1、年 级 初三 学 科 数学 版 本 北师大版内容标题 你能证明它们吗？1、2编稿老师 孙月【本讲教育信息】一. 教学内容：年 级 初三 学 科 数学 版 本 北师大版内容标题 你能证明它们吗？1、2编稿老师 孙月【本讲教育信息】一. 教学内容：你能证明它们吗？1、有关等腰三角形的性质2、有关等腰三角形的判定二. 教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。3、结合实例体会反证法的含义。4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决
2、问题当中。三. 重点、难点：重点：1、证明的基本步骤。2、掌握等腰三角形的性质和判定。3、理解和掌握反证法。难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。四. 课堂教学1、公理及其推论公理：三边对应相等的两个三角形全等。 （ ）S公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 （ ）A公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （ ）公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。推论：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （ ）S2、等腰三角形的性质定理及其推论定理：等腰三角形的两个底角相等。 （简称：等边对等角） 已知：如图，在 中， 。证： 。ABCBCA B C 证明：取 BC
3、 中点 D，连接 AD,ABCAD。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一）符号语言：（1）AB=AC，BAD=CADADBC，BD=DC（2）AB=AC，ADBCBD=DC，BAD=CAD（3）AB=AC，BD=DCADBC，BAD=CAD例 1. 等腰三角形两腰上的中线相等已知：如图，在 中， ，BD、CE 是 的中线。ABCABC求证：BD=CE。 A B C D E 证明： BD、CE 是 的中线AC1,2ED又 B在 和 中， ，ACAEDE推广：如果 ，那么 吗？1,3BDC呢？你能总结出一个一般结论吗？1,4ACA想一想：等腰三角形两底角
4、的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？3、等腰三角形的判定定理定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （简称：等角对等边）符号语言：在 中，B=C AB=ACAB4、反证法思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？解决问题： 如图，在 中，已知 ，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不等。 A B C 假设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得 ，但已知条件是B。 “ ”与已知“ ”相矛盾，因此 。BCA概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法
5、称为反证法。例 2. 、 、 、 都是正数，且 ，那么这四个数中至少有一个1a234a12341a大于或等于 。证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于 ，即这四个数都小于 ，那么这四个414数的和一定小于 1，这与已知 相矛盾，从而说明假设不成立，即这四1231a个数中至少有一个大于或等于 。4【典型例题】例 1. 如图所示，AB=DB， ，请你添加一个适当的条件使 ，则12ABCDE添加的条件是 答案： ， ，又AB=DB12DBEAC A B C D E 1 2 利用“ ”公理，需添加：BC=BE ， SA利用“ ”公理，需添加：ASAD利用“ ”公理，需添加： CEB因此可填：BC=B
6、E， 或 中的任一个。例 2. 如图，在 中 ，AD 是角平分线，求证： AC=AB+BD。B2 A B C D 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连 EDAE=AB， ，AD=ADEAB DED=BD， 是 的一个外角C B又 2 ED C AAB即 AC=AB+BD【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 选择题：1. 如图所示， ，AD=AB，ABBC 于 B，BEAC 于 E，则有（ ）12A. 1= EFD B. FDBC C. BF=FD=CD D. BE=EC A B C D E F 1 2 2. 如图所示，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 上，DE 交 AC 于 F
7、，若 ，123AE=AC，则（ ）A. ABDAFD B. AFEADC C. AFEDFC D. ABC ADEA B C D E F 1 2 3 3. 等腰三角形的一个内角为 ，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ）80A. B. 或 C. D. 以上都不对1044. 如图所示， ，BC=DB，AC=AE，则 （ ）9ACB DCEA. B. C. D. 650530 A B C D E 5. 在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出 BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）A. B. C. D. 以上
8、都不对BFC A B C D E F 二、填空题：1. 如图，已知ABC 中，若 ， ，BE 是 的平分线，36A2BABCAC=14， ，则 ，AD= 。DEABC A B C D E 2. 如图，已知ABC 中，若 ， ，直角 的顶点 P 是 BC 中90BACACEF点，两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下四个结论：（1）：AE=CF （2）：EPF 是等腰直角三角形（3）： （4）： EF=AP1ABCAEPFSS四 边 形当 在ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A、B 重合） ，上述结论中始终正确的有 A B C E F P 3. 如图所示，在ABC
9、 中， ，过 和 的平分线交点 O，作ABA，交 AC 于 E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是 /DEBC A B C D E O 4. 如图所示，在ABC 中， ，要使 AD=AE，需要添加的一个条件是 A。 A B C D E 5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角 ，则它和顶角 之间应满足的关系式为 。三、证明：1. 已知如图，AB=AD ， ，求证：CB=CDABC A B C D 2. 如图，已知在ABC 中，AD 平分 ， ，求： 的值。BACDAC:B A B D C 3. 如图所示，在ABC 中， ，AD 和 BE 是高，它们相交于点 H，且 AE=BEA求证：AH=2B
10、D A B C D E H 4. 如图，MB=2MA，MC=BC， ，求证：12MA A B C D M 1 2 5. （1）如图所示，P 是等腰ABC 的底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于 R，观察 AR 与 AQ，它们有什么关系？证明你的猜想。（2）如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线，按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时，第（1）题中的结论还成立吗？请在图中完成图形，并给出证明。 P Q R A B C ？1、有关等腰三角形的性质2、有关等腰三角形的判定二. 教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证
