1、1.1.4 投影与直观图自主学习学习目标1初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质2了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图自学导引1平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是_或_；(2)平行直线的平行投影是_或_的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段_且 _；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_ ；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比_ 这两条线段的比2水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的_，叫做空间图
2、形的直观图(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段在直观图中分别画成_于 x轴、y轴或 z轴的线段，平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中长度_，平行于 y 轴的线段，长度为原来的_(3)对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的_，再借助于所作的_确定端点在直观图中的位置3中心投影 一个_把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影对点讲练知识点一 平行投影的概念性质例 1 下列命题中正确的个数为( )直线或线段的平行投影仍是直线或线段；矩形的平行投影一定是矩形；
3、两条相交直线的投影可能平行；如果ABC 在一投影面内的平行投影是AB C，则 ABC 的重心 M 在投影面内的平行投影 M一定是A B C的重心A1 B2 C3 D4点评 本题必须明白平行直线(与投射线不平行) 的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形变式训练 1 关于直角 AOB 在某平面内的平行投影有如下判断：可能是 0角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是 180的角其中正确判断的序号是_知识点二 水平放置的平面图形的直观图例 2 用斜二测画法画边长为
4、 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图点评 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便变式训练 2 将例 2 中三角形放置成如图所示，则直观图与例 2 中还一样吗？知识点三 将直观图恢复为原平面图形例 3 如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定变式训练 3 已知ABC 的平面直观图AB C是边长为 a 的正三角形，那么原ABC 的面积为 ( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a232 34 62 61
5、直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于 x轴、y轴、z轴的线段；(2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的 .122用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 倍243在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( )A逐渐变短 B逐渐变长C不变 D以上都不对2已知正三角形 ABC
6、 的边长为 a，那么ABC 的直观图ABC的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 6163.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4如图建立坐标系，得到的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )5如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 AC3，BC 2，则AB 边上的中线的实际长度为_7.如图所示，为一个水平放置的正方形 ABCO，它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标
7、为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B到 x轴的距离为_三、解答题8如图所示，梯形 ABCD 中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30 ，AD3 cm，试画出它的直观图9.如图所示，四边形 ABCD 是一个直角梯形，CDAB，CDAO1，AOD 为等腰直角三角形，试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积. 【答案解析】自学导引1(1)直线 线段 (2) 平行 重合 (3) 平行 等长 (4)全等 (5)等于2(1)平面图形 (2) 平行 不变 一半 (3) 平行线 平行线3点光源对点讲练例 1 A 命题错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题
8、 错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题正确，重心的平行投影仍是重心变式训练 1 例 2 解 (1)如图所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴(2)画对应的 x轴、y轴，使xO y45.在 x轴上截取 OBOC 2 cm，在 y轴上截取 OA OA，连接12AB ，AC，则三角形 AB C即为正三角形 ABC 的直观图，如图所示变式训练 2 解 (1)如图所示，以 BC 边所在的直线为 y 轴，以 BC 边上的高 AO 所在的直线为 x 轴
9、(2)画对应的 x轴、y轴，使xO y45.在 x轴上截取 OAOA，在 y轴上截取 OBOC OC1 cm，连接12AB ，AC，则三角形 AB C即为正三角形 ABC 的直观图，如图所示显然与例 2 中既不全等也不相似例 3 解 画法：(1)以点 C 为原点，画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OAOA，即 CA CA ；(2)在图 1 中，过 B作 BDy轴，交 x轴于 D ，在 x 轴上取ODOD，过 D 作 DB y 轴，并使 DB2D B.(3)连接 AB、BC，则ABC 即为AB C原来的图形，如图 2.变式训练 3 C 画ABC 直观图如图(1)所示：则 AD a，又xOy4
10、5 ，A O a.32 62画ABC 的实际图形，如图(2)所示，AO2AO a，BCBC a，6S ABC BCAO a2.12 62课时作业1B 中心投影的性质2D 先画出正三角形 ABC，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示由斜二测画法规则知 BCa，O A a.过 A作 AMx轴，垂足为 M，34则 AMOAsin 45 a a.34 22 68S ABC BCAM a a a2.12 12 68 6163A 4.C 5.C 6.2.57.22解析 画出直观图，则 B到 x轴的距离为 OA OA .2212 24 228解 (1)如图 a 所示，在梯形 ABCD 中，以边 AB 所
11、在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示，画出对应的 x轴， y轴，使xO y45.(2)在图 a 中，过 D 点作 DEx 轴，垂足为 E.在 x轴上取 ABAB4 cm， AE AE 2.598 cm；过点 E作 EDy轴，使 ED ED，再过323 12点 D作 DCx轴，且使 DCDC2 cm.(3)连接 AD、B C，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图 c 所示，则四边形 ABCD就是所求作的直观图9解 在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1.由于梯形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变，如图所示在直观图中，OD OD，梯形的高 DE ，于是，梯形 ABCD的面12 24积 S (12) .12 24 328
