1、2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 1 页绝密 启封并使用完毕前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。满分 l50分。考试时间 l20 分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 50 分）注意事项：必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第卷共 10 小题。一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的。1.设集合 ，集合 ，则|(1)20Ax|13BxAB（A） （ B） （C） （D）|3|x|12x|23x【答案】A【解析】 ， ， ，选 A.|12x|13x|13ABx2.设向量 与向量 共线，则实数(2,4)a(,6)b(A) (B) (C) (D) 346【答案】B【解析】由共线向量 ， 的坐标运算可知 ，1,axy2,bxy1210xy即 ，选 B.26403x2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 2 页3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（A)抽签法 （B
3、）系统抽样法 （C）分层抽样法 （D）随机数法【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。4.设 ， 为正实数，则“ ”是“ ”的 ab1ab22loglab(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知当 时， ， “ ”是“ ”的充分条件。1ab22logl0ab1ab22loglab反过来由 ，可得 ，“ ”是“ ”的必要条件，综上，22logl01“ ”是“ ”的充要条件，选 A.1ab2l5.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是A. B.sin(2)yxcos(2)yxC. D
4、.icos in【答案】A【解析】A. ,可知其满足题意;cos(2)sin2yxxB. ,可知其最小正周期为 ，偶函数;in()coC. ,最小正周期为 ，非奇非偶函数;si2s2in()4yxx2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 3 页D. ,可知其最小正周期为 ，非奇非偶函数.选 Asinco2sin()4yxx26.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是(A) (B) (C)- (D) 32-321212【答案】D【解析】易得当 k=1,2,3,4 时执行的是否，当 k=5 时就执行是的步骤，所以 ，选 D.51sin62S7.过双曲线 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双
5、曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则213yx （A） （B） （C）6 （D）423 43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 ，且右焦点 ，则直线 与两条渐近线的3yx(2,0)2x交点分别为 ， ， ,选 D.A(2,3)B(2,)|4AB8. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）满足函数关系 （ yxCkxbye为自然对数的底数，k，b 为常数） 。若该食品在 的保鲜时间是 192 小时，在 23 的保e=2.718 0C鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是C(A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时【答案】C
6、【解析】2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 4 页， ， ， 0+192kbe 248kbe 2142kke当 时， ， ,选 C.3x3kbex 33819kxe9. 设实数 满足 ，则 的最大值为,xy21046yxy(A) (B) (C) 12 (D)142592【答案】A【解析】由第一个条件得： 。于是， ， 当且仅25yx2525xyxxy当 时取到最大值 。经验证， 在可行域内，选 .5,2x,A10.设直线 与抛物线 相交于 A，B 两点，与圆 相切于点 M，且 M 为线 l4yx2250xyr段 AB 的中点.若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是lr（A） （B
7、） （C） （D）13， 1， 23， 24，【答案】D【解析】设 ， ， ，则1,Axy2,By5cos,inMr214yx两式相减，得： ，当直线 的斜率不存在时，显然符合条件的直线 有两1212124xl l条。当直线 的斜率存在时，可得： ，又l 121212sin sinAByryxkxr xyBOMCA2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 5 页， ，sin0si5coMCrk1cosinABMCk2cos2iincosrr由于 M 在抛物线的内部， ，2sin45cs04cs041rr ， ，sin23r222si 316rrrr 因此， ，选 D.4第卷（非选择题 共 1
8、00 分）注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11. 设 是虚数单位，则复数 _.i 1i【答案】 2i【解析】由题意可知： 21iii12. 的值是 _.2lg0.1lo6【答案】【解析】 242lg0.1lo6lg10lo213. .已知 ，则 的值是_. sincssincs【答案】-1【解析】由已知 得， ，sin2cos0tan2 2222icosta142sico 1s 2015 年四川高
9、考数学文科卷详细解答 第 6 页14. 三棱柱 中， ，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角1ABC90BAC边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M,N,P 分别是 ， ， 的中点，则三棱锥 的体BC1 1PAMN积是_.【答案】 24【解析】采用等积法， 11 2134PAMNAPV15.已知函数 ， (其中 )。对于不相等的实数 ， ，设2xf2gaxaR1x2， ，现有如下命题：12xm12n(1) 对于任意不相等的实数 ， ，都有 ；1x20m(2) 对于任意 的及任意不相等的实数 ， ，都有 ；a12xn(3) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 ；12(4
10、) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 。a1x2nm其中的真命题有_( 写出所有真命题的序号） 。【答案】(1) (4)【解析】(1)设 ， ,函数 是增函数， ， ， 则 = 0,1x2xy12x120x21)(xffm21x所以正确；(2)设 ，则 ，12x120x2211122gxxaxn a不妨我们设 ，则 ，矛盾，所以(2)错。12,3a02015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 7 页(3) ，由(1)(2)可得： ，化简得到，nm1212fxfgxmn，也即 ，令1212fxfgx1122fxfx，即对于任意的 函数 在定义域范围内存在有两个不相等的实haah数根 ，
