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1、管理统计学,2010年,1 概率论基础,1.1 事件与概率1.2 概率的基本性质1.3 条件概率与事件独立性1.4 随机变量及其分布,1.1 事件与概率,自然界和人类社会生产实践中的两类现象确定性现象：具有确定结果的现象不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果概率论研究的对象随机现象,例1.1 生活中的随机现象,生活中随机现象的例子抛掷一颗骰子，出现的点数一天内进入某超市的顾客数某一生产线生产出的灯泡的寿命某批产品的不合格率,1.1.1 随机试验与随机事件,随机试验：满足以下三个特点的试验试验可以在相同的条

2、件下重复进行试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所有可能出现的结果试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果样本空间()：一个随机试验的所有可能结果的集合样本点()：试验的每一个可能结果,例1.2 随机现象的样本空间,试列出例1.1中随机现象的样本空间掷一颗骰子的样本空间：1=1,2,6，其中i表示出现i点，i=1,2,6。也即掷一颗骰子的样本空间为：1=1,2,6一天内进入某超市顾客数的样本空间：2=0,1,2,，其中0表示一天内无人光顾某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：3=t|t0产品的不合格率一定是介于0与1之间的一个实数，因此其样本空间：4=y|0y1,随机事件,随机事件/事件(A,B

3、,C)：样本空间的某个子集事件A发生：当且仅当事件A所包含的某一样本点出现随机事件的几个概念基本事件：仅包含一个样本点的随机事件例如，掷一颗均匀的骰子，事件B“掷出2点”复合事件：包含多个样本点的随机事件例如，掷一颗均匀的骰子，事件C“出现偶数点”必然事件()：包含全部样本点的随机事件例如，掷一颗均匀的骰子，事件D“点数小于7”不可能事件()：不包含任何样本点的随机事件例如，掷一颗均匀的骰子，事件E“点数大于6”,1.1.2 事件的关系及运算,文氏图展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系用一个长方形表示样本空间，用其中的一个圆或其他图形表示随机事件A,(1)事件之间的关系（待续）,事

4、件的包含A包含于B / / 事件A发生必然导致事件B发生,A包含于B,事件之间的关系（续）,事件的相等A与B相等/ A=B 事件A发生必然导致事件B发生，同时事件发生必然导致事件A发生事件的互不相容A与B互不相容事件A与事件B不可能同时发生,A=B,A与B互不相容,(2)事件的运算（待续）,事件的并A与B的并/AB 属于事件A或B的所有样本点构成的集合事件的交A与B的交/AB/AB 同时属于事件A和B的所有样本点构成的集合,AB,AB,事件的运算（续）,事件的差A与B的差/A-B 属于事件A、不属于事件B的所有样本点构成的集合事件的对立（逆）A的对立（逆）/ 样本空间中不属于事件A的所有样

5、本点构成的集合,A-B,例1.3 产品抽样检查,已知一批外形无差别的产品中有3件次品，现随机地从这批产品中依次抽取3件，分别以A、B、C代表第一次、第二次、第三次抽到次品试表示三次都抽到次品只有第一次抽到次品三次都没有抽到次品至少抽到一件次品最多抽到一件次品最多抽到两件次品,解：三次都抽到次品：只有第一次抽到次品：三次都没有抽到次品：至少抽到一件次品：最多抽到一件次品，即A，B，C中只有一个发生或A，B，C全不发生：最多抽到两件次品，即是A，B，C全发生的对立事件：,(3)事件运算的性质,事件运算遵循的法则交换率：，结合率：，分配率：对偶率（德莫根公式）：,1.1.3 事件的概率,概率

6、：随机事件发生的可能性的量度常用P(A) 表示随机事件A发生的可能性大小,(1)概率的统计定义（待续）,频率：FN(A)=n/N，其中n为事件A发生的次数，N为试验总次数频率的性质非负性：FN(A)0规范性：FN()=1 可加性：若A、B互不相容，则FN(AB)= FN(A)FN(B),概率的统计定义（续）,频率稳定性：在相同条件下进行的多次重复试验，随着试验重复次数N的增加，随机事件A的频率FN(A)会在某一固定的常数a附近摆动，这个固定的常数a就是我们所说的概率,历史上抛硬币试验的若干结果,(2)概率的古典定义,古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型试验具有有限个可能出现的结果试验的每

