1、 第 1 页共 15希望杯竞赛讲座 直线 圆 圆锥曲线基础知识导引一、直线与圆1,两点间的距离公式:设 ,则 ;12(,)()Pxy221211()()Pxy2,线段的定比分点坐标公式:设 ,点 分 的比为 ,则1xy,2P,12x2()3,直线方程的各种形式(1),点斜式: ; (2),斜截式: ; (3),两点式:00()ykykxb1122yx(4),截距式: ;(5),一般式: 不同为零);1,xab0(,ABCA(6)参数方程: 为参数, 为倾斜角, 表示点 与 之间的距离)0cos(inttyt,)xy0,4,两直线的位置关系设 (或 ).则1122:,:0lAxBClAxByC1
2、122:,:lykblkb(1), 且 (或 且 );21/01(2), (或 ).112l2k5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式: 到 的到角为 ,则 ,( );1l221tank008(2),夹角公式: 与 的夹角为 ,则 ,( ).1l2 21tk0096,点 到直线 的距离: .0(,)Pxy:0lAxByC02AxByCd7,圆的方程(1),标准方程: ,其中 为圆心坐标,R 为圆半径;22()()abR(,)ab(2),一般方程: ,其中 ,圆心为 ,0xyDEF240DEF()2DE半径为 .214(3),参数方程: ,其中圆心为 ,半径为 R.cosinxaRyb
3、()ab第 1 页共 15二、圆锥曲线椭圆 双曲线 抛物线定义 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程21xyab(或 ),2 21xyab(或 )22ypx(或 )参数方程cosinxayb(或 )cosasectanxyb(或 )sec2xpty(或 )2tp焦点 或,0)(, 或,0(,或,0(,正数 a,b,c,p 的关系22cb( )a22cab( ),离心率 1e1ea1e准线 (或 )2axc2yc(或 )2xc2yc(或 )px2y渐近线 (或 )byax焦半径10PFaex2(或 10ey)2PFa10PFe2
4、x( ,10eya),2PF(点 在左或下支)02pPFx(或 )y统一定义 到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值 的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理第 1 页共 15直线与圆一、直线的定义和性质例题：若点 和 都在直线 上，则（ ）)1,(baM),(cN1:yxlA点 和 都在 上 B点 和 都不在 上,cP,Ql ),(acP),1(bQlC点 在 上，点 不在 上 D点 不在 上，点 在 上)1,(al),1(bcl,l),(cl练习：钝角三角形中， 为钝角，对应三边
5、分别为 ，直线 ，以下四个命题Ccba, 0:cbyaxl(1) 的倾斜角是钝角 （2） 不穿过第一象限l l（3） 和单位圆相切 （4） 过定点其中正确的命题个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、直线方程例题：直线 和直线 交于点 ，则过点:11ybxal 2:2ybxal ),3(P),(),(21baBA、的直线方程是（ ）A B C D0230302yx03yx练习：已知直线 与 轴交于点 A，直线 绕点 A 逆时针旋转 得到的直线方程是 032:1yxlx1l45第 1 页共 15三、直线与直线的位置关系例题：已知两直线 与 的交点在第一象限，则实数 的取值范围是 2yx3yaxa练
6、习：直线 与直线 的位置关系是 0132yx0123x四、距离例题：平面上的整点（横纵坐标均为整数的点）到直线 的距离的最小值是 01352yx练习：直线 过定点 ，直线 过定点 ， ，则这两直线的距离的范围是 1l)0,3(A2l)4,0(A21/l五、对称例题：在平面直角坐标系内，从点 发出的光线射向 轴，经 轴反射后到直线 上，被反射)2,5(Pxxy后恰经过点 ，则光线由 到 走过的路程长度等于 )9,10(QQ练习：与直线 关于点 对称的直线方程是 0632yx)1,(第 1 页共 15六、线性规划的应用例题：实数 满足 ，则 的最大值与最小值的和等于 yx, 9462yxyx32练
7、习：画出不等式组 表示的平面区域，并回答下列 问题：503xy指出 的取 值范围； 平面区域内有多少个整点,xy七、其它应用例题：当 均为有理数时，称点 为有理点，设点 ，ba, ),(baP)201,(),201(BA则直线 上 （ ）ABA不存在有理点 B仅有一个有理点 C仅有两个有理点 D有无穷多个有理点 练习：已知点 ，过原点的直线 与线段 有公共点，则直线 的倾斜角范围是)3,1()2,BAlABl练习：在直角坐标平面内到三直线 的距离的平方和最小的点的坐标是 1234,0yxyx第 1 页共 15八、圆的定义与性质例题：如果圆 上各点均满足 ，那么 的最大值与最小值分别是 )0(2
8、2ryx 42yxr练习：圆 关于直线 对称，则 的取值范01422yx ),(02Rbayaxab围是 （ ）A B C D1,(,(),41()41,(练习：关于 的方程 在平面直角坐标系中的图形是圆，当这个圆半径最大yx, 022kyx时，圆心坐标是 九、直线与圆例题：直线 被 截得的弦长为 ，则 的值等于 01byax42yx32ba练习：直线 和圆 的位置关系是 0)1(myx 0722yx第 1 页共 15练习：若不论 为何值，直线 与直线 总有公共点，则 的取值范围是（ k2ykxb21xyb）.A3,.B3,.C,.D2,例题：点 是圆环 内的任一点，则 的取值范围是 ),(y
