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1、概率论基础知识第一章 随机事件及 其概率一 随机事件1 几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为 随机试验 ；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为 E。例如：E 1：掷一骰子，观察出现的总数；E 2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为 随机事件 ：常记为 A，B，C 例如，在 E1 中，A 表示“ 掷出 2 点” ，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与

2、不可能事件：每次试验必发生的事情称为 必然事件 ，记为 。每次试验都不可能发生的事情称为 不可能事件 ，记为 。例如，在 E1 中， “掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为 事件 。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为 基本事件 。例如，在 E1 中， “掷出 1 点” ， “掷出 2 点” ， “掷出 6 点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为 复合事件 ，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为 样本点 ，常记为 e.例如

3、，在 E1 中，用数字 1，2，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集1，2，6 便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面， T 表示反面，此试验的样本点有（H，H） ， （H，T） ， （T，H） ， （T，T） ，其基本事件便是（H ，H）， （H，T），（T， H）， （T，T）显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如， 在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为2，4，6 。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为 。例如，在 E1 中，=1，2，3，4，5，6在 E2 中，=（H，H） ， （H，T） ， （T，H） ， （T，T）在 E3 中，=0，1，

4、2，例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为 N =P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合)例 2随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B或 B A。 例如，在 E1 中，令 A 表示“ 掷出 2 点

5、”的事件，即 A=2B 表示“掷出偶数”的事件，即 B=2，4， 6则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃”的事件；B 表示 “取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件 A 与事件 B 同时发

6、生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B或 AB。例如，在 E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A=接到偶数次呼唤，B=接到奇数次呼唤 ，则 A B=接到 6 的倍数次呼唤 推广：任意有限个无穷可列个5、差：称事件 A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。例如，测量晶体管的 参数值，令 A=测得 值不超过 50，B=测得 值不超过 100 ，则，A-B=，B-A=测得 值为501006、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=，则称 A 与 B 是互不相容的。例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：

7、若 A=红灯亮，B=绿灯亮，则 A 与 B 便是互不相容的。7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然 ，A =例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令A=取得的 3 个产品中至少有一个次品，则 =取得的 3 个产品均为正品。3 事件的运算规律 1、交换律 AB=BA； AB=BA2、结合律 （AB）C=A（BC） ；（A B）C=A（BC ）3、分配律 A（BC）= （AB）（AC） ， A（B C）=（AB）（A C）4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如A B A，AB B（越求和越大） ；AB A，AB B（越求积越小） 。若 A B

8、，则 A B=B, A B=A A-B=A-AB= A 等等。例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai=第 i 次取得合格品,i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有两次取得合格品三次中最多有一次取得合格品解： 表示方法常常不唯一，如事件又可表为或 例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令 i=第 i 次射击击中目标 , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解： A1A2A3=三次射击都击中目标A3-A2=第三次击中目标但第二次未击中目标例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表

9、示继电器接点，闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件 的概率1 概率的定义所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A ） 。规定 P(A)0，P（）=1。1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令 A=掷出 2 点=2，B=掷出偶数总=2，4，6。此试验样本空间为=1，2，3，4，5，6，于是，应有 1=P（）=6P（A） ，即 P（A ）=。而 P（B）=3P （ A）=定义 1：在古典概型中，设其

10、样本空间 所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 而事件 A 所含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为：例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间=（H，H，H ） （H，H，T ） （H，T，H） （T，H，H） （H，T，T） （T ，H，T） （T ，T，H）（T， T， T）。可见 N =8 令 A=恰有一次出现正面 ，则 A=（H，T，T） （T，H ，T） （T，T，H）可见，令 NA=3 故例 2， （取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种

11、取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取 3 个球。 在以上三种取法中均求 A=恰好取得 2 个白球 的概率。解：（1）有放回取球 N =888=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况，第三次取黑球只有三种情况）（2）无放回取球 故 （3）一次取球故 属于取球问题的一个实例：设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件

12、，则其中恰有 2 件次品的概率便为（属于一次取球模型）例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（nN） 。解： 令 A=恰有 n 个盒子各有一球，先考虑基本事件的总数先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列故属于分球问题的一个实例：全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A=40 个同学生日皆不相同，则有(可以认为有 365 个盒子，40 个球)故 例 4（取数问题）从 0，1，,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（