11、 。则 ，显然当 时， 恒成1x2lnxhxnxl)(ha0hx立，即 单调递增，最多与 x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误。(4)同理可得 ，设 ，即对于任意的1122fxgf2xhxfga函数 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根 ， ，从而 不是恒为单调函数。ah 12h， 恒成立， 单调递增，又 时，2lnxa2 ln0xhxx， 时， 。所以 为先减后增的函数，满足要求，所以正确。0hx三、简答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和 ，且 ， ， 成等差数列。na12nSa21a3（）求数列
12、 的通项公式；n（）记数列 的前 项和 ，求 。1nanT【解答】：（）当 时有， 2n1112()nnnaSaa则 ， （ ） ，数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列。1na()1n-=n12015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 8 页又由题意得 ， ， ， 213a1124aa12na*()N（）由题意得 ， na1()()22nn niT17.（本小题满分 12 分）一个小客车有 5 个座位，其座位号为 ，乘客 的座位号为 ，他们按照1,234512345,P1,2345座位号顺序先后上车，乘客 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：P如果自己的座位空
13、着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位.（I）若乘客 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法。下表给出其中两种坐法，1请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客 1P23P4 53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号（II）若乘客 坐到了 2 号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客 坐到 5 号座位的概率。1P P【解答】（）当乘客 坐在 3 号位置上，此时 的位置没有被占，只能坐在 2 位置， 位置被占，可选剩下的1 2P3任何，即可选 1、4、5:当 选 1 位置， 位置没被占，只能选 4 位置，
14、 选剩下的，只有一种情况；4 5P当 选 4 位置， 可选 5 位置也可选 1 位置， 选剩下的，有两种情况；当 选 5 位置， 只3P5 34P可选 4 位置 选剩下的，有一种情况；52015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 9 页乘客 1P23P4 53 2 1 4 53 2 4 5 13 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1（）这个问情况比较复杂，需要列表解答，当 坐 2 位置时， 位置被占，可选剩下的 座位，1P21,345下表列出了所有可能乘客 1234P 52 1 3 4 52 3 4 5 12 3 4 1 52 3 1 4 52 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5
15、 1座位号2 5 3 4 1综上，共有 8 种情况， 坐在 5 位置上的情况有 4 种，所求概率为 P82P=18.（本小题满分 分）12一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（I）请将字母 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；,FGH（II）判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论；BEAC（III）证明： 平面D2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 10 页。 CBAD GEHF A BE CD【解答】（I）如答图 1 所示A BE FH GCD答图 1 答图 2 答图 3（II）如答图 2 所示，连接 ，易得四边形 和四边形 为 ，所,AHCEBGB
16、EHCABGY以 ， ，又 平面 ，且 平面 ， 平面/BEC/G,A/， 平面 ，又 平面 ，且 ，所以平面 平面BE,CEAH（III）如答图 3 所示，易得 ， 平面 ,HFGDHEGHFBD得 平面 ， ，同理可得， ，又 ， DFBEB 平面 。A BE FH GCD NMA BE FH GCD2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 11 页19.（本小题满分 12 分）已知 为 的内角， 是关于 的方程 的两实根.,ABCtan,ABx2310()pxpR（）求 的大小；（）若 ，求 的值.3,6p【解答】（） 是关于 的方程 的两个根可得： ，tan,ABx2310pxtan
17、AB3p，所以 ，则 ，由三角形t1ptanttan()ABB3p120o内角和为 可知， .80o60oC（）在 中，由正弦定理可得， 求得 ，则 .又 ，由ABsiniABC2sinBtan1Bta3C三角形内角和为 及诱导公式可知 ，解得 ，将 代入180otat()t3At,nAB，解得 .tant3p3120.（本小题满分 13 分）如图，椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且 。2:1xyEab0a2(0,1)PCD1P（）球椭圆 的方程；（）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点。是否存在常数 ，使得OP,AB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。ABxy
18、OBAP2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 12 页【解答】（）由 知， ，解得 ，1PCD()1b2b又由离心率是 得到 ； 2,2ac椭圆 E 的方程为： 。214xy()当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的解析式为 ， ，1ykx1,Ay2,Bxy联立： ，显然 ，由韦达定理可知，2214204xykxk 2380k， ，121222,xk1,PAxy2,1PBxy ，12122OABPxy211222411 kk k这里，与 的取值无关， ，即 。01此时 ，123OABP当直线 AB 的斜率不存在时，AB 就是 CD，那么 3,13,1CD 313OABPOCPD综上，存
19、在常数 ，使得 为定值 。1AB2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 13 页21.已知函数 ，其中 ，设 是 的导函数.22lnfxxa0agxf（）讨论 的单调性；g（）证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间(1， )内有唯一解。0,1a0fx0fx【解答】：（） ，求导可得，22lnfxxa，即 fx0,gxax 恒成立， 在其定义域上单调递增。2 0gx()x（） ，由()可知 在(1， )内单调递增。,1afg又 时， ，x1lim1220xffa 当 时，显然 。而 在(1， )是单调递增的，因此在lixfffx(1， )内必定存在唯一的 使得 。0002fxa当 时， ，当
20、 时，01xfx0f 在 上单调递减，在 上单调递增， 。f0(,)0(,)0minfxf由已知条件 在区间 内有唯一解，必有 。fx1, 0inff2015 年四川高考数学文科卷详细解答 第 14 页即 . ，2220000()lnln0fxxaxa由式得到 带入式化简得： ，即 ，00120201lnx201lnx令 ， ， 恒成立， 为减函数，20txlnhtt2htht ， 在 内有零点，即 时，11,l02t1,01,2x有解，此时 为增函数，且 ，20lnx0ax0012xxa1a即 。存在 ，使得 恒成立，且 在区间(1 ， )内有唯一解。,1a,1ffBy：Kingslee QMJY 杰少
