1、广东省清远市 2015 届高三上学期期末考试数学（理）试题第一卷（选择题 40 分）一、选择题（40 分）1、图中阴影部分表示的集合是（ ）A、 B、 C、 D、UC（ ） UA（ ） UB（ ） UCAB（ ）2、已知 a，b R，i 是虚数单位，若 abi 与 2i 互为共轭复数，则（abi） 2（ ）A、54i B、 54i C、34i D、34i 3、已知 ，且 ，则 a（ ）(,2)(1,)mn/mnA、1 B、2 或1 C、2 D、24、阅读如图的程序框图，若输入 m2 ，n3，则输出 a（ ）A、6 B、4 C 、3 D、25、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A、y x
2、1 B、yx 2 C、y D 、yxx1x6、设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且bm ，则“ab”是“ ”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C 、充要条件 D、既不充分也不必要条件7、已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 的最小值为 3，则实数 b（ 20xyb2zxy）A、 B 、 C、1 D、9432348、设定义在（0， ）上的函数 ，则当实21.01(),()3,xfxgxfa数 a 满足 时，函数 yg（x ）的零点个数为（ ）52A、1 B、2 C 、3 D、4第二卷（非选择题，共 110 分）2、填空题（本大题共 6 小题，
3、每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(913 题)9、图中阴影部分的面积等于10、在边长为 2 的正方形 ABCD 的内部任取一点 P，使得点 P 到正方形 ABCD 各顶点的距离都大于 1 的概率是11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为 3，下底为 9，高为 4 的等腰梯形，则该几何体的全面积为12、已知圆 C： ，直线：L：xy a0（a0） ，圆心到直线 L 的距240xy离等于 ，则 a 的值为13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当 时，该椭圆被称为“黄金FBA椭圆” ，其离心率为 ，类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄
4、金双曲线的离心率 e 等于512（二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (几何证明选讲选做题 ) 如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则ACB15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2， ）与曲线 上的点6()3R的最短距离为三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16(本小题满分 12 分)已知函数 1()3sincos2().fxxR（1 ）求函数 的最小值和最小正周期；(fx（2 ）设 的内角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c，且 ,
5、，判 30B,()1cfC断ABC 的形状，并求三角形 ABC 的面积. 17. （本题满分 12 分）为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对高三年级的 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：（1）估计该校学生身高在 170185 cm 之间的概率；（2）从样本中身高在 180190 cm 之间的男生中任选 2 人,其中从身高在 185190 cm 之间选取的人数记为，求的分布列和期望。18 .（本题满分 14 分）在等腰直角BCP 中，BC=PC=4,BCP=90,A 是边 BP 的中点，现沿CA 把ACP 折起，使 PB=4，如图 1 所示。（1）在三棱锥 P
6、-ABC 中，求证：平面 PAC平面 ABC;（2）在图 1 中,过 A 作 BC 的平行线 AE,AE=2,过 E 作 AC 的平行线与过 C 作 BA 的平行线交于 D,连接 PE、PD 得到图 2， 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小.19.（本题满分 14 分）已知双曲线 的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为 ，过双曲32线 的上支上一点 P作双曲线 的切线交两条渐近线分别于点 ,AB（A、B 在 轴的上方） x.（1）求双曲线 的标准方程；（2）探究 OAB是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.20. (本小题满分 14 分）设数列 na的前 项和为 nS，且
7、满足 , 1,23n 21a1nS（1 ）求 ； （2 ）数列 n的通项公式； 2（3 ）设 ,求证： nnSb1221nbb21.（本题满分 14 分）设函数 .()l(1),ln(1)xfagxbx(1)若函数 在 处有极值，求函数 的最大值；()fx0f（2）若 是正实数，求使得关于 的不等式 在 上恒成立的 取值范围；bx()0x,证明：不等式. *(21ln12Nkn清远市 2015 届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B A D B A C第二卷（非选择题，共 110 分）3、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30
8、 分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(913 题)9 .1 10. 11. 210 12. .3 13. 45 12（二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (几何证明选讲选做题) 30 15.(极坐标与参数方程选做题) 1三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16解：(1) 1 分xxf 2cos1sin3)( x2cos1sin3= 2 分i263 分 -1 4 分1sn()1xRx()fx的 最 小 值 是，故其最小正周期是 5 分2T(2) 7 分)(Cf)62si(又0
9、0，不得分这 1 分）7 分由 32得 03222bkx8 分)(4)(,0kbk解得 9 分2设 0),(),( 2121yyxBA， 则、双曲线渐近线方程： 与 联立，10 分3bkx得 ， 11 分)322bkxk（ 0)3(4)(,322bk，12 分 =3 13 分1-21bx |121xy OAB= =2 14 分2yx（没有 导致情况多种的扣 2 分）021y、20. 证明：（1） 2 分1nnSa 6211aSa（2 ） n当 时， （没有 n2 扣 1 分）21n-得, 5 分)(31an , 7 分（没有验证 n=1 成立扣 1 分）21a6)(*1Nn是首项为 2，公比为
10、 的等比数列， 8 分n 132nna(3) 10 分1nnSa12nS（或者由公式计算得，公式对的 1 分，化简对得 1 分）12 分13)3()3(211 nnnnnnnSab(说明：也可以 )111 nnnn SSab )13(3()3(2221 nnnb 14 分3n21.解 ： （1 ）由已知得： ， 1 分21()afxx又函数 在 处有极值 ，即 2 分 ()f02(0)0af1 3 分()ln(1),xf221()xfx,当 时， ， 单调递增；,00fxf当 时， ， 单调递减；4 分（或者列表）x()()函数 的最大值为 5 分()ff（2 ） 由已知得： 6 分1()gx
11、b(i)若 ，则 时， 1b0,()0x 在 上为减函数，()ln)gxbx, 在 上恒成立； 7 分()g,(ii)若 ，则 时，0b,x10xb 在 上为增函数， ()ln1)gb0 ，不能使 在 上恒成立；8 分()xxg()gx,(iii)若 ，则 时， ， 当 时，01b10b 1b10,xb， 在 上为增函数，()0gx()ln1)gxbx10,此时 ，不能使 在 上恒成立；9 分l()0gx,综上所述， 的取值范围是 . 10 分b,1由以上得： , 11 分ln()(0)1xx取 得： 12 分xn令 ， 13 分21lkn则 ， .x 122211l 0n nx n因此 . 14 分11n)*(l12Nk
