1、第二十七届（ 2016 年）“希望杯”全国数学邀请赛 初中一年级培训题 “希望杯”命题委员会 一、选择题 （以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内） 1. 1 3 9 9 9 1 0 0 12 4 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 的值是（ ） . （ A ） 1 （ B ） 0 （ C ） 1001 （ D ） 1 2.时钟在 6:25 这个时刻，分针与时针的夹角是（ ） . （ A ） 30 （ B ） 38 （ C ） 40 （ D ） 42.5 3.有理数 m ,n 在数轴上的位置如图 1 所示，在 mn ,mn ,nm ,m
2、n 中正数的个数是（ ） . （ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 4.如图 所示 ,是由 11 方格组成的 45 的方格图 ,图中过格点 P 的直线与方格图上、下边界相交形成的直角梯形 ABCD （其中 AB CD ）的最大面积是（ ） . （ A ） 11 （ B ） 12 （ C ） 13 （ D ） 14 5.光明中学初一（ 3 ）班共 60 人 ,如图所示 是该班全体同学数学测试成绩的分布情 ,则该班同学数学成绩的平均分是 （ ） . （ A ） 85.2 （ B ） 86.4 （ C ） 87.6 （ D ） 91.2 6. 如图 所示 , AOB 是一条
3、直线 , 若1 : 2 : 3 : 4 1 : 2 : 4 : 5 ,则 2 的余角是（ ） . （ A ） 30 （ B ） 75 （ C ） 60 （ D ） 45 7.If x y a,y z b and z x c ,then the average （ arithmetic mean ） of x ,y and z is （ ） . （ A ） 2abc （ B ） 3abc （ C ） 4abc （ D ） 6abc （英汉小词典： average （ arithmetic mean ） of x ,y and z :x ,y 和 z 的算术平均值 .） 8.已知 x ,y 是非负
4、整数 ,且满足 4(2 ) 3 4xy ,那么满足条件的 xy 的最大值是 （ ） . （ A ） 3 （ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6 9.如图所示，若 2:4:1: ECDEAD ， 21ABCS ，则图中所有三角形面积的和是（ ） . （ A ） 54 （ B ） 42 （ C ） 75 （ D ） 90 10.A ,B ,C 三名同学在一条平直的跑道上朝同一方向匀速慢跑 ,在上午 30:11时 ,三个人的位置关系从前往后的顺序依次是 A ,B ,C ,且 B 离 A 与 B 离 C 的距离相等 ,过了 25 分钟 ,C 追上了 B ,又过了 15 分钟 ,C 追上了 A
5、.那么 B 追上 A 的时刻是（ ） . （ A ） 30:12 （ B ） 45:12 （ C ） 10:13 （ D ） 45:13 11.若关于 x ,y 的二元一次方程组(1 3 ) 2kx y bk x y 有无穷多组解，则 22 bk 的值为（ ） . （ A ） 4 （ B ） 5 （ C ） 8 （ D ） 10 12.如图，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 并列， A ,B ，E 在一条直线上，连接 AG ，连接 AF 与 BC 交于点 H .若 3AB , 2BE ,则 AGH 的面积为（ ） （ A ） 32 （ B ） 32 （ C ） 56 （ D ） 65 13
6、.若 n 个人完成一项工程需要 m 天 ,则 )( nm 个人完成这项工程需要（ ）天 . （ A ） nmmn （ B ） nmnm （ C ） mnnm （ D ） nmmn2 14.有 5 个不同的正整数 ,它们的积为 420 ,则这 5 个正整数的和的不同的值的个数是（ ） . （ A ） 2 （ B ） 3 （ C ） 4 （ D ） 5 15.等腰三角形的边长是整数 ,周长是不超过 30 的最大质数 ,满足这样条件的三角形的个数是（ ） . （ A ） 6 （ B ） 7 （ C ） 8 （ D ） 9 16.三个质数 a ,b ,c 均小于 100（ abc ） ,若 cba ,
