1、湖南省衡阳市五校 2015 届 2015 届高三 11 月第二次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1复数 （ ）2iA B C Di1i1i1i【答案】A【解析】试题分析： 21iii考点：复数的除法2已知 是非空集合，命题甲： ，命题乙： ，那么（ ）,ABABABA甲是乙的充分不必要条件 B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若 ，则 ，反之 ，则 ，故甲是乙的必要不充ABAB分条件考点：充要条件的判断3已知 ,则 （ ）3cos(),(2)5xsinxA B C D543545【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，又
2、因为 ，3cos()cos5x3cos5x(,2)x4sin5x考点：诱导公式，同角三角函数关系4等差数列 中，已知 ， ， ，则 为（ ）na35a25129naA13 B14 C15 D16【答案】C【解析】试题分析：等差数列 中， ，已知 ，所以 ，故na253412a35a47a， ，解得 43752da47289nadn15n考点：等差数列的性质5在ABC 中， 是 边所在直线上任意一点，若 ，则 （ MABCBAM）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：因为 三点共线，由共线向量的充要条件可知， ，所,A21以 3考点：共线向量的充要条件6已知函数 是定义在 R 上的增
3、函数，则函数 的图象可能是（ )(xf |)(|xfy）【答案】B【解析】试题分析：由函数 是定义在 R 上的增函数，故函数 的图像在 上是增函)(xf ()fx0,数，在 上是减函数， 是函数 的图像向右平移 个单位，由此可得,0(|1|)f()f1函数 的图象在 上是增函数，在 上是减函数，观察图像可1|)(|xfy,选 B考点：函数图像7在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30、60,则塔高为（ ）A m B m C m D m 340320340320【答案】A【解析】试题分析：如图所示：设山高为 ，塔高为 为 ，且 为矩形，由题意得 ，AxABEC， ， ，2
4、03tan3DExB320BEx20tan63CEB，所以 ，解得 （米），故选 Ax4考点：解三角形8已知 是定义在 R 上的函数 的导函数，且 ()fx()fx5(),()02fxxf若 ，则下列结论中正确的是 （ ）12,5A B ()fxf 12()0fxfC D120【答案】D【解析】试题分析：因为函数 满足 ，则函数 的图像关于 对称，又()fx()5)fx()fx52x因为 ，所以当 ， ，故函数 在 上是增函数，5()02xf2(0ff,在 上是减函数，在 处取得最小值，又因为 ，故,5x12,5xx，所以 125x12()ff考点：函数的单调性，对称性9设2(),0)1xaf
5、,若 ()f是 fx的最小值,则 a的取值范围为（ ）A-1,2 B-1,0 C1,2 D0,2【答案】D【解析】试题分析：由于当 时， 在 时取得最小值 ，由题意当0x1()fxax2a时， 应该是递减的，则 ，此时最小值为 ，因此0x2()fa0(0)f，解得 ，选 D2a考点：分段函数的单调性与最值问题10在ABC 中，已知 ，P 为线段 AB 上的9,sincosin,6ABCABCBS点，且 的最大值为（ ）,|CPxyxy则A3 B4 C5 D6【答案】A【解析】试题分析：在 中，设 ， ，,ABcaCbsincosinBAC，即 ，sincosinA sicoA， ， ，0C0o
6、0即 ， ， ， ，29B6ABCScs9b1sin62bcA4tan3根据直角三角形可得 ， ， ， ，以4sin53os15,34c所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴建立直角坐标系可得ACxy， 为线段 上的一点，则存在实数 使得0,3,0,4BPAB设 ， ，则13,01P 1CAe2CBe，且 ，12e12,0,e，可得 则,|CABPxyxyx 3,4xy，即 ，解得 ，故所求的 最大值为： ，故431243213选 A考点：三角形的内角和定理，两角和的正弦公式，基本不等式求解最值二、填空题11 等于 10()xed【答案】 2【解析】试题分析： 11 20 0()xxedee考
7、点：定积分12函数 在区间 上的最小值是 3()12fx，【答案】 6【解析】试题分析：由函数 得， ，解得 ，3()fx2()130fx2x， ， ， ，故函数 在区间39f216293()1f上的最小值是 ， f考点：利用导数求最值13数列 中，已知 ，则 _na1212,()nnaaN7a【答案】1【解析】试题分析：由 ，得 ， ，得 ，12nn21nn12,321， ， ， 432a543a654a765a考点：数列的递推式14方程 有解，则 的最小值为_xx2)(log21【答案】1【解析】试题分析：若方程 有解，则 有解，即xax2)(log2121xxa有解， ，故 的最小值为
