1、圆的对称性教学目标(一)教学知识点1圆的轴对称性2垂径定理及其逆定理3运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明(二)能力训练要求1经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法2培养学生独立探索、相互合作交流的精神(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神垂径定理及其逆定理垂径定理及其逆定理的证明指导探索和自主探索相结合投影片两张：第一张：做一做(记作321A)第二张：想一想(记作321B)教学过程创设问题情境，引入新课师前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对
2、称图形的定义？生如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴师我们是用什么方法研究了轴对称图形？生折叠师今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性讲授新课师同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？生圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴师是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下生我们可以利用折叠的方法，解决上述问题把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴师很好教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是
3、任意一条过圆心的直线下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)2弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)3直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)如下图，以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；线AB段 AB 是O 的一条弦，弧 CD 是O 的一条直径注意：1弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧如上图中，以 A、D 为端点的弧有两条：优弧 ACD(记作)，劣弧 ABD(记作 )半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条ACD弧，每一条
4、弧叫半圆弧，简称半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧2直径是弦，但弦不一定是直径下面我们一起来做一做：(出示投影片321A)按下面的步骤做一做：1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2得到一条折痕 CD3在O 上任取一点 A，过点 A 作 CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点 M 是两条折痕的交点，即垂足4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点 B，如上图师老师和大家一起动手(教师叙述步骤，师生共同操作)师通过第一步，我们可以得到什么？生齐声 可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴师很好在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线
5、段和相等的弧？生我发现了， AMBM， ， ACBAD师为什么呢？生因为折痕 AM 与 BM 互相重合，A 点与 B 点重合师还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析 如下图示，连接 OA、OB 得到等腰OAB，即 OAOB因CDAB ，故OAM 与 OBM 都是 Rt，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则 AMBM 又 O 关于直径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与重合因此 AMBM， = ， = 师在上述操作过程中，你会得出什么结论？生垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
6、分弦所对的弧师同学们总结得很好这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂径定理在这里注意；条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结 OA、OB ，则 OAOB 在 RtOAM 和 RtOBM 中，OA OB， OMOM，RtOAM RtOBM，AMBM点 A 和点 B 关于 CD 对称O 关于直径 CD 对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与重合 = ， = 师为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心； (2)垂
7、直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧即垂径定理的条件有两项，结论有三项用符号语言可表述为：如图 37，在O 中，AMBCDDBC，是 直 径 ，于 下面，我们通过求解例 1，来熟悉垂径定理：例 1如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点 O 是的圆心)，其中 CD600m，E 为 上一点，且 OECD，垂足为ACDF，EF 90m ，求这段弯路的半径师生共析 要求弯路的半径，连结 OC，只要求出 OC 的长便可以了因为已知 OECD，所以 CF CD300cm，OFOE EF，此时就得到了一个12RtCFO ，哪位同学能口述一下如何求解？生连结 OC，设弯
8、路的半径为 R m，则OF(R90)m，OE CD，CF CD 600300(m)12据勾股定理，得OC2CF 2OF 2，即 R2300 2( R90) 2解这个方程，得 R545这段弯路的半径为 545m师在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用随堂练习：P 921略下面我们来想一想(出示投影片321B)如下图示，AB 是O 的弦 (不是直径) ，作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB于点 M师上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生它是轴对称图形，其对称轴是直径 CD 所在的直线师很好你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交
9、流讨论一下，你还有什么发现？生通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个O，作一条不是直径的弦 AB，将圆对折，使点 A 与点 B 重合，便得到一条折痕 CD 与弦 AB 交于点 MCD 就是O 的对称轴， A 点、B 点关于直径 CD对称由轴对称可知，ABCD， = ， = 师大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下生如上图连接 OA、OB 便可得到一个等腰OAB，即 OAOB，又AMMB，即 M 点为等腰 OAB 底边上的中线由等腰三角形三线合一的性质可知 CDAB ，又 CD 是O 的对称轴，当圆沿 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，与 重合， 与 重合师在上述的探讨
10、中，你会得出什么结论？生平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理师同学们，你能写出它的证明过程吗？生如上图，连结 OA、OB，则 OAOB在等腰OAB 中，AM MB，CDAB (等腰三角形的三线合一)O 关于直径 CD 对称当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与重合 = ， = 师接下来，做随堂练习：P 922如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等理由：如下图示，过圆心 O 作垂直于弦的
11、直径 EF，由垂径定理设= ， = ，用等量减等量差相等，得 = ，即 =，故结论成立符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同课时小结1本节课我们探索了圆的对称性2利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理3垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题课后作业(一)课本 P93，习题 32，1、2(二)1预习内容： P94972预习提纲：(1)圆是中心对称图形(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理活动与探究1银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为 60cm，水
12、面至管道顶部距离为 10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？过程让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维结果如下图示，连结 OA，过 O 作 OEAB ，垂足为 E，交圆于 F，则AE AB30cm 令O 的半径为 R，则 OAR，OEOFEFR10在12RtAEO 中， OA2AE 2 OE2，即 R230 2(R10) 2解得 R50cm修理人员应准备内径为 100cm 的管道板书设计321 圆的对称性一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径二、与圆有关的概念：1圆弧2弦3直径注意：弧包括优弧、劣弧、半圆三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例 1：略四、垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧注意；弦不是直径五、课堂练习六、课时小结七、课后作业
