1、1江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考数学试卷 2018.2一.填空题：本大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分.不需要写出解答过程。1.复数 的共轭复数是_i4352设全集 , 则图中阴影部分表示的区间是RU,cos,02RxyBxA_3运行如图所示的伪代码，其结果为_S1For I From 1 To 7 Step 2SSIEnd ForPrint S4.若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是 tR20taa5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之
2、差的绝对值不超过 3 的概率是 6.矩形 中，沿 ,沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四ABCD3,4BCABCDDACB面体 外接球的体积为 7设 满足 ，则 的最大值为 ,xy0|1xyyx328已知 为等差数列， 为其前 项和，公差为 ，若 ，则 的值为nanSd108201Sd_9已知函数 ，当 时恒有 ，则关于 的不等式Rmxxf,l)() 1x)(xfx的解集为_2)(xf10.在平面直角坐标系 中，过点 的直线与圆 相切于点 ，与圆xOy2,0P21xyT相交于点 ，且 ，则正数 的值为 223xay,RSTSa11.若函数 在 上单xxxxf )14()cos(in3)si(c
3、o)sin(co1) 0,2调递增，则实数 的取值范围为_a12.函数 ，若关于 的方程 至少有两个不相等的实数根，则0,21)(2xxf xkxf)(实数 的取值范围为_k13.在平面直角坐标系 中，已知点 在椭圆 上，点 满足 ，xOyA2159xyP)()1(ROA 且 ，则线段 在 轴上的投影长度的最大值为 48POAP14.在 中， 若当 面积取最大值时 ,则 BC),1(,2mBCAABC3Bm 二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15 （本小题满分 14 分）已知 的内角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc.sin3cosaBb(1)求角 的大小 ；(2) 若 的
4、面积为 ，求 .73,4,bc,316. （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 中，已知平面 平面 .来源:Zxxk.ComPABCPBCA(1)若 ，求证： ；,ABCPB(2)若过点 作直线 平 面 ，求证： 平面 .lA/l17 （本小题满分 14 分）如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图) ，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4m，东西向渠宽 m(从拐角处，即图中 A，B 处开始)假定渠内的水2面始终保持水平位置(即无高度差 )(1)在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P， Q 两点，且与水渠的一边的夹角为 4，将线段 PQ 的长度 l 表示为 的
5、函数；(0 2)(2)若从南面漂来一根长为 7m 的笔直的竹竿(粗细不计) ，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不 会卡住)？请说明理由18 （本小题满分 16 分）如图，点 A(1， )为椭圆 1 上一定点，过点 A 引两直线与椭圆分3x22 y2n别交于 B，C 两点(1)求椭圆方程；(2)若直线 AB，AC 与 x 轴围成的是以点 A 为顶点的等腰三角形求直线 BC 的斜率；求ABC 的面积的最大值，并求出此时直线 BC 的方程519 （本小题满分 16 分）函数 f(x)1lnx ，其中 k 为常数kx 2x(1)若 k0，求曲线 yf(
6、 x)在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)若 k5，求证：f(x )有且仅有两个零点；(3)若 k 为整数，且当 x2 时，f (x)0 恒成立，求 k 的最大值.620.（本小题满分 16 分） 已知有穷数列 ， 对任意的正整数 ，都有nabnN成立12132121nnnnababba 2(1)若 是等差数列，且首项和公差相等，求证： 是等比数列；nb(2)若 是等差数列，且 是等比数列，求证： nanb12nna附加题1.已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ，属于特征值 1 的一个特征3 3 c d 1 1向量 2 .求矩阵 A，并求出 A 的逆矩阵3 2