13、2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数；解：令 A=四个数排成一个偶数，B=四个数排成一个四位数 ，C=四个数排成一个四位偶数，例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里有 4 张 A 牌的概率各为多少？解：令 A=有人手里有 13 张黑桃，B=有人手里有 4 张 A 牌于是 ，故不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：1 P（A） 0 2 P（）=13 若 A1，A 2，A n 两两互不相容，则2、概率的统计定义 频率：在 n 次重复试验中，设事件 A 出现了 nA 次，则称： 为事件 A 的频率。频

14、率具有一定的稳定性。示例见下例表 试验者 抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 正面（A）出现的频率德摩尔根 2048 1061 05180浦丰 4040 2148 05069皮尔逊 12000 6019 05016皮尔逊 24000 12012 05005维尼 30000 14994 04998定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1 2 3 若 A1，A 2，两两互不相容，则3、概率的公理化定义 （数学定

15、义）定义 3：设某试验的样本空间为 ，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A） ，如果它满足下列三条公理：1 P（A） 0（非负性） 2 P（）=1（规范性）3 若 A1，A 2，A n两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义定义 4：假设 是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从 中随机地选择一点，即 中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是 ，假设事件 A 是 中任何一个可度量的子集，则P(A)=(A)/ ()2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) 差的概率等于概率之差证：

16、 因为：A B 所以：B=A(B-A)且 A(B-A)=,由概率可加性 得 P（B）=PA（B-A）=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A） =P（B）-P （A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）P（B） 概率的单调性证：由性质 1 及概率的非负性得 0P（B-A）=P（B ）-P（A ） ，即 P（A ）P（B ） 性质 3：P（A）1 证明：由于 A ，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）1 性质 4：对任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质 1 中令 B= 便有 P（ ）=P（-A）=P（）-P（A）=1-P（A）性质 5：P（）=0 证：在性质 4 中，令 A=

17、，便有 P（）=P （ ）=1-P（）=1-1=0性质 6 （加法公式）对任意事件 A，B，有 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）证：由于 AB=A（B-AB）且 A（B-AB）=（见图）由概率的可加性及性质 1 便得P（AB） =PA（B-AB）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）推广: P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例 6 设 10 个产品中有 3 个是次品，今从中任取 3 个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。解：令 C=取出产品中至少有一个是次品 ，则 =取出产品中皆为正品，于是由性质 4

18、得例 7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为 0.4 和 0.35，而同时下雨的概率为 0.15，问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令 A=甲城下雨，B=乙城下雨 ，按题意所要求的是P（AB）=P （A）+P（B）P（AB ）=0.4+0.35-0.15=0.6例 8设 A,B,C 为三个事件，已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C 至少有一个发生的概率。 于是所求的概率为 三 条件概率1 条件概率的概念及计算 在已知事件 B 发生条件下，事件 A 发生的概率称为事件 A 的条件概率，记为 P

19、（A/B） 。条件概率 P（A/B）与无条件概率 P（A）通常是不相等的。例 1：某一工厂有职工 500 人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为 40 人和 10 人，即该工厂职工人员结构如下：人数 男 女 总和非熟练工人 40 10 50其他职工 210 240 450总和 250 250 500现从该厂中任选一职工，令 A= 选出的职工为非熟练工人，B= 选出的职工为女职工显然， ；而 ，定义 1 设 A、B 为两事件，如果 P（B）0，则称 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的 条件概率 。同样 ,如果 P（A ）0，则称 为在事件 A 发生条件下，事件 B 的 条件概率 。条件

20、概率的计算通常有两种办法：(1)由条件概率的 含义 计算（通常适用于古典概型） ， (2)由条件概率的 定义 计算。例 2：一盒子内有 10 只晶体管，其中 4 只是坏的，6 只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？解： 令 A=第一次取的是好的晶体管，B=第二次取的是好的晶体管按条件概率的含义立即可得： 按条件概率的定义需先计算： ；于是例 3：某种集成电路使用到 2000 小时还能正常工作的概率为 0.94,使用到 3000 小时还能正常工作的概率为 0.87 .有一块集成电路已工作了 2000 小时,向它还能

