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类型【课堂设计】高一数学人教b版必修1:1章 集合 学案 .doc

  • 上传人:无敌
  • 文档编号:547832
  • 上传时间:2018-04-10
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    【课堂设计】高一数学人教b版必修1:1章 集合 学案 .doc
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    1、第一章 集 合【入门向导】 渔民与数学家的故事一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义,于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?”集合是不定义的概念,数学家很难回答那位渔民,有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!”这一网鱼虾可以构成一个集合,网中的这些鱼也可以构成一个集合,这些虾也可以构成一个集合,那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合,这三个集合之间又有怎样的关系呢?同学们,你能告诉渔民吗?解读集合的有关概念一、注意集合的概念与“全体”的区别集合的概念是现代数学中不定义的原始概念集合的概念虽

    2、然也含有“全体”的意思,但是与通常所理解的全体是有区别的,集合中的元素必须是确定的,必须能判断任何一个对象是不是它的元素,而全体则不一定能成为一个集合例如, “我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合,而“我校高一学生中所有身高高于 170 厘米的同学的全体”则能构成集合二、加强对集合元素的三大特性的理解1确定性:对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子” ,即集合中的元素是不确定的2互异性:所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的,不会有完全相同的元素在解题中尤其要注意对结果进行

    3、检验,不能忽视例 1 已知 x21,0 ,x,求实数 x 的值解 若 x20,则 x0,此时集合为1,0,0 ,不符合集合中元素的互异性,舍去若 x21,则 x1.当 x1 时,集合为1,0,1 ,舍去;当 x1 时,集合为1,0 ,1 ,符合若 x2x,则 x0 或 x1,不符合互异性,都舍去综上可知:x1.3无序性:集合是一个整体,集合中的元素排列是没有顺序限制的,所以同学们应知道集合 a,b,c ,b,a,c , c,b,a 都是同一集合为帮助同学们记忆,特总结口诀如下:集合平常很常用,数学概念各不同;理解集合并不难,三个要素是关键;元素确定与互异,还有无序要牢记三、注重对空集概念的理解

    4、一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作.空集是特殊的集合,不含有任何元素,规定它是有限集注意 空集和集合0是不同的,是不含任何元素的集合,而 0表示只含有一个元素“0” 的集合和也是不一样的,是不含任何元素的集合, 表示只含有一个字母“”的集合,也可以看作由作为元素构成的集合四、正确理解集合与集合的关系集合与集合之间是包含关系,它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系包含关系有三种:子集、真子集和相等1 “集合 A 是集合 B 的子集” ,意思是集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,但不能把“集合 A 是集合 B 的子集”理解为集合 A 是由集合 B 中部分元素组

    5、成的集合,因为空集和集合 B 都是集合 B 的子集2 “集合 A 是集合 B 的真子集”有两层含义,一是集合 A 是集合 B 的子集,二是集合A 与集合 B 不相等,即集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A.3要证明 AB,只需要证明 AB 且 BA 成立即可即可设任意 x0A,证明x0B 从而得出 AB.又设任意 y0B,证明 y0A 从而得到 BA,进而得到 AB.例 2 已知集合 Ax |x k ,kZ,Bx|x k ,k Z ,判断集合 A 与集12 4 14 2合 B 是否相等可用列举法解之解 A , , , , , ,434 54 74B , , , , , ,4234 54观察

    6、可知,AB.4若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n个子集,有 2n1 个真子集,有 2n2个非空真子集集合易错点剖析一、符号意义不清致错例 3 已知集合 X0,1,Yx|xX,那么下列说法正确的是( )AX 是 Y 的子集 BX 是 Y 的真子集CY 是 X 的真子集 DX 是 Y 的元素错解 B剖析 集合中符号意义必须清楚正解 因为 Yx |xX ,0 ,1,0,1,所以 XY.故选 D.二、代表元素意义不清致错例 4 集合 Ay| yx 2,xR ,B(x,y)|yx 2,xR ,则 AB( )A(1,1) ,(2,4) B(1,1)C(2,4) D错解 由Error!得E

    7、rror! 或Error! 故选 A.剖析 导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义,A 中的元素是实数 y,而 B 中的元素是实数对(x ,y),也就是说,集合 A 为数集,集合 B 为点集,因此 A、B 两个集合中没有公共元素,从而这两个集合的交集为空集正解 D三、忽视集合元素的互异性致错例 5 已知集合 A2,3,a 24a2,B0,7 ,a 24a2,2a,且 AB3,7,求集合 B.错解 由 AB3,7 得 a2 4a27,解得 a1 或 a5.当 a1 时,集合 B0,7,3,1;当 a5 时,集合 B0,7,3综上知集合 B0,7,3,1或 B0,7,3剖析 由题设条件知集合 B

    8、 中有四个元素,当集合中出现了相同的元素,与集合中元素的互异性矛盾,导致错解正解 应将当 a5 时的集合 B0,7,3舍去,故集合 B0,7,3,1四、忽视空集致错例 6 已知集合 Ax |2x5 ,B x|m1x2m1,若 BA,求实数 m 的取值范围错解 由 BA,得Error! ,解得 2m3.剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法原因是考虑不全面,由集合 B 的含义及 BA,忽略了集合为的可能而漏掉解因此题目若出现包含关系时,应首先想到有没有出现的可能正解 A x|2x 5,Bx|m1x2m 1 ,且 BA.若 B,则 m12 m1,解得 m2m1,即 m4.故满足条件的 m