7、则这样的 ),( cba 组合的个数是（ ） . （ A ） 6 （ B ） 7 （ C ） 8 （ D ） 9 17. 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 32 4 6 8 1 0 1 23 6 9 1 2 1 5 1 8 （ ） . （ A ） 827 （ B ） 278 （ C ） 49 （ D ） 94 18.下列图中 , 1 与 2 不是同位角的图是（ ） . 甲 : 乙 : 丙 : 丁 : （ A ） 甲 （ B ） 乙 （ C ） 丙 （ D ） 丁 19. If three rational numbers x , y , z satisfy 2 2 2 2 4 6 1
8、4 0x y z x y z ,then x y z （ ） . （ A ） 2 （ B ） 3 （ C ） 4 （ D ） 5 (英汉小词典： rational number :有理数； satisfy :满足 ) 20. 三 个 不 是 零 的 有 理 数 a , b , c 满足 0)()( accbba , 则3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 9 92 5 2 5 2 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )()a b c a b c a b c a b c a b cabc （ ). （ A ） 2 （ B ） 1 （ C ） 1 （ D ） 2 21.已知点 ,ab 在第三象
9、限 ,则点 ),1( baa 在（ ） . （ A ）第一象限 （ B ） 第二象限 （ C ） 第三象限 （ D ） 第四象限 22.下列判断中错误的是（ ） . （ A ） 如果 1 和 2 是对顶角 ,那么 12 . （ B ） 如果 3 和 4 都是 34 角的补角 ,那么 34 . （ C ） 如果 5 和 6 互为邻补角 ,那么 5+ 6=180 . （ D ） 如果 7 和 8 是内错角 ,那么 7=8. 23.如图 所示 ,周长为 3 厘米的圆中有一个内接的正六边形 .阴影部分是由以正六边形 6 个顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧围成的 ,则阴影部分的周长等于（ ）厘米
10、. （ A ） 5 （ B ） 6 （ C ） 7 （ D ） 8 24.甲厂和乙厂生产的汽车配件数量之比为 5:6 ，汽车配件价格之比为 10:9 ,两厂的总产值为 6240万 ,则甲厂和乙厂的产值分别为（ ） . （ A ） 3000 万 ,3240 万 . （ B ） 3240 万 ,3000 万 . （ C ） 2700万 ,3540 万 . （ D ） 3540万 ,2700万 . 25.2016的正约数的个数是 （ ） . （ A ） 30 （ B ） 32 （ C ） 34 （ D ） 36 26.边长分别为 8 厘米和 6 厘米的两个正方形 ABCD 与BEFG 如图所示并排放
11、在一起 .连接 AG 、 BF ,则四边形ABFG 的面积是 （ ）平方厘米 . （ A ） 42 （ B ） 40 （ C ） 38 （ D ） 36 27.某中学组织学生社会实践，每位老师带一组学生 .若每组分配 6 个学生 ,那么剩余 7 个学生 ,若每组分配 8 个学生 ,那么最后一组不足 3 个学生 ,则老师 的人数为 （ ） . （ A ） 5 （ B ） 6 （ C ） 7 （ D ） 8 28.在 1100 的自然数中 ,与 10 互质的自然数的个数是 （ ） . （ A ） 25 （ B ） 30 （ C ） 35 （ D ） 40 29.已知 A ,B ,C ,D ,E 为