21、再工作 1000 小时的概率为多大?解：令 A=集成电路能正常工作到 2000 小时，B=集成电路能正常工作到 3000 小时已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.87按题意所要求的概率为：2 关于条件概率的三个重要公式1.乘法公式定理 1: ，例 4:已知某产品的不合格品率为 4%,而合格品中有 75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.解: 令 A= 任取一件产品为一级品, B= 任取一件产品为合格品 ，显然 ，即有 AB=A 故 P（AB）=P（A） 。于是, 所要求的概率便为例 5:为了防止意外,在矿

22、内安装两个报警系统 a 和 b,每个报警系统单独使用时,系统 a 有效的概率为 0.92,系统 b 的有效概率为 0.93,而在系统 a 失灵情况下,系统 b 有效的概率为 0.85，试求：(1)当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率； (2)在系统 b 失灵情况下,系统 a 有效的概率.解: 令 A=系统 a 有效 B=系统 b 有效已知 , ,对问题(1) ,所要求的概率为，其中 (见图)= =于是 对问题(2),所要求的概率为： =推广：如果证:由于 所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得= （依此类推）=例 6：10 个考签中有 4 个难签,三个人参加抽签(无放回

23、) 甲先 ,乙次,丙最后,试问(1) 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?解: 令 A,B,C 分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为：对问题(2), 甲抽得难签的概率为：乙抽得难签的概率为丙抽得难签的概率为 其中 于是 2.全概率公式完备事件组 :如果一组事件 在每次试验中必发生且仅发生一个,即 则称此事件组为该试验的一个完备事件组例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组： 1，2， 3，4，5，6； 1，2，3，4，5 ， 6； ， （A 为试验中任意一事件） 定理 2： 设 为一完备事件组，且 ，则对于任意事件

24、A 有 证：由于且对于任意 ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：例 7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下：根据以往资料可知，中国胜美国的概率为 0.4 ，中国胜日本的概率为 0.9，而日本胜美国的概率为 0.5，求中国得冠军的概率。解：令 H= 日本胜美国, =美国胜日本, A= 中国得冠军由全概率公式便得所求的概率为例 8， 盒中放有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛时，从盒中任取 3 个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取 3 个使用，求第二次取出都是新球的概率解： 令 H =第一次比赛时取出的 3 个球中有 i 个新球i=0，1，2，3，A = 第二次比赛取出的 3 个

25、球均为新球于是,而, 由全概率公式便可得所求的概率=0.1463 贝叶斯公式 定理 3： 设 H ,H ,.H 为一完备事件组，且 又设 A 为任意事件，且 P(A) 0，则有证：由乘法公式和全概率公式即可得到例 9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为 0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为 0.95，并假定就诊者中有 0.005 的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？解： 令 H=做实验的人为癌症患者 ， =做实验的人不为癌症患者，A= 实验结果反先验概率应为阳性 ， 实验结果反应为阴性，由贝叶斯公式可求得所要求的

26、概率：例 10：两信息分别编码为 X 和 Y 传送出去，接收站接收时， X 被误收作为 Y 的概率 0.02,而 Y 被误作为 X 的概率为 0.01.信息 X 与 Y 传送的频繁程度之比为 2:1,若接收站收到的信息为 X，问原发信息也是 X 的概率为多少?解：设 H=原发信息为 X由题意可知 由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为 例 11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中 的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占 ，已知甲，乙两厂的次品率为 2%，丙厂的次品率为 4%，现从箱中任取一产品（1） 求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3） 已知所取得

27、产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令 分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件， A=所取得的产品为次品显然 ， ， ， 对问题（1） ，由乘法公式可得所要求的概率：对问题（2） ，由全概率公式可得所要求的概率对问题（3） ，由贝叶斯公式可得所要求的概率四 独立性1 事件的独立性 如果事件 B 的发生不影响事件 A 的概率，即 则称事件 A 对事件B 独立。如果事件 A 的发生不影响事件 B 的概率，即 ， 则称事件 B 对事件 A 独立。不难证明，当 时，上述两个式子是等价的。事实上，如果 ，则有反之，如果 ，则有即 同样可证 总之 ，可见事件独立性是相互的。定义 1 设 A

