1、2019 届山东省济南外国语学校高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题一、单选题1若复数 z 满足 ，则 的虚部为（ ）A B C1 D【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，结合虚部概念得答案【详解】由（1+i）z4+2i，得 z ，z 的虚部为 1故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2已知集合 ( )A BC D【答案】C【解析】先分别求出集合 A 和 B，利用交集定义能求出 AB【详解】集合 ，A x| ，Bx|x1 或 x2 ，ABx| 故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
2、思想，是基础题3已知 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）A B C1 D【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值【详解】由已知得到可行域如图：目标函数 的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中 OP 的距离即为所求，d ，所以目标函数 的最小值为： ；故选：B【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4若函数 在 R 上为减函数，则函数 的图象可以是( )A BC
3、 D【答案】D【解析】利用指数函数的性质求出 a 的范围，利用对数函数的定义域，结合图象变换判断函数的图象即可【详解】由函数 f（x）a xax（a0 且 a1）在 R 上为减函数，故 0a1函数 ylog a（|x|1）是偶函数，定义域为 x1 或 x1，函数 ylog a（|x|1）的图象，x1 时是把函数 ylog ax 的图象向右平移 1 个单位得到的，故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题5已知等差数列 的公差为 成等比数列，则 的前 n 项和 ( )A B C D【答案】A【解析】由等差数列a n的公差为 成等比数
4、列，列出方程求出 a1 1，由此能求出a n的前 n 项和 Sn【详解】等差数列a n的公差为 2，a2，a3，a6 成等比数列，（a1+4）2（a 1+2）（a1+10），解得 a11，an的前 n 项和 Sn n+n2nn 22nn（n2）故选：A【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6对于实数 ，定义一种新运算“ ”： ，其运算原理如下面的程序框图所示，则 ( )A 26 B 32 C40 D46【答案】C【解析】模拟程序的运行，打开程序框图的功能是求 y 的值，由此计算式子 53+24 的值，可
5、得答案【详解】由程序框图知：算法的功能是求 y 的值，式子 53+245 2+3+4（2+1）40故选：C【点睛】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题7若函数 为奇函数，则 ( )A B C D0【答案】B【解析】运用奇函数的定义，可得 g（3） f（3） ，再计算 f（g（3） ）即可【详解】函数 为奇函数，f（g（3） f（log332）f（1）log 3120 22故选：B【点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，同时考查函数的奇偶性，以及运算能力，属于基础题8如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积
6、为( )A 20 B24 C28 D32【答案】C【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为 1，高为 2，圆锥底面半径均为 3，高均为 4，则组合体的表面积可求【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为 1，高为 2，圆锥底面半径均为 3，高均为 4，则其表面积：S3 2+35+21228故选：C【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9已知函数 的最小正周期为 4 ，其图象关于直线对称，给出下面四个结论：函数 在区间 上先增后减； 将函数 的
7、图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称；点 是函数 图象的一个对称中心；函数 在 上的最大值为 1其中正确的是( )A B C D【答案】C【解析】根据最小正周期为 4，其图象关于直线 对称，求解 f（x）的解析式，即可判断下面各结论【详解】函数 的最小正周期为 4，可得 其图象关于直线 对称即 ，可得： ，kZ f（x）的解析式为 f（x）2sin（ ）；对于 ：令 ，kZ可得： 0， 是单调递增，令 ，kZ可得： 4k ， 是单调递减，函数 f（x）在区间 上先增后减；对于 ：将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后得到：y 2sin（ ）2sin （ x）没有关于原点对称；对于 ：
8、令 x ，可得 f（ ）2sin （ ）0，点 是函数 f（x）图象的一个对称中心；对于 ：由 x，2上， ， ，所以当 x 时取得最大值为 .正确的是： 故选：C【点睛】本题主要考查利用 yA sin（x+）的图象特征，由函数 yAsin （x+）的部分信息求解析式，属于中档题10甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次甲说：“我不是第一名” ；乙说：“丁是第一名” ；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为( )A甲 B乙 C丙 D丁【答案】A【解析】分别假设第一名是甲、乙、丙、丁
9、，然后分析四个人的话，能够求出结果【详解】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件故选：A【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题11已知椭圆 的左右焦点分别为 为坐标原点，A 为椭圆上一点， ，连接 轴于 M 点，若 ，则该椭圆的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】设 AF1m，AF 2n如图所示，Rt AF1F2