    9、的取值范围是 m4.3根据子集的性质分类讨论含参数的集合问题,这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系,常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论例 3 已知集合 Ax |x23x20,B x|x2axa10且 ABA,求实数 a的值分析 解此题可先由 ABA,得出 BA,然后对集合 B 中的元素个数进行分类讨论解 A x|x23x 20 1,2由 ABA,得 BA(1)B 时,a 24a42 显而易见,a 能否等于 2,单独考察即可当 a2 时, RPx|x2,满足题意故 a2.另外要注意区分 a 能否等于 2 与 x 能否等于 a,它们是两回事2运用

    10、Venn 图例 5 高一(2)班共有 50 名同学,参加物理竞赛的同学有 36 名,参加数学竞赛的同学有39 名,且已知有 5 名同学两科竞赛都没有参加,问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名?解 设参加物理竞赛的同学组成集合 A,参加数学竞赛的同学组成集合 B,并设两科竞赛都参加的同学组成的集合 AB 中有 x 个元素,则各部分人数分布如图所示,则(36x) x (39x )550,解得 x30,所以 39x 9,即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有 9 名点评 应熟知集合 AB、A UB、 UAB、 UA UB 分别对应 Venn 图中的哪部分区域三、等价转化思想在解决一些集合问题

    11、时,当一种集合的表达形式不好入手时,常将其转化为另一种形式,使问题明朗化,如“A 是 B 的子集” 、 “ABA” 、 “ABB” 、 “AB”等都是同一含义另外,集合中数学语言的常见形式主要有三种,即文字语言、符号语言、图形语言,它们可以相互转化,通过合理的转化,往往能简捷迅速地得到解题思路例 6 已知 U(x ,y )|xR ,y R,A( x,y)|xy1,B (x,y) ,求|y1 x 1UBA.解 集合 U(x ,y )|xR,y R 是平面上所有点的集合;集合 A 是直线 xy1 上的点的集合;集合 B 是直线 xy 1 上的点的集合,但要除去点(1,0) ;而 UB 表示点(1,

    12、0)以及平面上除了直线 xy 1 上的所有点以外的点,所以 UBA 对应的元素为(1,0),即UBA(1,0)点评 在相互转化的过程中要注意转化的等价性四、特殊化思想特殊化思想是一种重要的数学思想,对于许多较抽象的集合问题,灵活地取一些符合条件的特殊集合,往往能起到化繁为简、化难为易的功效另外,特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用,相当于增加题设条件,可使问题简单化例 7 设集合 Mx |x ,kZ ,N x|x ,kZ ,则( )k2 14 k4 12AMN BM 是 N 的真子集CN 是 M 的真子集 DM N 解析 由 N,而 D/M,排除 A,C;又 N,且 M,再排除

    13、D.故选 B.12 12 14 14答案 B点评 很多选择题都可以取特殊值来迅速求解五、补集思想已知全集 U,求子集 A,若直接求 A 困难,可先求 UA,再由 U(UA)A 求 A.补集作为一种思想方法,给我们研究问题开辟了新思路,今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时,改用逆向思维,可能会“柳暗花明” 我们平日说的“正难则反”这一策略就是对补集思想的应用,是指当某一问题从正面解决较困难时,可以从其反面入手解决,从这个意义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能,是转化思想的又一体现例 8 已知集合 Ax |x24mx2m60 ,Bx|x 0,若 AB,求实数 m 的取值范围分析 AB 说明

    14、集合 A 是由方程 x24mx 2m60的实根组成的非空集合,并且方程的根有可能有:(1)两负根;(2)一负根一零根;(3)一负根一正根三种情况讨论很麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,采用补集思想,即先由 0,求出全集 U,然后求出两根均为非负时 m 的范围,然后利用 “补集”求解解 设全集 Um|(4m) 24(2m 6)0 ,m|m 1,或 m 32若方程 x24mx2m60 的两根 x1,x 2 均为非负,则Error!m .32 在全集 U 中补集为 m|m1 m|m 32实数 m 的取值范围为m|m 1点评 (1)解 0,即 16m28m 240,也就是 2m2m30 时,可以先画

    15、出二次函数 f(m)2m 2m3 的图象,由图象易得 m 的取值范围 (2)本题运用了“补集思想”对于一些比较复杂,比较抽象,条件和结论之间关系不明朗,难于从正面入手的数学问题,在解题时,调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能化难为易,化隐为显,从而将问题解决,这就是补集思想的应用,也是处理问题的间接化原则的体现集合问题如何考?集合是高考每年必考的知识点之一对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、集合语言的理解与应用;同时由于集合的基础性和工具性作用,又常以集合为工具考查集合语言和集合思想的应用,命制一些新背景的问题 考 点 一 集 合 的 运 算1(湖南高考)设全集 UM

