, b, c 是的ABC 三边，S 是三角形的面积，求证： .2243S略证：正弦、余弦定理代入得： ，2cos4sinbCC即证： ，即： ，即证： （成立）.2os3in3ini()16作业：教材 P54 A 组 1 题.