7、72.在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知圆 4sin被射线 0 所截得的弦长为 2 ，求 0 的值( 6) (0，0为 常 数 ，且 0(0，2) 33. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0 p 1)现有 3 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 3 次投篮机会的概率是 215（1）求 p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为 ，求 的概率分布及数学期望 E( )4.在数列a n中，a ncos (nN*)32n 2(1)试将 an1 表示为 an 的函数关系式；(2)若数列b n满足 b
8、n1 (nN*)，猜想 an 与 bn 的大小关系，并证明你的结论2nn！8江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考数学参考答案 2018.21. I 2. ( ，1)(2 ，) 3.16 4. 5. 6. 35 45 (,19861257. 2 8. 9. 10.4 11. 1，) 12. (1，) 110 ),(2e 13，1)13. 10 14. 315 （1）由已知 ,sincos3inaBbAC结合正弦定理得 ，is所以 ，sin3sinco3sn3incosisABABA即 ，即 ，因为 ，所以 .7 分iiBta0,3（2）由 ，得 ，即 ，1sin,23ABCSac 734c7ac
9、又 ，得 ，2 obB229所以 ，又 . 14 分7 8ac7,1ac16.证明：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面PBCAPBC=ABC， ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .又因为ABCP平面 所以 平面 又因为 平面 所,P, ,A以 . 7 分（2）在平面 内过 作 ，垂足为 ,因为平面 平面 ,BCPBCDPBC又因为平面 平面 , 平面 ,所以 平面 ,AADA又因为 平 面 ，所以 ,又 平面 ， 平面 所以 平面 ll/l /lPBC14 分17解 (1)由题意，PA ，QA ，2sin 4cos所以 lPAQA 6 分2sin 4cos(0 2)(2)设 f()
10、 ， .2sin 4cos (0，2)由 f() ，2cossin2 4sincos2 222sin3 cos3sin2cos2令 f() 0，得 tan0 . 10 分22且当 (0， 0)，f( )0；当 ，f ()0，所以 f()在(0 ， 0)上单调递减，在 上单调(0，2) (0，2)递增，10所以当 0 时，f()取得极小值，即为最小值当 tan0 时，sin 0 ，cos 0 ，所以 f()的最小值为 3 ，22 13 23 6即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 3 m.因为 3 7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向6 6东西向的水渠答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠 14
11、 分18.解 (1)把点 A(1， )代入 1 得 n6，故椭圆方程为 1. 2 分3x22 y2n x22 y26(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1，k 2，由Error!消去 y，得(3 k )x22k 1( k 1)x( k 1)260，21 3 3点 B 的横坐标为 x1 (x1 为点 A 的横坐标) ，6 23k1k21 3点 B 的纵坐标为 y ，323k21 6k1k21 3即 B . 6 分(1 6 23k1k21 3 ，3 23k21 6k1k21 3 )同理可得点 C 的坐标为 C .(1 6 23k2k2 3
12、 ，3 23k2 6k2k2 3 )k 1k 20，直线 BC 的斜率为 kBC . 8 分3设 B(x1，y 1)，C (x2，y 2)，直线 BC 的方程为 y xm，代入方程 1 得3x22 y26116x22 mxm 260，3x 1x 2 m，x 1x2 ，33 m2 66BC |x1x 2|2 ，1 32 x1 x22 4x1x2233 12 m2又点 A 到直线 BC 的距离为 d ，|m|2S ABC BCd ，12 36 m212 m2 36 m2 62 36当 m26，即 m 或 m 时，ABC 面积取得最大值 .6 6 3此时，直线 BC 的方程为 y x . 16 分3
13、 619.(1)解 当 k0 时，f(x )1ln x.因为 f(x) ，从而 f(1)1.1x又 f(1)1，所以曲线 yf(x) 在点(1，f (1)处的切线方程为 y1x1，即 xy0. 2 分(2)证明 当 k5 时，f(x )ln x 4.10x因为 f(x) ，从而当 x(0,10)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(10 ，)时，f (x)0，f(x)单x 10x2调递增所以当 x10 时，f (x)有极小值因为 f(10)ln10 30，f(1)60，所以 f(x)在(1,10)之间有一个零点12因为 f(e4)4 40，所以 f(x)在(10 ，e 4)之间有一个零点1
