1、2018 届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）理科数学试题（解析版）学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 的实部与虚部之和为 1，则实数的值为( )A. 2 B. 1 C. 4 D. 3【答案】A【解析】 由题意可得， ，因为实部与虚部之和为 ，实数的值为 ，故选 A.2. 下列说法错误的是( )A. “若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”B. “ ”是“ ”的充分不必呀条件C. “ ”的否定是“ ”D. 命题：“在锐角 中， ”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题
2、的定义可知选项 正确；由 得 或 “ ”是“”的充分不必要条件，故 正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以 正确；锐角中， ， ， 错误，故选 D.3. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示） ，问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设水深为 尺，根据勾股定理可得 ，解得 ，可得水深 尺，芦苇长 尺，根据几何概型概率公式可得
3、，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为 ，故选 B.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥 ，如图所示，由三视图可知： ，平面 平面 平面 ，则三棱锥 的体积为，故选 A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直
4、观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5. 已知双曲线的两个焦点为 是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3 B. C. D. 1【答案】D【解析】 ， ， ，又 ，其渐近线方程为 焦点到它的一条渐近线的距离为 ，故选 D.6. 已知函数 ，把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把所得到的曲线向左平移 各单位长度，得到函数 的图象，则函数 的对称中心是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， 图象的横坐标伸长到原来的 倍，可得的图象，可得 的图象向
5、左平移 各单位长度， 的图象，函数 的对称中心为 ，故选 C.7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人的值分別为 4,5,则输出 的值为( )A. 211 B. 100 C. 1048 D. 1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入 ，则 ，进入循环，得 ；，故进入循环，得 ； ，故进入循环，得 ， ，故进入循环，得 ，此时，不满足 ，故结束循环，输出 ，故选 D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时
6、一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在 中， ，点 是 的重心，则 的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 的中点为 ，因为点 是 的重心，所以 ，再令，则 ， ， ，当且仅当 时取等号，故选 B.9. 已知函数 的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. B. C.
7、 D. 【答案】B【解析】由图象可知， 且 ， ，可知 的两根为 ，由韦达定理得， 异号， 同号，又 ， 异号，只有选项 符合题意，故选B.10. 在 中，已知 为 的面积)，若 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ，又 ， ， ，故选 C.11. 当 为正整数时，定义函数 表示 的最大奇因数.如，则 ( )A. 342 B. 345 C. 341 D. 346【答案】A【解析】 ，而 ，又 ，故选 A.12. 已知为自然对数的底数，设函数 存在极大值点 ，且对于的任意可能取值，恒有极大值 ,则下列结论中正确的是( )A. 存在 ,使得 B. 存在 ，使
8、得C. 的最大值为 D. 的最大值为【答案】C【解析】依题， ， ，当 时， ， 递增， 不可能有极大值点（若有极值也是极小值） ， ，此时 有解，即 有两个不等的正根，得： ，由 ， ， ，分析得 的极大值点为 ， 在 递增， 在 递减，当 取得极大值 ，又 ，即 ，令 ，原命题转化为 恒成立， ， 在 上递增， ，所以 的最大值为 ， 对、错，又 ，即不存在极大值点 ，排除 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在 的根
9、左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 _【答案】【解析】由 ，由函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，得：，联立方程消元即得： ，故答案为 .14. 设 ，在约束条件 下，目标函数 的最小值为-5，则 的值为_【答案】 【解析】画出不等式组 表示的可行域，如图所示，由 ，可得 ，由 ，得 在 轴上的截距越大，就越小，平移直线 ，由图知，当直线 过点 时，取得最小值， 的最
10、小值为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，且直线与圆交于 两点，若 ,则直线的斜率为_【答案】【解析】由题意得， ，由 ，配方为 ，可得 ，所以直线过圆心 ，可设直线的方程为 ，联立 ，化为， ， ，由，可得 ，故答案为 .学￥科￥网.
11、学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.16. 在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若 ，则四棱锥 的体积取值范围为_【答案】【解析】由题意可得， ，又 平面 ， 平面 平面 ， 平面平面 平面 ，又平面 平面 过 作 于 ，则 平面 ，故，在 中， ，设 ，则有 中，又在 中， ，在 中，又 ，则， ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列 中， , 为等比数列 的前 项和，且 ,若 成等差数列.(1)求数列 ， 的通项公式
12、；(2)设 ,求数列 的前 项和 .【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）在等差数中，设公差为 ,由 ,从而可得 ；设等比数列 的公比为 ， 由从而可得 的通项公式；（2）结合（1）可得 .当 ，当 时，利用“错位相减法” ，结合等比数列的求和公式即可求得数列 的前 项和 .试题解析：（1）在等差数中，设公差为 , ,.设等比数列 的公比为 ，依题有：.(2) .当 .当 时， ,-.18. 如图， 平面 平面 , 是等边三角形， 是 的中点.(1)证明： ；(2)若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的正弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析
13、：（1）由 是等边三角形， 是 的中点，可得 ,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直，再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且与直线 平的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据直线 与平面 所成的角的余弦值为 .可得 ，不妨设 ,利用向量垂直数量积为零，分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角 的余弦值，进而可得正弦值.试题解析：（1）因为 是等边三角形， 是 的中点，所以 ,因为 平面平面 ，所以 ，因为 ,所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .(2)解法 1: 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且与直线 平的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角.由题意得 , ,即 ，从而 .不妨设 ,又 ,则 .故 .于是 ,设平面 与平面 的法向量分别为 ,由 令 ,得由 令 ,得 .