12、平面内的 5 个点 . 8AB 厘米 , 4BC 厘米 , 12AC厘米 , 5AD 厘米 , 1DE 厘米 , 6AE 厘米 ,三角形 EAB 的面积为 24 平方厘米 ,则 A 点到 CD 的距离等于 （ ）厘米 . （ A ） 8415 （ B ） 8413 （ C ） 8411 （ D ） 849 30.阅读：若 a 是正数 ,数 a 开平方运算的结果记为 a .比如 ,求面积为 100的正方形的边长 ,它等于 100开平方 ,即 2100 10 10.请你用计算器计算 1 , 2 ,3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 的值 ,你能发现什么规律吗 ?请你完
13、成下面的选择题： 若 x 表 示 不 超 过 x 的最大整数 . 则1 2 3 4 5 9 9 1 0 0 （ ） . （ A ） 495 （ B ） 505 （ C ） 615 （ D ） 625 二 、 填空 题 31.1英里 1760 码 ,1码 3 英尺 ,1英尺 12 英寸 ,1英寸 2.54 厘米 .则 1英里等于 厘米 . 32.若 6ab 与 4ab 互为相反数 ,则 abab 的值是 . 33.冰箱里草莓的个数是 7 的 倍数 ,小明第一次吃了这些草莓的 12 ,第二次吃了剩下的 12 ,此时还剩下 a 个草莓 .则冰箱里至少原有草莓 个 . 34.若等腰 ABC 的周长是
14、48 ,AB BC a则 a 的最小整数值是 . 35.如图所示 ,在 ABC 中 ,AD 是 A 的角平分线 ,25BAD , 100BEC ,则 BFD . 36.在平面直角坐标系中 ,若点 2 1,6 3A x x不在第二 、 第三象限 ,则满足条件的 x 的取值范围是 . 37.若关于 x 的一元一次方程 24 1 2 6 0m x n 有无穷多个解 ,则 mn 的不同值的个数是 个 . 38.王明参加了 10 场数学擂台赛 ,他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数 ,则王明最多赢了 场比赛 . 39.If 5 4 2 53 mmab and 2 1 2 1mnab are simil
15、ar terms ,then the value of 25 4 2mn is . （英汉小词典： similar terms :同类项 ； value :值 .） 40. m 为整数 ,若方程 2 3 2x mx同时有一个正根和一个负根 ,则 m 的值是 . 41.如图所示， A B C D E 的度数为 . 42.已知 11 132aa ，其中 a 表示不超过 a 的最大整数 .若 01a，则 4a . 43.乐乐买了 x 块巧克力用了 y 元（其中 10x ,y 是整数） .后来这种巧克力的价格每块降价 10%,他比上次多买了 2 块巧克力，用了 3 元钱，则 x 的值是 . 44.图是
16、钢琴琴键 ,如果白键表示 1,黑键表示 0 ,图中由左向右的琴键表示一个二进制数 ,则这个二进制数化成十进制是 . 45.如图 ,在正方形 ABCD 中 , 1AB ,AB 与 BC 的中点分别为 E ,F ,CE 与 AF 交于点 G ,则四边形 GEBF 的面积为 _. 46.在一个两位数中间插入一个数字 1,得到一个三位数 .若这个三位数是原两位数的 9 倍 ,则原两位数是 _. 47.一架天平左盘上放有 5 个相同的小球 ,右盘中有 20 克砝码 ,这时天平向左倾斜 ;往右盘中添加一个 5 克的砝码后 ,天平向右倾斜 ;再往左盘放入一个相同的小球 ,天平又向左倾斜 .则一个小球的质量在
17、 _克到 _克之间 . 48. 如图 , 在 长 方 形 ABCD 中 , : 3:1BE EC ,: 2:1DF FC ,则 AEF 与长方形的 ABCD 面积之比为_. 49.若20162015)1( 143 132 121 1 nn,则自然数n 的最小值是 _. 50.定义运算： 422 bmaba ,若 125934 ,则 34_. 51.已知三个质数 a ,b ,c 满足 99 abccba ,则 abc _. 52.已知关于 x 的二次多项式 3 2 2 33 2 5a x x x b x x x ,当 2x 时 ,其值为 17 ,当 2x 时 ,此多项式的值为 _. 53.若等腰
