1、连州中学2013届高三8月月考数学理试题说明：考试时间120分钟，满分150分，暂不许带计算器。一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。）1.集合 1,2, 2,4, 1,2,3,4A B U ，则 )( BACU =( )A2 B3 C1,2,3 D1,42.i为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i)(2+i)的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线1 2,l l与同一平面所成的角相等，则1 2,l l互相平
2、行若直线1 2,l l是异面直线，则与1 2,l l都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.44.已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么，| 3 |a b等于（ ）A. 7 B. 10 C. 13 D.45.给出计算201614121 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A 10i B 10i C 20i D 20i6.若变量x,y满足约束条件102 0yx yx y ，则 2z x y 的 最大值为（ ）A.4 B.3 C.2 D.17设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且| | | |PA PB 。若直线PA的方
3、程为1 0x y ，则直线PB的方程是（ ）A. 2 7 0x y B. 5 0x y C. 2 4 0y x D. 2 1 0x y 8.如图，在AOB的两边上分别有A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4、B5共9个点，连结线段AiBj（1i4,1j5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”。A60B62C72D.124二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中1415题是选做题，考生只能选做一题。若两题都做，则只取第一题的得分。）9. 函数24 lg( 1)y x x 的定义域是 .10记数列 na的前n项和为nS ，且 )1
4、(2 nnaS ，则 2a _.11. 若5)1( ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a的值是 .12. 若关于x的不等式 kxx 12 的解集不是空集，则实数k的取值范围是 _.（用区间表示）13.已知 ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c且42,cos5a B ， 3b ，则sin A 。14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos 的圆心到直线cos 2 的距离是_;15.（几何证明选讲选做题）如图，割线PBC经过圆心O， 1PB OB ，OP绕点O逆时针旋120到OD，连PD交圆O于点E，则PE .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分
5、。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)16.（本题满分12分）已知函数( ) tan 34f x x （1）求9f 的值；（2）设3,2 ，若23 4f ，求cos的值17.（本小题满分12分）已知集合2 | 7 6 0, A x x x x N ，集合 | 3| 3,B x x x N，集合( , )| , M x y x A y B （1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；（2）从集合M中任取一个元素，求10x y 的概率；（3）设为随机变量，x y ，写出 的分布列，并求E.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC中，3, 4, 5AC BC A
6、B ，14AA ，点D是AB的中点.（1）求证：1AC BC ；（2）求证：1AC平面1CDB;（3）求异面直线1AC与1BC所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）已知一动圆P（圆心为P）经过定点 ( 2,0)Q ，并且与定圆C：2 2( 2) 16x y （圆心为C）相切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l经过圆 02222 yxyx 的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k，使得 2CA CB CM ？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由20（本小题满分14分）已知函数2( ) lnf x a x bx 图象上一点(2, (2)P f处的切线
7、方程为y= -3x+2ln2+2（1）求a,b的值；（2）若方程( ) 0f x m 在1 , ee内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；21.（本小题满分14分）已知函数2 3( )3xf xx，数列 na满足11a ，*11( ),nna f n Na .（1）求数列 na的通项公式；（2）令1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n n nT a a a a a a a a a a a a ，求nT；（3）令11( 2)nn nb na a ，13b ，1 2n nS b b b ，若20022nmS对一切*n N成立，求最小正整数m.连州中学
8、2013届高三数学8月月考数学（理科）参考答案及评分标准一 选择题：二填空题： (9)( 1,2 ; (10) 4 ; (11) 2 ; (12) )3,( ;(13)25; (14) 1 ; (15)3 77三解答题：（2）解：因为3tan3 4 4 4f 6分 tan 7分tan 2 8分所以sin2cos ，即sin 2cos . 9分因为2 2sin cos 1 ， 10分由、解得21cos5 11分因为3,2 ，所以5cos5 12分18.（满分14分）解法一：（）直三棱柱1 1 1ABC ABC ，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC BC ，又1 1 1ABC ABC 是
9、直三棱柱，所以，1CC AC 2分AC 面1 1BCC B，1BC 面1BC1AC BC ；.4分（）设1CB 与1C B和交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是1BC 的中点，C1B1z1/ ACDE .7分 DE 平面1CDB，1AC 平面1CDB， /1AC 平面1CDB；9分（）1/ ACDE ， CED 为1AC与1BC所成的角11分，在 CED 中，11 52 2ED AC ，1 52 2CD AB ，112 22CE CB ，2 2 28 2 2cos52 52 2 22CE ED CDCEDEC ED 异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为2 2514分解法二： 直三棱柱1
10、1 1ABC ABC ，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC BC ，且1BC 在平面ABC内的射影为BC，1AC BC ；.3分AC，BC，1CC两两垂直。4分如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，1CC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)C ， (3,0,0)A ，1(0,0,4)C ， (0,4,0)B ，1(0,4,4)B ，)0,2,25(D6分（2）解：假设存在常数k，使得 2CA CB CM ，即AM MB ，所以M为AB的中点.圆方程可化为 2)1()1(22 yx ，所以圆心M为（1，1）. 6分因为直线l经过点M，所以直线l的方程为 )1(
11、1 xky .7分由124)1(122yxxky，消去y得 0)242()44()21(2222 kkxkkxk .9分因为点M（1，1）在椭圆2 214 2x y 的内部，所以恒有 0 .10分设 ),(),(2211yxByxA ，则21 2 24 41 2k kx xk .-11分因为M为AB的中点，所以1 212x x ，即222 211 2k kk，解得21k .13分所以存在常数21k ，使得 2CA CB CM .14分（2）2( ) 2lnf x x x ，8分令2( ) ( ) 2lnh x f x m x x m ，则2/2 2(1 )( ) 2xh x xx x ，令/( ) 0h x ，得 1x （ 1x 舍去）9分当 1, x e 时，/( ) 0h x ， ( )h x 是减函数11分则方程 ( ) 0h x 在1 , ee内有两个不等实根的充要条件是:1( ) 0(1) 0( ) 0hehh e13分解不等式组得m取值范围是211 2me 14分21（满分14分）解：（1）12 31 2( )3 3nn nnaa f aa 2分 na 是以23为公差，首项11a 的等差数列3分2 13 3na n 4分