9、xP422yx 223yx练习：已知点 是圆 上任一点，求范围是),(yxP1)2(yxC：（1） ， （2） 十、圆与圆的位置关系例题：点 在圆 上，点 在圆 上，P014821 yxC： Q014822 yxC：则 的最小值是 Q练习：经过点 且与两圆 和 的公共弦为一条弦的圆的)4,2(P0621xyC： 0422yxC：方程是 第 1 页共 15圆锥曲线一、定义、性质例题：圆锥曲线 的准线 ，相应的焦点是 ，如果 过定点 ，那么（ ）C3x)0,1(FC)2,5(MA 是椭圆 B 是双曲线 C 是抛物线 D 的类型不确定 练习：方程 表示的曲线是 （填类型）3)2()(2yxyx例题：
10、动点 到定点 的距离等于到直线 =0 的距离的 倍，则点 的轨迹是（ ）P)1,(F1yxl： 2PA是椭圆 B是双曲线的一支 C是等轴双曲线 D实虚轴不等的双曲线 练习：若平面内的动点 到定点 的距离比 点到 轴的距离多 1，则动点 的轨迹方程是 P)0,1(FPyP二、离心率例题：椭圆 的长轴端点是 ，若椭圆上有一点 ，使 ，则椭圆)0(12bayx BA, P120AB的离心率 的取值范围是 e练习：椭圆 的半焦距为 ，若直线 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 ，)0(12bayxcxy2c则椭圆的离心率 e第 1 页共 1514、已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，且|F 1F2|
11、=2c，点 A 在椭圆上， ，12byax 021F，则椭圆的离心率 = （ ）21cAF eA B C D3213215217、已知 是椭圆 的半焦距，则 的取值范围是 （ ）C2xyab0abca.A1,.B,.1,2.1,2强化训练1、在平面直角坐标系中,方程 为相异正数),所表示的曲线是( )1,2xyabaA,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形2、平面上整点(坐标为整数的点)到直线 的距离中的最小值是( )543yxA, B, C, D,3417034851201303、过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线,若此直线与抛物线交于 A,B2()yx6两点,
12、弦 AB 的中垂线与 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于( )A, B, C, D,168313834、若椭圆 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为( )210xyA, B, C, D,(3,5)(3,5)(3,15)3,155、过椭圆 中心的弦 AB, 是右焦点,则 的最大面积为( )21xyab00FcAFBA, B, C, D,c a2b6、已知 P 为双曲线 上的任意一点, 为焦点,若 ,则 ( )21xyab1212P12FPSA, B, C, D,2cotbsintanb()sinab二、填空题7、给定点 ,已知直线 与线段 PQ(包括 P,
13、Q 在内)有公共点,(,3)(2PQ20axy第 1 页共 15则 的取值范围是 .a8、过定点 作直线 交 轴于 Q 点,过 Q 点作 交 轴于 T 点,(,0)FalyTFx延长 TQ 至 P 点,使 ,则 P 点的轨迹方程是 .QT9、已知椭圆 与直线 交于 M,N 两点,且 ,( 为21(0)xyab1xyOMN原点),当椭圆的离心率 时,椭圆长轴长的取值范围是 .32e10、已知 是椭圆 的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到 轴的距离为12,F216xyy,且 是 和 的等比中项,则 的值等于 .MN12MFN11、已知点 A 为双曲线 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上
14、, 是xy ABC等边三角形,则 的面积等于 .BC12、若椭圆 ( )和双曲线 有相同的焦点21mn021(0,)xyab1,F,P 为两条曲线的一个交点,则 的值为 .2F12PF三、解答题13、如图，直角三角形 ABC 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴上，点 为线(0)A， (0,2)BCxP段 的中点。 （）求 边所在直线方程； （）M 为直角三角形 ABC 外接的圆心，求圆 M 的OABC方程；（）若动圆 过点 且与圆 内切，求动圆 的圆心 的轨迹。NN解：yxP O CBA第 1 页共 1513、设椭圆 有一个内接 ,射线 OP 与 轴正向成 角,直线 AP,BP 的斜率21
15、6xyPABx3适合条件 .0APBk(1),求证:过 A,B 的直线的斜率 是定值;k(2),求 面积的最大值.14、已知 为常数且 ),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得(O2 POQ的面积恒为 36.设 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 .PQ32MG(1),求 的最小值;G(2),求动点 M 的轨迹方程.15、过抛物线 ( 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 轴不垂直的直线 交抛物线2ypxxl于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 轴于 Q 点.(1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,