18、三角形有两个内角的差为 15 ,则这个三角形的各内角分别是_. 54.在三位数 abc 中 ,ab ,bc ,ca 都是 13 的倍数 ,则这样的三位数共有 _个 . 55.若正整数 x ,y ,z 满足 2336222 zyx ,则 x y z . 56.如图 所示 ,四边形 ABCD 是一个长方形 , EF AD ,GH AB ,EF 和 GH 相交于点 O ,长方形 OHCF 的面积比长方形 AEOG 大 26cm ,则阴影三角形 OBD 的面积是 _ 2cm . 57.现有 3 个互不相等的数 ,甲说是 2 , 1a , 2b ；乙 说是 21b ,3 ,a .若他们都说对了 ,则这三
19、个数分别是 _. 58.如图 所示 , ABC 中 ,E 为 AD 与 CF 的交点 ,AE ED ,已知三角形 ABC 的面积是 1,三角形 BEF 的面积 110 ,则三角形AEF 的面积是 _. 59.计算 :1 2 3 4 5 6 7 8 20 15 20 16 _. 60.如图 ,四个圆的面积都是 3 平方厘米 ,则阴影部分的面积总和是 平方厘米 . 61. 已知 4m , 化简 :22(4 2 ) | 7 2 | | 2 1 | | 2 3 |m m m m m m _. 62.一个正方形分成如图所示的 6 个面积相等的长方形 .则右下角的阴影长方形的长何况的比等于 _. 63.满
20、足 22(| | 2) (| | 2) 5xy 的有序整数对 ,xy 的总数是_对 . 64.若多项式 222 2 4 1x y xy y 的最小值是 m ，则 22016m _. 65.如图所示 的 长方形 ABCD 中 ,正方形 CEFG 的 顶点 E ,G , F 分别 在 边 DC , BC 和 对角线 BD 上 .若 线段3AB x,线段 26AD x,且 BFG 的 面积为 64 平方厘米 ,则长方形 ABCD 的 周长为 _厘米 . 66.已知 x ,y （ xy ） 是 两个有理数 ,若在 11xy,11xy,11xy,11xy中 ,有三个是相等的 ,那么 x ,y _. 67
21、.代数式 1x x a 的最小值 是 2 ， 则 a . 68. ABC 中 , BC a , AC b , AB c . 且 D 为 AC 的中点 . 如果2 2 2a b c a b b c c a ,则 CBD _. 69.若 质数的各位数字也是质数 ,则称为 “ 优等 质数 ” .如 257 ,523 都是三位的“ 优等 质数 ” ,则所有两位的 “ 优等 质数 ” 的 和 是 _. 70. 32 0 1 6 1 3 2 7a b cIf a b c ,then the value of abc is _. 71.桌上 放着两张面积相同的长方形纸片 .纸片 A 的长 是宽 的 三倍 .
22、纸片 B 的 长比A 的 长少 9 .纸 片 B 的 宽比 A 的 宽多 4 ,如果将两张纸片重叠放置 ,则重叠部分的面积最大为 _. 72.某健身 中心发行 两种 会员卡 ,银卡会员 费 每年 630 元 ,每次 健身需缴纳 15 元 .金卡 会员费每年 840 元 ,每次健身需缴纳 5 元 .某人 欲购一年用金卡 ,问他一年内至少锻炼 次才能比购买银卡更划算 ? 73.如果 p , 2p , 4p 都是质数 ,则 p . 74.有一个特制马拉松赛道是一个正三角形如图所示 .全长42.195 公里 ,甲乙两个运动员同时从 A 点出发 ,甲向 B 点跑去 ,乙向 C 点 跑去 ,两人在 C 点
23、相遇了 .如果以甲的速度 90 分钟可以跑半程马拉松 ,那么乙跑半程马拉松需要 分钟 ? 75.如果质数 p 和 q 使得 221pq那么 p = ， q = . 三、解答 题 76.某地参加希望杯决赛的 104名小选手来自当地 14 所学校 .证明：其中一定存在两所学校选手的人数是相同的 . 77.甲乙两车（匀速行驶） 从 A ,B 两地同时出发相向而行 ,行驶到对方的出发点立即返回 .若两车第一次相遇点到 A 地的距离与第二次相遇点到 B 地的距离比是2:3 ,求甲 、 乙两车的速度比。 78.若 n 为自然数 ,求证： 5nn 必为 30 的倍数 . 79. 如图 所示 , AEB , AFD 的平分线相交于点 O . 求证：1 ()2E O F D A B B C D . 80.若三角形的 3 条边长 a ,b ,c 是整数 ,且一边上的高恰等于另两条边上的高之和 ,这样的三角形叫做“玲珑三角形” .求证： （ 1）存在“玲珑三角形”； （ 2）“玲珑三角形”中 , 2 2 2abc是一个完全平方数 .
