1、第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理专题一 有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处， 点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 长是（ ）A3cm B4cmC5cm D6cm2. 如图，EF 是正方形两对边中点的连线段，将A 沿 DK 折叠，使它的顶点 A 落在 EF 上的G 点，求DKG 的度数3 已知 RtABC 中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为 45，半径长等于 CA 的扇形CEF 绕点 C 旋转，直线 CE、CF 分别与直线 AB 交于点 M、N（1）如图，当 AM=BN 时，将ACM 沿
2、 CM 折叠，点 A 落在弧 EF 的中点 P 处，再将BCN 沿 CN 折叠，点 B 也 恰好落在点 P 处，此时，PM=AM，PN=BN，PMN 的形状是_线段 AM、BN、MN 之间的数量关系是_；（2）如图，当扇形 CEF 绕点 C 在ACB 内部旋转时，线段 MN、AM、BN 之间的数量关系是_试证明你的猜想；xK b1 .C om（3）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，线段 MN、AM、BN 之间的数量关系是_（不要求证明） 专题二 勾股定理的证明4在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股 定理的正确性ht
3、tp:/w 问题 1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究 S+ S与 S 的关系（如图1）问题 2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究 S+S与 S 的关系（如图 2）问题 3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究 S+ S与 S 的关系（如图3）来源:Zxxk.Com5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图 中两直角边长分别为 a和 b，斜边长为 c；图中两直角边长为 c请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）来源:学+科
4、+网 Z+X+X+K新 课 标 第 一 网答案：1A 【解析】设 CN=x cm，则 DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知 EN=DN=（8-x）cm，而 EC= BC=4 cm，在 RtECN 中，由勾股定理可知 EN2=EC2+CN2，即（8-x ）22=16+x2，整理得 16x=48，所以 x=3故选 A2解： DF= CD= DG， DGF=30 EKG+ KGE=90， KGE+ DGF=90，1 EKG= DGF=302 DKG+ GKE=180， DKG=753解：（1）根据折叠的性质知：CAMCPM，CNBCNP AM=PM，A=CPM，PN =NB，B =CPN. MPN
5、=A+B=90，PM=PN=AM=BN.故PMN 是等腰直角三角形，AM 2+BN2=MN2（或 AM=BN= MN）2（2）AM 2+BN2=MN2.证明:如图,将ACM 沿 CM 折叠，得DCM ，连 DN，则ACMDCM，C D=CA，DM=AM，DCM=ACM.同理可知DCN= BCN，DCNBCN，DN=BN ，而MDC=A=45，CDN=B=45，MDN=90，DM 2+DN2=MN2，故 AM2+BN2=MN2（3）AM 2+BN2=MN2；解法同（ 2）4解：探究 1：由等边三角形的性质知： S= a2， S= b2， S= c2，3434则 S+ S= （a 2+b2）.因为
6、 a2+b2=c2，所以 S+ S= S34探究 2：由等腰直角三角形的性质知： S= a2， S= b2， S= c211则 S+S= （a 2+b2）.因为 a2+b2=c2，所以 S+S=S1探究 3：由圆的面积计算公式知：S= a2，S= b2，S= c288则 S+ S= （ a2+b2），因为 a2+b2=c2，所以 S+ S=SX k B 1 . c o m85解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b） 2=4 ab+c2，1即 a2+b2=c2（2）如图所示1.2 一定是直角三角形吗专题 判断三角形形状1. 已知 a，b，c 为ABC 的三边，且满足 a2c2-b2c2
7、=a4-b4，则它的形状为（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或 直角三角形2. 在ABC 中，a=m 2+n2，b=m 2-n2，c=2mn，且 mn0，（1）你能判断ABC 的最长边吗？请说明理由；（2）ABC 是 什么三角形，请通过计算的方法说明来源:学科网新|课 | 标|第 |一| 网3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 a 22-1 32-1 42-1 52-1 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （1） 请你分别观察 a、b、c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n （n1）的代数式表示a，b，
8、c来源:Zxxk.Com来源:学科网（2）猜想：以 a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想答案：1D 【解析】 a 2c2-b2c2=a4-b4，（a 2c2-b2c2）-（a 4-b4）=0，c 2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a 2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c 2-a2-b2）=0，a+b0，a-b=0 或 c2-a2-b2=0，所以 a=b 或 c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故选 D2解：（1）a 是最长边，其理由是：a-b=（m 2+n2）-（m 2-n2）=2n 20，a-c=（m 2+n2）-2mn=（m-n） 20，ab，
9、ac，a 是最长边.（2）ABC 是直角三角形，其理由是：b 2+c2=（m 2-n2） 2+（2mn） 2=（m 2+n2） 2=a2，ABC 是直角三角形3解：（1）由图表可以得出：n=2 时，a=2 2-1，b=22，c=2 2+1；n=3 时，a=3 2-1，b=23，c= 32+1；X|k |B| 1 . c|O |mn=4 时，a=4 2-1，b=24，c=4 2+1.a=n 2-1，b=2n，c=n 2+1（2）以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形.a 2+b2=（n 2-1） 2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n 2+1） 2=n4+2n2+1，a 2+b2=c2，以
10、a、b、c 为边的三角形是直角三角形1.3 勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为 a、高为 b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的 A1C1B1，A 2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是_.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为 5dm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线.小明 设计了两条路线：路线 1：侧面展开图中的线段 AC.如下图（2）所示：w W w .x K b 1.c o M设路线 1 的长度为 ，则 ；1l 22222 5)5(BCA路线 2：高线 AB +
11、底面直径 BC，如上图（1）所示，设路线 2 的长度为 ，2l则 .25)0()(BCAl. 0)8(52221 2l21l所以要选择路线 2 较短。（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1dm，高 AB 为 5dm”继续按前面的方式进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线 1： _；2ACl路线 2： _ ,)(B比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！ , ( 填或).221_ll 21_ll所以应选择路线_(填 1 或 2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为 r,高为 h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点
12、A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短.w W w .x K b 1.c o M3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于 8cm，底面直径为 cm，蚂蚁爬行的速度为182cm/s.（1） 如果在盒内下底面的 A 处有一只蚂蚁，它想 吃到盒内对面中部点 B 处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）X k B 1 . c o m（2）如果在盒外下底面的 A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）答案：1. 【解析】 底面周长为 a、高为 b 的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别2
13、ab为 a,b，所以对角线长为 ，所以每一根这样的竹条的长度最少是 .2 2ab2.解：（1）25+ 2 49 1（2）l 12=AC2=AB2+BC2=h2+（r） 2，l22=（AB+BC） 2=（h+2r） 2，l12-l22=h2+（r） 2-（h+2r） 2=r（ 2r-4r-4h）=r（ 2-4）r-4h.r 恒大于 0，只需看后面的式子即可当 r= 时，l 12=l22；X|k |B| 1 . c|O |m24h当 r 时，l 12l 22；当 r 时，l 12l 22243.解：（1）如图，AC= 2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：8AB= = cm，所以 2= （s），即至少需要 s297972972（2）如图，作 B 关于 EF 的对称点 D，连接 AD，交 EF 于点 P，连接 BP，则蚂蚁走的最短路程是 AP+PB=AD，由 图可知，AC=9cm，CD=8+4=12（cm）所以 AD= =15（cm），152=7.5（s）291即至少需要 7.5shttp:/w 新课 标第 一 网 http:/ w W w .x K b 1.c o M 新 课 标 第 一 网