8、1142x4x考点：方程的解15下列命题中，真命题有_（写出所有真命题的序号）（ 1） 在 ABC中， “ ”是“ siniAB”的充要条件；（ 2） 点 为函数 的一个对称中心；(,0)8()tan2)4fx（ 3） 若 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 在向量 上的投影为 ；|1,|abb120ba1（ 4） 有 零 点函 数 axxfln)(02【答案】 （1） （2） （4）【解析】试题分析：（ 1） 在 ABC中， “ ”是“ siinAB”的充要条件，由三角内角和定理可知，为真命题；（ 2） 点 为函数 的一个对称中心；(,0)8()ta2)4fx的对称中心为 ， ，故点 为函数ta
9、nyx,kZ28(,08的一个对称中心，为真命题；（ 3） 若 ，向量 与向量()t2)4f|1,|2aba的夹角为 ，则 在向量 上的投影为 ；因为 在向量 上的投影为b10ba1，为假命题；（ 4） ， 函 数 有 零cos202lnfxx点 ，因为 ， 它 的 最 小 值 为 ，所以对 ， 函 数21lnfxa 14a0a与 轴 必 有 交 点 ， 即 函 数 有 零 点 ， 故 为 真2lfx2lnfxx命题考点：命题真假判断三、解答题16 （本题满分 12 分）已知函数 （ ） ，1(2)()35()2xfxxR（1）求函数 的最小值；()fx（2）已知 ， ：关于 的不等式 对任意
10、 恒成立；mRpx2()fxmxR：函数 是增函数若“ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求实数 的取值范q2(1)xypqpqm围【答案】 （1） （2）实数 的取值范围是 min()=1fx (-,3)-2,1(,+)【解析】试题分析：（1）求函数 的最小值，这是分段函数的最值问题，分段函数的最小值可()f以分段求最小值，然后比较谁最小即可，也可采用数形结合，即作出函数的图象，由函数图像观察出最小值；（2）若“ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求实数 的取值范围这pqpqm是两个命题有且只有一个为真问题，做这类问题，可分两种情况处理， 真， 假，与pq假， 真，分别求出实数 的取值范围，然后取并
11、集即可也可两个命题都为真时，pqm分别求出范围，求两个集合的并集与交集，并集中出去交集部分，剩下即为所求试题解析：（1） ， 作出图像可知， （41(2)()35()2xfx min()=f-21fx分）（2） 2 2:+-13,:-1212故实数 的取值范围是 （12 分）(-,)-,(2,+)考点：逻辑连接词17 （本题满分 12 分）设 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,cba且1cos2aCb（1）求角 的大小;（2）若 ,求 的周长的取值范围【答案】 （1） ；（2） ABC的周长的取值范围为23(,13A【解析】试题分析：（1）求角 的大小，由已知1cos2ab，式子即含有角又含有
12、边，可用正弦定理进行边角互化，由于求角 A的大小，可把边化为角得，1sincosini2ACB，由三角形内角和定理消元，得()cossinBC，由两角和的正弦展开，整理即可求出角的大小；（2）若 a,求 A的周长的取值范围，即求 的范围，由（1）知abc，可由正弦定理 Bbsi32sin, Ccsin32 ，由三角形内角和定理得3A，利用 ，得到关于 的三角函数，从而可得 AB的周长的siniCB取值范围试题解析：（1）由1cos2aCb得1sincosini2AC又 sini()iniBA 1cos,s0,cos2 2又 0A23（2）由正弦定理得 BAabsinsi, Ccsin32 ，
13、21in1i3lacCAB2(sicos)sin()23BB,(0,)(,)33A, 3i()(,12故 BC的周长的取值范围为2(,1考点：三角恒等变形，正弦定理18 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且有nanS112,353(2)nnaSaS（1）求数列 的通项公式；（2）若 求数列 的前 n 项和,)12(nnabb.T【答案】 （1） ；（2） 212(3)nnT【解析】试题分析：（1）求数列 的通项公式，由已知 ，na11,53(2)nnaSaS这是已知 与 的关系，求 ，可用 解，故由 得naSn 1n，得 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的1135(2)nn1
14、2nana22等比数列，从而可得通项公式；（2）若 求数列 的前 n 项和 ，首先,)(bbT求出数列 的通项公式， ，这是一个等差数列与一个等比数列对应项nbnn2)(积所组成的数列，由此利用错位相减法能求出试题解析：（） 2 分1135()nnSa3 分2,21nna又 ，1是以 为首项，公比为 的等比数列， 4 分na225 分nnnn 1)(（） nnb27 分nT2101 )(538 分nnn 1210 )(3229 分nnnT1210 )()(1 nn11)(2)11 分n)3(612 分nnT2)3(12考点：等比数列，数列求和19 （本小题满分 13 分）直三棱柱 1ABC中,
15、 5,4,3,ABC14A,点D在 AB上（）若 是 中点,求证 1/平面 1D;（）当 13时,求二面角 1B的余弦值ACDBC1 A1B1【答案】 （1）详见解析；（2）二面角 1BCD的余弦值为 361【解析】试题分析：（1）若 D是 A中点,求证 1/平面 1；证明线面平行，只需证明线线平行，而证明线线平行可利用三角形的中位线平行，或平行四边形的对边平行，本题由 D是AB中点 ，可用三角形的中位线平行，故连接 1BC交 于点 E,连接 ,则 1/EAC,从而可证；（2）求二面角 1BC的余弦值，可用向量法，注意到 三条直B线两两垂直，故以 为坐标原点，射线 分别为 的正半轴建立空间直角