    16、N 1,2,3,4,5,M UN2,4,则 N( )A1,2,3 B1,3,5C1,4,5 D2,3,4解析 由 M UN2,4可得集合 N 中不含有元素 2,4,集合 M 中含有元素 2,4,故N1,3,5答案 B2(湖北高考)已知 U1,2,3,4,5,6,7,8 ,A1,3,5,7,B2,4,5,则 U(AB)( )A6,8 B5,7C4,6,7 D1,3,5,6,8解析 AB1,2,3,4,5,7, U(AB) 6,8答案 A考 点 二 集 合 之 间 的 关 系3(广州模拟)设集合 A0,1 ,B y|x2y 21,xA,则 A 与 B 的关系是( )AAB BA BCA B DAB

    17、分析 由于集合 B 中的 x 是 A 中的元素,根据此条件求出集合 B,再判断集合 A、B的关系解析 由已知,A0,1,B y|x2y 2 1,xA1,0,1 所以 AB.答案 B点评 解决本题,首先要读懂符号代表的含义由于集合 B 中的元素 x 属于集合 A,故 x 可为 0 或 1;再将 x 的值代入集合 B,解得集合 B;最后判断集合 A、B 的关系考 点 三 集 合 创 新 问 题4(日照调研)已知集合 P3,4,5 ,集合 Q4,5,6,7,定义 P*Q( a,b)|a P, bQ,则 P*Q 中的元素的个数是_分析 根据新定义将 a、b 依次代入,即可得到新集合 P*Q,从而得解解

    18、析 新定义集合 P*Q 的特征是平面上的点集,横坐标为集合 P 中的元素,而纵坐标为集合 Q 中的元素,故 P*Q(3,4),(3,5),(3,6),(3,7) ,(4,4) ,(4,5),(4,6),(4,7) ,(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),从而可知 P*Q 中元素的个数为 12.答案 12点评 本题是一个运算创新型问题,解答此类问题的关键是理解新运算,并找到新运算与已学运算的结合点,如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集5若集合 A1,A 2 满足 A1A 2A,则称(A 1,A 2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 A1A 2 时, (A1

    19、,A 2)与(A 2,A 1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A1,2,3 的不同分拆种数是( )A27 B26 C9 D8分析 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法,关键是要分类准确解析 A 1时,A 21,2,3,只有 1 种分拆;A 1 是单元素集时(有 3 种可能 ),则 A2 必须至少包含除该元素之外的两个元素,也可能包含 3 个元素,有两类情况( 如 A11时,A 22,3或 A21,2,3) ,这样 A1 是单元素集时的分拆有 6 种;A 1 是两个元素的集合时(有 3 种可能) ,则 A2 必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素,还可能包含 A1 中的 1 个或 2 个元素(

    20、如 A11,2时,A 23或 A21,3 或A22,3或 A21,2,3) ,这样 A1 是两个元素的集合时的分拆有 12 种;A 1 是三个元素的集合时(只有 1 种) ,则 A2 可能包含 0,1,2 或 3 个元素(即 A11,2,3时,A 2 可以是集合1,2,3的任意一个子集),这样 A11,2,3时的分拆有 238 种所以集合 A1,2,3的不同分拆的种数是1612827.答案 A6定义集合运算:ABz|zxy( xy),xA,yB设集合 A0,1 ,B 2,3 ,则集合 AB 的所有元素之和为_解析 (1)当 x0 时,无论 y 为何值,都有 z0;(2)当 x1,y2 时,由题

    21、意 z6;(3)当 x1,y3 时,由题意 z12,故集合 AB 0,6,12 ,元素之和为 061218.答案 18点评 本题给出的新运算“” ,是同学们从未见过的集合运算,要求同学们能按其给出的新运算作答,考查同学们的观察能力及应用新信息分析问题、解决问题的能力7定义集合 A 和 B 的运算 ABx| xA,且 xD/B写出含有运算符号“” ,“” , “” ,且对集合 A,B 都成立的一个等式:_.解析 如下图,Venn 图中阴影部分可表示为:A(A B );再结合新定义及并集概念,阴影部分也可表示为:(AB )B.显然可填:A(A B)(AB)B.另外也可填:B(A B)(AB)A 等

    22、答案 A( AB)(AB )BB(A B )(AB )A点评 这是一道开放题,并且定义了新运算,对同学们来说有一定的难度,但是同学们只要认真审题,灵活运用题目所给的信息,选择恰当的方法,解答此题就显得轻而易举了学习建议1集合是学习高中数学的开始,若想学好、应用好这部分知识,就要花大力气理解基本概念、基本性质,掌握基本表示方法.2学习时同学们要理解集合运算的定义,掌握集合运算的方法,还要善于借助图形工具解答问题.3学习时同学们要搞清两个集合有几种关系,各种关系的定义要牢记.另外,还要明确集合的关系是通过元素来反映的,所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯.4数学中的创新题是数学试题中的一支奇葩,它们往往以同学们现有的知识为出发点,创新概念和运算,其特点是“新面目、老方法” ,考查更接近知识本质.基于此,在学习时,对有关的概念一定要理解透彻,才能以不变应万变.

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