11、明与三角形有关性质和判定的定理。2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。3、结合实例体会反证法的含义。4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。三. 重点、难点：重点：1、证明的基本步骤。2、掌握等腰三角形的性质和判定。3、理解和掌握反证法。难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。四. 课堂教学1、公理及其推论公理：三边对应相等的两个三角形全等。 （ ）S公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 （ ）A公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （ ）公理：全等三角形的对应边相
12、等，对应角相等。推论：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （ ）S2、等腰三角形的性质定理及其推论定理：等腰三角形的两个底角相等。 （简称：等边对等角） 已知：如图，在 中， 。证： 。ABCBC A B C 证明：取 BC 中点 D，连接 AD,ABCAD。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一）符号语言：（1）AB=AC，BAD=CADADBC，BD=DC（2）AB=AC，ADBCBD=DC，BAD=CAD（3）AB=AC，BD=DCADBC，BAD=CAD例 1. 等腰三角形两腰上的中线相等已知：如图，在 中， ，BD、CE 是 的中线
13、。ABCABC求证：BD=CE。 A B C D E 证明： BD、CE 是 的中线AC1,2ED又 B在 和 中， ，ACAEDE推广：如果 ，那么 吗？1,3BDC呢？你能总结出一个一般结论吗？1,4ACA想一想：等腰三角形两底角的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？3、等腰三角形的判定定理定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （简称：等角对等边）符号语言：在 中，B=C AB=ACB4、反证法思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？解决问题： 如图，在 中，已知 ，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不等。A A B C 假
14、设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得 ，但已知条件是B。 “ ”与已知“ ”相矛盾，因此 。BCA概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。例 2. 、 、 、 都是正数，且 ，那么这四个数中至少有一个1a234a12341a大于或等于 。证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于 ，即这四个数都小于 ，那么这四个414数的和一定小于 1，这与已知 相矛盾，从而说明假设不成立，即这四1231a个数中至少有一个大于或等于 。4【典型例题】例 1. 如图所示，AB=DB， ，请你添加一个适当的条
15、件使 ，则12ABCDE添加的条件是 答案： ， ，又AB=DB12DBEAC A B C D E 1 2 利用“ ”公理，需添加：BC=BE ， SA利用“ ”公理，需添加： AD利用“ ”公理，需添加： E因此可填：BC=BE， 或 中的任一个。例 2. 如图，在 中 ，AD 是角平分线，求证： AC=AB+BD。BC2 A B C D 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连 EDAE=AB， ，AD=ADEAB DED=BD， 是 的一个外角C B又 2 2CED B AAB即 AC=AB+BD【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 选择题：1. 如图所示， ，AD=AB，ABBC
16、于 B，BEAC 于 E，则有（ ）12A. 1= EFD B. FDBC C. BF=FD=CD D. BE=EC A B C D E F 1 2 2. 如图所示，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 上，DE 交 AC 于 F，若 ，123AE=AC，则（ ）A. ABDAFD B. AFEADC C. AFEDFC D. ABC ADE A B C D E F 1 2 3 3. 等腰三角形的一个内角为 ，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ）80A. B. 或 C. D. 以上都不对1044. 如图所示， ，BC=DB，AC=AE，则 （ ）9ACB DCEA. B. C. D.
17、650530 A B C D E 5. 在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出 BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）A. B. C. D. 以上都不对BFACE B C D E F 二、填空题：1. 如图，已知ABC 中，若 ， ，BE 是 的平分线，36A2BABCAC=14， ，则 ，AD= 。DEABC A B C D E 2. 如图，已知ABC 中，若 ， ，直角 的顶点 P 是 BC 中90BCACEF点，两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下四个结论：（1）：AE=CF
18、 （2）：EPF 是等腰直角三角形（3）： （4）： EF=AP1ABCAEPFSS四 边 形当 在ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A、B 重合） ，上述结论中始终正确的有 A B C E F P 3. 如图所示，在ABC 中， ，过 和 的平分线交点 O，作ABA，交 AC 于 E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是 /DEBCA B C D E O 4. 如图所示，在ABC 中， ，要使 AD=AE，需要添加的一个条件是 A。 A B C D E 5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角 ，则它和顶角 之间应满足的关系式为 。三、证明：1. 已知如图，AB=AD ， ，求证：C
19、B=CDABC A B C D 2. 如图，已知在ABC 中，AD 平分 ， ，求： 的值。DA:BC A B D C 3. 如图所示，在ABC 中， ，AD 和 BE 是高，它们相交于点 H，且 AE=BEA求证：AH=2BDA B C D E H 4. 如图，MB=2MA，MC=BC， ，求证：12MA A B C D M 1 2 5. （1）如图所示，P 是等腰ABC 的底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于 R，观察 AR 与 AQ，它们有什么关系？证明你的猜想。（2）如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线，按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时，第（1）题中的结论还成立吗？请在图中完成图形，并给出证明。 P Q R A B C