16、1,A,xyz坐标系 ，写出各点的坐标，分别求出平面 与平面 的法向量，即可求出CxyzBCD1二面角 1BD的余弦值试题解析：（）连接 1BC交 于点 E,连接 ,因为直三棱柱中侧面 1为矩形,所以E为 1BC的中点,又 D是 A中点,于是 1/,且 E面 1BC , AC1平面 B1CD所以 1A平面 1; （6 分）ACDBC1 A1B1E（）由 5,4,3,BC知 90A,即 CB,又直三棱柱中 1A面 ,于是以 为原点建立空间直角坐标系 xyz如右图所示,于是 1(3,0)(,4),又 3BD,由平面几何易知 42,D,显然平面 C的一个法向量为 1(0,)n,又设平面 1的一个法向
17、量为 2,xyz,则由21(3,04)BCDn,得40,3xy,解得 ,23xy,取 1z,则 2(,1)n,设二面角 1BCD的平面角为 ,则 12|36|cosn,又由图知 为锐角,所以其余弦值为 6 （13 分）yxzACDBC1 A1B1考点：线面平行的判定，二面角20 （本小题 13 分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 （万元）与处理量 （吨）之间的函数yx关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化321640,1,3550xyx工产品（）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，
18、求出最大利润；如果不30,x能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】 （1）国家至少需要补贴 700 万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为 吨时，40每吨的平均处理成本最少【解析】试题分析：（1）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品，及处理成本 （万元）与处理量 （吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得yx结论；（2）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论试题解析：（）当 时，设该工厂获利为 ，则30,5S，所以当 时， ，因此，
19、22041670Sxx30,5x0S该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴 700 万元，该工厂才不会亏损； 5 分（）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为6 分2,10,35,64,5xyPx（1）当 时， ，所以 ，0,3x2164Pxx3 2280455xPx因为 ，所以当 时， ， 为减函数；当0,0时， ， 为增函数，所以当 时， 取得极小值2,xxx2xx 9 分06485P（2）当 时， ，当且仅当3,x160160424Pxx，即 时， 取最小值 ， 12 分1604,5P因为 ，所以当处理量为 吨时，每吨的平均处理成本最少 13 分48040考点：应用题，基本不等式21 （
20、本小题满分 13 分）设函数 有两个极值点 ,且 )1ln()(2xaxf 21x21（1）求实数 的取值范围；a（2）讨论函数 的单调性；)(xf（3）若对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围1mxf)(【答案】 （1） ；（2） 在区间 ， 上单调递增，在区间0a)(f),1(),(2x上单调递减；（3）实数 的取值范围为 ),(21xm4ln【解析】试题分析：（1）求实数 的取值范围，先确定函数的定义域为 ，然后求导数a 1x，令 ，由题意知 是方程 的两个2()1xfaxxg2)( 21,()0g均大于 的不相等的实根，建立不等关系解之即可；（2）讨论函数 的单调性，在函 xf数的
21、定义域内解不等式 和 ，求出单调区间；（3）若对任意的0)(xf)(xf,都有 成立,求实数 的取值范围， 是方程 的根，将)(1xm2x()0g用 表示，消去 得到关于 的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求a2a2x的取值范围m试题解析：（1）由 可得)1ln()(2xaxf 122)( xaaxf)(x令 ,则其对称轴为 ,故由题意可知 是方程axg2)()1(2x21,x的两个均大于 的不相等的实数根,其充要条件为 ,0x 0)(84ag解得 4 分21a（2）由（1）可知 ,其中 ,故1)(21)( 22xxaf 21x当 时, ,即 在区间 上单调递增；)1(x0)(f)(xf),1(x当 时, ,即 在区间 上单调递减；22当 时, ,即 在区间 上单调递增 8 分)(x)(xf)(xf),(（3）由（2）可知 在区间 上的最小值为 12xf又由于 ,因此 又由0)(ag02x 0)(22ag可得 ,从而 )22x )1ln()(1ln)( 22xxxaf设 ,其中 ,)1ln()(2xh 0则 )1ln(2() xxx由 知 , ,故 ,故 在 上单调递增02110)ln()(h)()0,2所以, 42l)(22hxf所以,实数 的取值范围为 13 分mln1考点：函数极值，函数单调性，恒成立问题