14、0e4从而 f(x)有两个不同的零点 8 分(3)解 方法一 由题意知，1lnx 0 在(2， )上恒成立，kx 2x即 k 在(2，)上恒成立x xlnxx 2令 h(x) ，则 h(x) .x xlnxx 2 x 2lnx 4x 22设 (x)x2lnx 4，则 (x) .x 2x当 x(2 ，)时， (x)0，所以 (x)在(2，) 上为增函数因为 (8)82ln8442ln80，(9)52ln90，所以存在 x0(8,9)，( x0)0 ，即 x02lnx 040.当 x(2 ，x 0)时， h(x)0，h(x)单调递减，当 x(x 0，)时，h(x) 0，h(x)单调递增所以当 xx
15、 0 时，h(x )的最小值为h(x0) .x0 x0lnx0x0 2因为 lnx0 ，所以 h(x0) (4,4.5) x0 42 x02故所求的整数 k 的最大值为 4. 8 分13方法二 由题意知，1lnx 0 在(2，)上恒成立kx 2xf(x)1lnx ，f(x) .kx 2x x 2kx2当 2k2，即 k1 时，f(x) 0 在(2 ，)上恒成立，所以 f(x)在(2，)上单调递增而 f(2)1ln2 0 成立，所以满足要求当 2k2，即 k1 时，当 x(2,2 k)时， f(x)0，f(x)单调递减，当 x(2k，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 x2k 时，f(x)
16、有最小值 f(2k)2ln2kk.从而 f(x)0 在(2，)上恒成立等价于 2ln2 kk0.令 g(k)2ln2kk ，则 g(k) 0，从而 g(k)在(1， )为减函数1 kk因为 g(4)ln820，g(5)ln1030，所以使 2ln2k k0 成立的最大正整数 k4.综合，知所求的整数 k 的最大值为 4. 20.证明：（1）依题意， ，且 ，2 分1na1ab因为 ， 12132121nnnnabb 所以 （ ） ，12321nnnnnaba (1)2nn 得， （ ） ， 4 分11221( )nnnb所以 （ ） ，1221)nnab314 得， （ ） ，即 （ ） ，6
17、 分112nab312nba3中，令 得， ，即 ，所以 ， 所以 ， ，1214a121421ba12nba*N从而 ，即证 是等比数列；8 分12nbnb（2）因为 是等比数列，不妨设公比为 ，n q因为 ， 12132121nnnnababba 2所以 （ ） ，12321nnnnn (1)n2n 得， （ ） ，q1()2nabq即 （ ） ，13 分11122nn bn因为 是等差数列，所以 ，此时 （ ）且对 也适合，naq1na2 1n所以 16 分1112nnnba15附加题参考答案1.解： 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 1 可得， 6 ，1 1 3 3 c d1
18、 1 1 1即 cd6；由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 2 ，可得 ，3 2 3 3 c d 3 2 3 2即 3c2d2，解得Error!即 A 6 分3 3 2 4A 的逆矩阵是 10 分23 122.解 圆 4sin 的直角坐标方程为(x1) 2( y )24，( 6) 3射线 0 的直角坐标方程可以设为 ykx( x0，k0) 6 分圆心(1， )到直线 ykx 的距离 d .3|k 3|1 k2根据题意，得 2 2 ，解得 k .4 k 321 k2 3 33即 tan0 ，又 0 ，所以 0 . 10 分33 (0，2) 63.解：（1）设事件 ：“恰用完 3 次投篮机
19、会” ， 则其对立事件 ：“前两次投篮均不中” ，A A依题意， ， 解得 ；答： （3 分）21()15Pp35p5p（2）依题意， 的所有可能值为 0，1，2，3，16且 ， ，24(0)15Pp224(1)115Ppp，故 ，37(0)()(3)P的概率分布表为：0 1 2 3P42524541527158 分E( ) （次） 245271315答： E( ) 10 分34.解 (1)a ncos cos32n 2 232n 12 21，(cos 32n 1)a n2a 1， 2 分2n 1 an1 ，又 nN *， n12， an1 0，an 12 an1 . 3 分an 12(2)当
20、 n1 时，a 1 ，b 1121，a 1b 1，12当 n2 时，a 2 ，b 21 ，a 2b 2，12 12 12当 n3 时，a 3 ，b 31 ，a 3b 3，32 19 89猜想：当 n3 时，a nb n，下面用数学归纳法证明 5 分17当 n3 时，由上知，a 3b 3，结论成立假设当 nk，k 3，nN *时，a kb k 成立，即 ak1 ，2kk！则当 nk1 时，a k1 ak 12 2 2kk！2 ， 7 分1 1kk！bk1 1 ，2k 1k 1！要证 ak 1b k 1，即证明 2 2，(1 1kk！ ) (1 2k 1k 1！ )即证明 1 1 2，1kk！ 4k 1k 1！ ( 2k 1k 1！ )即证明 20，1kk！ 4k 1k 1！ ( 2k 1k 1！ )即证明 20，显然成立 9 分k 12kk 1k 1！ ( 2k 1k 1！ )nk1 时，结论也成立综合可知：当 n3 时，a nb n 成立综上可得：当 n1 时，a 1b 1；当 n2 时，a 2b 2，当 n3，nN *时，a nb n. 10 分欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.orgg