10、RtOMF2，可得 可得 m+n 2a，m2+n24c 2，n3m化简解出即可得出【详解】设 AF1m，AF 2n如图所示，由题意可得：RtAF 1F2RtOMF2， 则 m+n 2a，m2+n24c 2，n3m化为：m 2 ，n29m 26b 2 6b24c 2 c2，化为： 故选：D【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a 2c 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程
11、(不等式) 即可得 e(e 的取值范围)12函数 在 R 上为偶函数且在 单调递减，若 时，不等式恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A BC D【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得 m 的范围【详解】函数 f（x）为偶函数，若不等式 f（2mxlnx3）2f（3）f（2mx+lnx+3）对 x1，3恒成立，等价为 f（2mxlnx3）2f（3）f（2mxlnx3）即 2f（2mxlnx3）2f（3）对 x1，3恒成立即 f（2mxlnx3）f（3）对 x1，3恒成立f（x）在0 ，+）单调递减
12、，32mxlnx33 对 x1，3恒成立，即 02mxlnx6 对 x1，3恒成立，即 2m 且 2m 对 x1，3恒成立令 g（x） ，则 g（x） ，在1，e上递增，在e，3上递减，则 g（x）的最大值为g（e） ，h（x） ，则 h（x） 0，则函数 h（x）在1，3上递减，则 h（x）的最小值为 h（3） ，则 ，得 ，即 m ，故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，函数的导数的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键二、填空题13数列 _.【答案】1【解析】根据 ，令 n2，可得 an的值，在令 n1，即可求解 【详解】由题意：足 ，
13、令 n2，可得 ，解得： 令 n1，可得 ，解得：a 11故答案为：1【点睛】本题考查了递推公式定义和计算，属于基础题14已知 O 为坐标原点，向量 _【答案】【解析】设出 P 的坐标，得到关于 x，y 的方程，解出即可【详解】设 P（x，y），则 （x+1，y2），而 （3，1）若 ，则 2（x+1）3，2（y 2）1，解得：x ，y ，故| | ，故答案为： 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题15已知抛物线 的准线为 与圆 相交所得弦长为 ，则_【答案】【解析】利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论；【详解】抛物线 yax 2（a0）的准线 l：y ，圆心
14、（3，0）到其距离为 d=.故答案为 .【点睛】本题考查抛物线的性质和圆中垂径定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题16已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱 为上底面 上的动点，给出下列四个结论：若 PD=3，则满足条件的 P 点有且只有一个；若 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧；若 PD平面 ，则 DP 长的最小值为 2；若 PD平面 ，且 ，则平面 BDP 截正四棱柱 的外接球所得图形的面积为 其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】由题意画出图形，求出 D 与上底面点的最大值判断；由 ，求得 PD1为定值判断；找出满足 PD平面 ACB1 的 P 的轨迹，求出 DP 长的最小值判断；由
15、已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断【详解】如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 2， ，又侧棱 AA11， ，则 P 与 B1 重合时 PD3，此时 P 点唯一，故正确； （1，3），DD11，则 ，即点 P 的轨迹是一段圆弧，故正确；连接 DA1，DC1，可得平面 A1DC1平面 ACB1，则当 P 为 A1C1 中点时，DP 有最小值为 ，故错误；由知，平面 BDP 即为平面 BDD1B1，平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，面积为 ，故 正确正确结论的序号是 故答案为：【点睛】本题考查空
16、间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题17 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，已知 .（I）求 B；（II ）若 的周长为 的面积.【答案】 （） () 【解析】 （）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出 B 的值；（）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【详解】（） ,，,，.,.()由余弦定理得 ，.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用18如图，直三棱柱 ，点 M 是棱 ，上不同于 的动点(I)证明： ；()若 ，判断点 M 的位置并求出此时平面 把此棱柱分成的两部分几
17、何体的体积之比【答案】 （）见证明；（）1:1.【解析】 （I）证明 BC平面 ABB1A1，即可得出 BCB1M；（II）求出棱锥 CABB1M 和棱柱的体积即可得出结论【详解】（）在 中， ,又 ,平面 ,又 面 ,.（）当 时，设 ，,则在 中， ，同理： ,据 ，整理得，故 M 为 的中点此时平面 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥 和四棱锥由（）知四棱锥 的高为 BC=2，,又 ，,故两部分几何体的体积之比为 1:1.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题19某公司共有 10 条产品生产线，不超过 5 条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为 1100 元
