1、课 题：4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离 022yxyxr2.比值 叫做 的正弦 记作： y rsin比值 叫做 的余弦 记作： rxco比值 叫做 的正切 记作： xy yta比值 叫做 的余切 记作
2、： xcot比值 叫做 的正割 记作： xrxrse比值 叫做 的余割 记作： y yc以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题： 角是“任意角” ，当=2k+(kZ)时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值”为函数值的函数 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.0r定义域： R rysinyrcsZk,|r y)(x,PR rxcos xrsecZk,2|xytanZk,2|ycot,|4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点
3、，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角 是任意的.(3)sin 是个整体符号，不能认为是“sin”与“ ”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做 的什么函数，并没有说 的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与 的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课： 1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限： 0,.yxsin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0第二象限： ,.sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc
4、 0第三象限： 0,.yxsin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0第四象限： ,.sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.为正 全正csin为正 为正otaseco2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390和-330都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390=sin30 cos390=cos30sin(-330)=sin30 cos(-330)=cos30cot0sin0tancos sin0tan0cotcos0 xy240-510诱导公式一（其中
5、 ）: 用弧度制可写成Zksin)360sin( sin)2sin(kcoco cocotata tata这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 02 间角的三角函数值问题三、讲解范例：例 1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2） （3）tan（672） (4)4sin( )31tan(解：(1)250是第三象限角 cos2500(2) 是第四象限角， 0)si(3)tan（672）tan（482360）tan48而 48是第一象限角，tan（672）0(4) 35tan)235tan(1t 而 是第四象限角， .3501例 2 求证角 为第三象限角的充分必要条件是 0
6、tansi证明：必要性： 是第三象限角， 0tansi充分性：sin 0， 是第三或第四象限角或终边在 轴的非正半轴上tan 0， 是第一或第三象限角.sin 0，tan 0 都成立. 为第三象限角.例 3 求下列三角函数的值(1)sin148010 (2) （3） .49cos)61tan(解:(1)sin148010sin（40104360） Sin40100.6451(2) 24cos)24cos(9(3) .36tan)6tan()1ta(例 4 求值：sin(-1320)cos1110+cos(-1020)sin750+tg4950解：原式=sin(-4360+120)cos(336
7、0+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)+tg(360+135)=sin120cos30+cos60sin30+tg135= -1=02132四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100cos240 (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解(1)100是第二象限的角 ,240是第三象限的角.sin1000,cos240 0, 于是有 sin100cos2400.(2) 5 是第四象限的角,23sin50,tan50,于是有 sin5+tan50.2. .x 取什么值时, 有意义?xtancosi分析：因为正弦、
8、余弦函数的定义域为 R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解: 由题意得 解得: )Z(20tkx)Z(2kx即: )(k所以, 当 时， 有意义 .)(2xxtancosi3若三角形的两内角，满足 sincos 0，则此三角形必为（B）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是 （B）A：sin +cos 0 B：tansin 0C： coscot 0 D：cotcsc 05已知是第三象限角且 ，问 是第几象限角？2cos解： )1()12( kk )(Zk 则 是第二或第四象限角432又 则 是第二或第三象限
9、角02cos 必为第二象限角6已知 ，则为第几象限角？12sin解： 由 sin2 012sin2k 2 2k+ k k+)(Z2为第一或第三象限角五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为 0到360角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号：2.化简 . 2222sin1cossintta解法一：(定义法) 设点 P(x,y)是角 终边上的一点，且| OP|=r,则将sin = ,cos = ,tan = ,cot = 代入得： rxy原
10、式= 22)()(yrxryx2224)()(yxryx22cosx解法二：(化弦法) 原式= 2222 cosincossin)i()222ii 解法三：(换元法) 设 cos2 =a,则 sin2 =1-a,tan2 = ,代入得 1原式 )1(2)(11)(12a2cos)1(2)(aa评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知 sin3 +cos3 =1,求下列各式的值： (1)sin +cos ；(2)sin 4 +cos4 分析：对已知式的左边利用代
11、数公式进行变形，使原式转化为关于 sin +cos 的方程，然后求解. (1)解法一：(sin +cos )3 =sin3 +3sin2 cos +3sin cos2 +cos3 =(sin3 +cos3 )+3(1-cos2 )cos +3(1-sin2 )sin =1+3cos -3cos3 +3sin -3sin3 =1+3(sin +cos )-3(sin3 +cos3 ) =3(sin +cos )-2. (sin +cos )3-3(sin +cos )+2=0. 令 sin +cos =t,则 t3-3t+2=0 (t-1)2(t+2)=0. t=1 或 t=-2 即 sin +
12、cos =1 或 sin +cos =-2(舍去). 解法二：sin 3 +cos3 =(sin +cos )(sin2 -sin cos +cos2 )=(sin +cos )(1-sin cos ). (sin +cos )(1-sin cos )=1. 注意到 sin cos 可用 sin +cos 表示，并令 sin +cos =t,则 sin cos = ,故21t上式化为 t(1- )=1 t3-3t+2=0.(下同解法一). 21(2)解：sin +cos =1，(sin +cos )2=1 sin cos =0. 故 sin4 +cos4 =(sin2 +cos2 )2-2sin2 cos2 =1-2sin2 cos2 =1. 评注：对于 sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值. 高考试$题!库