28、， B 为两个事件，如果 ，则称事件 A 与事件 B 相互独立。例 1,袋中有 3 个白球 2 个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 问 A，B 是否独立？解：（1）有放回取球情况，则有可见， ，可见 A，B 独立。（2）无放回取球情况，则有可见， ，故 A，B 不独立。 （实际上就是抓阄模型）例 2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统，（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的概率)为 r(0r1).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.解: 令 A= 元件 a 正常工作 , B= 元件 b 正常工作 ,

29、且 A,B 独立。C1= 系统 I 正常工作 , C2=系统II 正常工作于是系统 I 的可靠性为系统 II 的可靠性为显然 ，系统可靠性大于系统的可靠性。2*3定义：设 A，B，C 为三个事件，如果 P（AB）=P（A）P（B） ，P（AC）=P（A）P（C） ，P（BC）=P（B）P（C） ，P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 则称 A，B，C 为相互独立的。定义 2：设 A1，A 2，A n为 n 个事件，如果对任意正整数 及上述事件中的任意P 则称这 n 个事件A1，A 2，A n是相互独立的。下面几个 结论 是常用的 ：其它三个必成立。证：设 A，B 成立，即 ，于是有故 独立。

30、利用这个结果便可证明其它结论，即（2）如果 相互独立，则(3) 如果 相互独立，则证：例 3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为求密码能被译出的概率解：令 A i第 个人能译出密码 ，I=1,2,3 ；A=密码能被译出，所要求的概率为例 4：设每支步枪击中飞机的概率为 ，(1)现有 250 支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;(2)若要以 概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？解： 令 Ai=第 i 支步枪击中飞机 1,2,n；A=飞机被击中对问题（1） ，n=250,所要求的概率为对问题（2） ，n 为所需的步数，按题意 , 即 , 即 于是得 2 独立重复试验 独立重复试验 在

31、相同条件下，将某试验重复进行 n 次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为 n 次独立重复试验。称此试验为贝努里试验n 重贝努里试验 将贝努里试验独立重得 n 次所构成 n 次独立重得试验称为 n 重贝努里试验。例如，（1）将一骰子掷 10 次观察出现 6 点的次数10 重贝努里试验（2）在装有 8 个正品，2 个次品的箱子中，有放回地取 5 次产品，每次取一个，观察取得次品的次数5 重贝努里试验（3）向目标独立地射击 n 次，每次击中目标的概率为 P，观察击中目标的次数n 重贝努里试验等等一个重要的结果：在 n 重贝努里实验中，假定每次实验事件 A 出现的概率为

32、 p（0p1）,则在这 n 重贝努里实验中事件 A 恰好出现 k(kn)次的概率为其中 q=1-p因此，在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好出现 k 次的事件便可表为上式为在 n 次试验中恰有 k 次A 出现，而在另外 n-k 次 A 不出现的所有可能事件之和，这及事件的独立性便可得到在 n 重贝努里试验中事件 A 恰好出现 k 次的概率为例 5：设电灯泡的耐用时数在 1000 小时以上的概率为 0.2,求三个灯泡在使用了 1000 小时之后：（1） 恰有一个灯泡损坏的概率；（2） 至多有一个灯泡损坏的概率。解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为 3 重贝努里实验。令 A=灯泡是坏的 ，则p=P(A)=0.8若令 Bi=有 i 个灯泡损坏 ，i=0，1 2 3；对于问题（1） ，所求的概率为对于问题（2） ，所求的概率为 例 6：某工厂生产某种产品，其次品率为 0.01 ，该厂以每 10 个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件 A，p=P(A)=0.01 ）数的实验可视为 10 重贝努里实验。令则 令 C=卖出一包被退回 ，则如果厂方以 20 个产品为一包出售，并保证包内多于 2 个次品便可退货，情况又将如何呢？完全类似可算得