18、，超过 5 条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为 800 元，原生产线利润保持不变.未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共 100 元.用 x 表示每天正常工作的生产线条数，用 y 表示公司每天的纯利润.（I）写出 y 关于 x 的函数关系式，并求出纯利润为 7700 元时工作的生产线条数.（II ）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 ，标准差 ，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值.为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为 X，依据以下不等式评
19、判（ P 表示对应事件的概率）评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修.【答案】 （） ，8 条生产线（II）见解析【解析】 （）通过讨论 x 的范围，求出对应的函数解析式，令 y7700，求出对应的 x的值即可；（II）结合频率分布直方图判断即可【详解】（）由题意知：当 时， ，当 时， ，;当 y=7700 时， 即 8 条生产线正常工作() ，有频率分布直方图得：， 不满足至少两个不等式， 该生产线需重修【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查频率分布直方图，是一道中档题20抛物线 的焦点为 F，圆 ，点 为抛物线上一
20、动点.已知当 的面积为 .（I）求抛物线方程；（II ）若 ，过 P 做圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M，N 两点，求 面积的最小值，并求出此时 P 点坐标.【答案】 （） （II） 的最小值为 2，【解析】 （）根据题意可得 x02+（y0 ）2 ， |1 |x0| ，x022py 0，即可解得p1；（II）设 P（x0，y0），M（0，b），N（0，c） ，且 bc，则直线 PM 的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1，把 x0，y0 代入化简整理可得（2y 01）b22y0by020，同理可得（2y 01）c22y0cy020，进而可知 b，c 为（2y 0
21、1）x22y0xy020的两根，根据求根公式，可求得 bc，进而可得PMN 的面积的表达式，根据均值不等式可得【详解】（）由题意知：，,，抛物线方程为 .()设过点 P 且与圆 C 相切的直线的方程为令 x=0，得切线与 x 轴的交点为而 ， 整理得，设两切线斜率为 ，则，则 ， 令 ，则，而 当且仅当 ，即 t=1 时， “=”成立.此时，的最小值为 2，【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向21已知
22、函数 (I)若 ，判断 上的单调性；()求函数 上的最小值；(III)当 时，是否存在正整数 n，使 恒成立？若存在，求出 n 的最大值；若不存在，说明理由【答案】(I)见解析；()见解析； (III)见解析【解析】 （I）根据 f（x）的符号得出结论；（II）讨论 a 的范围，得出 f（x）在1， e上单调性，根据单调性得出最小值；（III）化简不等式可得 n+xlnx ，根据两侧函数的单调性得出两函数在极值点处的函数值的大小，从而得出 n 的范围【详解】（）当 时，由于 ，故 ，在 单调递增. ()当 时， 在 上单调递增， ，当 时，由 解得 （负值舍去）设若 ，即 ，也就是 时， 单调
23、递增，若 ，即 时 单调递减，单调递增.故若 即 时 单调递减，综上所述：当 时， 的最小值为 1；当 时， 的最小值为当 时， 的最小值为 .（）当 时，不等式为恒成立由于 ，故 成立， ，又所以 n 只可能为 1 或 2.下证 时不等式 恒成立事实上，设，又设 在 单调递增故即所以当 时， 单调递减，时， 单调递增，故即 时， ，对 恒成立，所以存在正整数 n，且 n 的最大值为 2，满足题意.【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论、等价转化思想，考查运算求解能力，属于中档题22在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 ( 为参数，0 )，在以坐标原点为极点
24、，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为(I)求曲线 C 的直角坐标方程；()设点 M 的坐标为(1 ，0)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 的值.【答案】(I) () 【解析】 （I）直接利用转换关系把极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用【详解】（）曲线 ，即 曲线 C 的直角坐标方程为 即()将 代入 并整理得， .【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0，y 0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、可负、可为 0)若 M1，M 2 是 l 上的两点，其对应参数分别
25、为 t1，t 2，则(1)M1， M2 两点的坐标分别是(x 0t 1cos ，y 0t 1sin )，(x 0t 2cos ，y 0t 2sin ).(2)|M1M2| t1t 2|.(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|t| .(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1t 20.23设函数 (I)当 a=1 时，求不等式 的解集；()已知 的取值范围【答案】() 或 . () 【解析】 （）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；（）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值即可【详解】（）当 时，不等式 即 ，当 时， 或此时， ，当 时， 或此时，当 时， 或此时， ，不等式的解集为 或 .() 若 则解得： 或 ，若 则，综上所述，【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