16、但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.四,解题导引1,D 令 ,得 ,令 得 ,由此可见,曲线必过四个点: ,yxayxyb()a, , ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知()a(b)它是非正方形的菱形.2,B ,当 (可取 )时,0025125(3)1284xyxyd0532xy01xy(其中 为平面上任意整点).min3450,)xy3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为 ,因此 A,B 两点的横坐标3yx满足方程: .由此求得弦 AB 中点的横坐标 ,纵坐标 ,进而238160x04043y求得其中垂线方程为 ,令 ,得 P 点的横坐标 ,
17、44()33yxy16x即 PF= .1634,C 设 ,又椭圆的右准线为 ,而 ,且 ,0()Pxy9x12F12F得 ,又 ,得 ,代入椭圆方程得 .24F2093e005y第 1 页共 155,A (1)当 轴时, ;ABx1(2)AFBSbc(2)当 AB 与 轴不垂直时,设 AB 的方程为 ,由 消去 得 .ykx21yabx2kaby设 , ,则1()Axy2()B 2122()AFBScckcbka, ,12kab22kab.2ccbak6,A 由 2221112cosFPFP21()PF12PF,得 , .(cos)12cosb12 212sinsicotFSbb 7, 设线段
18、 PQ 上任意一点 且令 ,则4,520(,)Mxy(01)tPQ0()23xt= , ,故 , ,t0(1)325yttt2352att5at由 得 ,解得 .5a418, 设直线 的方程为 ,则 Q 点坐标为 ,直线 QT 的方程为24yaxl()ykx(0)ka,所以 T 点坐标为 ,从而 P 点坐标为 ,设 P 的坐标为1k20a2,则 ,消去 可得 P 点轨迹方程为 .()xy2ak24yax9, 由 ,可得 5,621xyb222()0abxb由 得 ,即 ,将 ,OMN120xy122()1212axb代入得 ,即 ,因为 ,得21abx2ab22a3ca第 1 页共 15,得
19、,有 ,解得 .213ba213ba221()a526a10, 延长 NM 与椭圆 的右准线 : 相交于 D,设 ,则85216xyl8x()Mxy,因 ,得 , ,MDx,8ea21()2MFD1218(8)Fx又 ,得 ,故 .212NF45x85N11, 设点 C 在 轴上方,由 是等边三角形得直线 AB 的斜率 ,又直线3ABC3k过 点,故方程为 ,代入双曲线方程 ,得点 B 的坐标为(10)A3yx21xy,同理可得 C 的坐标为 ,所以 的面积为 .23(2,)ABC()312, 不妨设 P 为第一象限的一点,则 , ,.得ma12PFm12PFa, ,于是 .1PF2Fmaa1
20、3,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为 ,将此方程代入 ,可求得交点3yx236xyP(1, .由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为 和 ,3) (1)yk3(1)kx分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为 , .23AxBx2从而 ,2 2(36)(36),ABkkyy所以 (定值).214BAxk(2)不妨设直线 AB 的方程为 ,与椭圆方程联立,并消去 得 +3yxby263xb,有2(6)0b2222()()4()()4ABABABABAByx= 22461633bb点 P 到战线 AB 的距离 ,所以 =d22 24()43PABSb第 1 页共 15,当且仅当
21、,即 时,22(1)b22(1)3b221b6b.max3PABS14,解(1),以 O 为原点, 的平分线为 轴建立直角坐标系,则可设ABx(cos,in)2Pa.于是 的重心 的坐标为(cosin)2QbPQ()Gy,11(cos0cos3232Gxababiin)()iny=22222()(csi9GOx 2()cos9ab.14cos9abab又已知 得 ,于是in36,2OPQS 72sin247cos9inOG,且当 时等号成立,故 .16cot4tiabmint(2),设 ,则由 得, , = b)()Mxy3231()cos022Gxab3Gy1(2a,得 , ,代入 ,并整理
22、得sin2cosinacosinyb7in,这就是所求动点 M 的轨迹方程.21(0)36ttaxyx15,解:(1)抛物线 的焦点为 ,设 的直线方程为 .2yp()2l()2pykx0由 得 ,设 M,N 的横坐标分别为2()yxk2 21()04kxpk 12,则 ,得 , ,21px21Pxk2()Ppkpyk而 ,故 PQ 的斜率为 ,PQ 的方程为 .PQlk21()xk第 1 页共 15代入 得 .设动点 R 的坐标 ,则0Qy223pkkpx()xy,因此 ,21()2PQxkpy 2()4(0)xpyk故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 .24()y(2),显然对任意非零整数 ,点 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点.t1,ptt反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 ,则0,xym,因为 是奇素数,于是 ,从 可推出 ,再由 可推出22()4xymipppy()ip()i,令 ,则有 ,111,xym22114()xiyv由 , 得 ,于是 ,即()iv221142211(8)7,于是 , ,18(8)7xmxx118xm得 ,故 ,有 ,但 L 上的点满足 ,矛盾!10y10py0y因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.
