1、1.3.2 函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点 )的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值 .建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为 0 的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)
2、函数极值的求法 .建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数 y=f(x)在区间 内单调递增;(2)函数 y=f(x)在区间 内单调递减;(3)函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值 ;(5)当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值.则上述判断中正确的是 . 解析:由导函数的图象知:当 x(-,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当 x(2,4)时,f(x)0,f(x)单调递增;在 x=-2
3、时,f(x)取极小值;在 x=2 时,f(x)取极大值;在 x=4 时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确 .答案:(3)2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-2 处取得极值,并且它的图象与直线 y=-3x+3 在点(1,0)处相切,求 a,b,c 的值.解:因为 f(x)=3x2+2ax+b,所以 f(-2)=3(-2)2+2a(-2)+b=0.所以 12-4a+b=0.又 f(1)=3+2a+b=-3,所以 a=1,b=-8.又 f(x)过(1,0)点,所以 13+a12+b1+c=0,所以 c=6.3.已知 aR,讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f(x)=e x(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令 f(x)=0,得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当 =(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0,即 a4 时,方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1,x2,不妨设 x10;当 xx1 时,f(x)0.f(x)无极值点.(3)当 0,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,f(x)为增函数,此时 f(x)无极值点.综上所述,当 a4 或 a0 时,f(x)有两个极值点;当 0a4 时,f(x)无极值点.
