1、2018 届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）文科数学试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足 ,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D所以在复平面内对应的点在第四象限,故选 D.2. 已知集合 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得所以 = ，故选 B.3. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 ，则 或 ”，则其否命题是“若 ，则 且 ” B. 是函数 在定义域上单调递增的充分不必
2、要条件C. “ ”是真命题 D. 若命题 ,则【答案】A【解析】 “若 p 则 q”的否命题是“若 则 ”，所以 A 错。 在定义上并不是单调递增函数，所以 B 错。不存在 ，C 错。全称性命题的否定是特称性命题，D 对，选 D.4. 已知样本 的平均数为 ；样本 的平均数为 ,若样本的平均数 ；其中 ,则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得故选 C.5. 1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数。如果它是奇数，对它乘 3 再加1，如果它是偶救。对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到 1.虽然该猜想看上去很简单，但有的教学家认为“该猜
3、思任何程度的解决都是现化数学的一大进步” 。如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则处应填写的条件及输出的结果分别为( )A.是偶数?；6 B.是偶数?；8 C.是奇数?；5 D.是奇数？；7【答案】D【解析】阅读考拉兹提出的猜想，结合流程图可得：循环次数 a 的值 i 的值1 10 12 5 23 16 34 8 45 4 56 2 67 1 7所以处应填写的条件为：是奇数？.输出的结果 i 应该为 7，故选 D.6. 已知函数 则下列结论错误的是( )A. 不是周期函数 B. 在 上是增函数C. 的值域为 D. 的图象上存在不同的两点关于原点对称【答案】D【解析】函数的图像如下图所示：由
4、图可知，选项 A、B、C 正确，对于 D 选项，当 时，xsinx,当 时，-1sinx1，而 x1,所以 xsinx,当 x0 时，y=sinx 与 y=x 无交点.故 f(x)的图像上不存在不同的两点关于原点对称，所以选项 D 错误.故选 D.7. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为( )A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】由三视图可知原几何体是图中的三棱锥 P-ABC，其中 C 为棱的中点. 从图中可以看出棱 AC 最短，因为 AC=1，所以最短的棱长为 1，故选 C.8. 设不等式组 表示的平面区域为 ，若直线 上存在 内的点，则实数 的取
5、值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式组 表示的可行域图，如图，因为函数 的图象是过点 ，且斜率为的直线，由图知，当直线过点 时， 取最大值 ，当直线过点 时， 取最小值，故实数 的取值范围是 ,故选 C.9. 已知正四棱锥 的各条棱长均为 2，则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点 P 在底面 ABCD 的投影点为 ,则 平面 ABCD,故而底面 ABCD 所在截面圆的半径 ,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R= ,故外接球的表面积为 故选 C.点睛：解答与几何体的外接球有关的问题，一般有两种方法，一是模型法，即把几何体放到长
6、方体中研究求出外接球的半径.一是解半半圆心距三角形，第一个“半”指的是球的半径，第二个“半”指的是截面圆的半径，圆心距指的是球心和圆心的距离. 本题利用的是第二种方法. 在半半圆心距三角形中求出外接球的半径.10. 在等差数列 中， ,若它的前 项和 有最大值，则当 时， 的最大值为( )A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】B【解析】数列 为等差数列，若 ，则可得， ，则当 时， 的最大值为故选11. 设双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ,弦 的过 且垂直于 轴，过点 分别作直线 的垂线，两垂线交于点 ，若 到直线 的距离小于 ，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C
7、. D. 【答案】B【解析】由题得，点 B 在 x 轴上，直线 BQ 的方程为 令 y=0,可得因为点 B 到直线 PQ 的距离小于 2(a+c),故选 B.点睛：圆锥曲线里求离心率的取值范围，一般是找到关于离心率的不等式，再解不等式.本题就是根据 到直线 的距离小于 得到 ，再解这个不等式得到离心率的范围的 .12. 已知 这 3 各函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数 的图象的一条对称轴方程可以为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ，又由函数图象可知，三函数的最大值均为 2，可得：a=1， , ，由图象可知,f(x )的周期为 ，=2.那么函数令 .可得对称轴
8、方程为 ，当 k=2时,可得 .故选 C.点睛：函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间; 由 求减区间.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如图，在正方形 中， ，点 为 的中点，点 为 的中点，则 的值是_【答案】0【解析】由题得 所以=0,故填 0.14. 在 中，内角 所对的边分别是 ,若 ,则 的大小为_【答案】【解析】因为 ，所以由正弦定理得故填 .15. 函数 的图象与二次函数 的图象恰有两个不同的交点，则实数的值是_【答案】【解析】当 x0时，函数 的图像与二次函数 的图象恰有一个交点，设当 x0
9、 时， 的图像与 相切于点 ，因为故填 .点睛:解答与曲线切线有关的问题 ,如果不知道切点，一般都要设切点,再求切线的方程. 再利用其它条件转化求解.本题就是按照这种技巧解答的.16. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ,圆 ,在圆 内存在一定点 ，过 的直线被圆 ，圆 截得的弦分别为 ，且 ,则定点 的坐标为_【答案】【解析】 总成立，且知， 过两圆的圆心直线截两圆弦长比是 点 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为 ，可设 ，设直线的方程为 ，因为 ，所以 ，解得或 （此时点 在圆 外，舍去），故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
10、17. 已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ,且对任意的 ,满足 .(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,求证： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用项和公式 求数列 的通项公式. (2)第(2)问，先求出 ，再利用错位相减法求数列 的前 项和 = ，最后证明 .试题解析：（1）当 时， ， ， . ，当 时， ，两式相减得 ， 因 ， ，故 ，数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列， . （2） ， ， ，两式相减得 :所以 .18. 赢在博物馆是中央电视台于 2018 春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知
11、识节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各 5 个城市，得到观看该节目的人数(单位:千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.(1)若将被污损的数字视为 0-9 中 10 个数字的随机一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率.(2)该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情，现在随机统计了 4 位观众每周学习中国历史知识的平均时间 (单位:小时 )与年龄 (单位:岁)，并制作了对照表 (如下表所示):年龄 20 30 40 50每周学习中国历史知识平均时间 2.5 3 4 4.5由表中数据分析， 呈线性相关关系，试求线性同归方程 ,并预测年龄为 60 岁观众每周
12、学习中国历史知识的平均时间.参考公式： .【答案】 （1） （2） ，5.25【解析】试题分析：（1）第（1）问，设被污损的数字为，再求出 a 的范围 a8，最后利用古典概型概率公式求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率.(2)第(2)问，先利用最小二乘法公式计算出各个基本量，再代入公式即可求出回归方程 .试题解析：（1）设被污损的数字为，则的可能取值有 10 种情况令 ，则 ,北方各城市观看该节目观众平均人数超过南方各城市观看该节目观众平均人数，有 8 种情况，所以北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率为 ；（2）由题意可知 ， .所以 所以 . 当 时， 时 预测 60 岁观众的学习中国历史的时间为 5.25 小时.19. 如图,四楼锥 中 ,平面 平面 ,底面 为梯形. ，且与 均为正三角形 . 为 的中点 为 重心, 与 相交于点 .(1)求证: 平面 ；(2)求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，连 交 于 ,连接 .证明 / ，即证 平面 . (2)第(2)问，主要是利用体积变换， ,求得三棱锥 的体积.试题解析：（1）方法一：连 交 于 ,连接 .由梯形 ， 且 ，知 又 为 的中点， 为 的重心，在 中， ,故 / .又 平面 , 平面 , 平面 .