7、个基本事件出现的可能性都是相等的古典概型中基本事件的概率（假定样本空间=1，2，n ）古典概型中随机事件A的概率其中，事件A包含样本点又称为A的“有利场合”,例1.4 摸球模型,已知袋中有5个白球、3个黑球，从中任取两个求取到的两个球颜色不同的概率解：从8个球中任取2个有种不同的取法，记“取到的2个球颜色不同”为事件A，则事件A包含的样本点数为，故取到两个不同颜色球的概率为,摸球模型在实际问题中的应用将“白球”、“黑球”替换为“正品”、“次品”，就可以用来求解产品质量抽样检查问题向口袋中加入其他颜色的球，可以描述具有更多等级的产品抽样问题，如将产品分为一等品、二等品、三等品、等外品的产品

8、抽样检查问题,(3)概率的几何定义,几何概型：设在空间上有一区域，随机地向内投掷一点M，满足M落在区域内的任意位置的概率都是相等的 M落在区域的任何部分区域g内的概率只与g的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且与g的位置和形状无关几何概型中随机事件Ag的概率,例1.5 会面问题,已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去求两人能会面的概率解：以甲到达的时刻为x轴，以乙到达的时刻为y轴，建立平面直角坐标系坐标平面（x，y）的所有可能结果为图中所示边长为60的正方形，由此得到样本空间的测度为S=602 如果两人能够会面，需要满足条件|x-y|20

9、，即图中的阴影部分，其面积为Sg=602-402，故两人能会面的概率为,(4)主观概率,主观概率：对于一些不能重复的或不能大量重复的现象，根据个人的经验对随机事件发生的可能性进行估计得出的概率例如气象预报“今天夜间多云有阵雨，降水概率60%” ，外科医生认为某患者“手术成功的可能性为90%”,1.2 概率的基本性质,根据概率的公理化定义，有性质1（非负性）：对于任意事件A，有P(A)0 性质2（规范性）：必然事件的概率为1，即P()=1 性质3（可列可加性）：对于可列个两两互不相容事件A1，A2，有P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(An),公理导出性质（待续）,根据性质1、2、3，有性

10、质4：不可能事件的概率为0，即P()=0 性质5（有限可加性）：对于任意n个事件A1,A2,An，若AiAj= （i,j=1,2,n；ij），则P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2)+P(An)性质6：对于任意事件A，有P( )=1-P(A),公理导出性质（续）,性质7：对于任意事件A和B，若AB，则P(A-B)=P(A)-P(B) 性质8（减法公式）：对于任意事件A和B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)性质9（加法公式）对于任意事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)-P(AB) 性质10（一般加法公式）对任意n个事件A1，A2，An，有,例1.6 职工代表,已知某班组有男

11、工7人、女工4人，现要选出3个代表求3个代表中至少有一个女工的概率解法1：样本空间包含的全部样本点数为，以A记“3个代表中至少有一个女工” ，Ai记“3个代表中有i个女工”(i=1,2,3)，则A=A1A2A3，故所求概率为解法2：将“3个代表中至少有一个女工”记为事件A，则 =“3个代表全部为男工”，而，根据性质6可求得,例1.7 电子刊物订阅,已知某学校向学生发行两种电子刊物A和B，且该校学生中订阅刊物A的占65%，订阅刊物B的占50%，同时订阅刊物A和B的占30%求：从该学校学生中随机地抽取一名，该学生订阅电子刊物的概率解：若以A记“学生订阅刊物A”，以B记“学生订阅刊物B”，则学生

12、订阅电子刊物为事件AB。根据概率的加法公式，学生订阅电子刊物的概率为P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.650.5-0.3=0.85,例1.8 匹配问题,已知某人写好n封信，又写好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中求至少有一封信与信封匹配的概率解：若以Ai记第i封信与信封匹配，则所求事件为A1A2An，因此，根据一般加法公式有,因此有,1.3 条件概率与事件独立性,1.3.1 条件概率与乘法公式1.3.2 事件独立性1.3.3 全概率公式1.3.4 贝叶斯公式,1.3.1 条件概率与乘法公式,条件概率：P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率条件概率公式：，其

13、中A、B为任意两个事件，且P(B)0,例1.9 员工升职问题,某公司有1200名员工(包括男性960人，女性240人)，过去的三年里员工提升情况见表中数据试计算若一个员工为男性，则其得到提升的概率若一个员工为女性，则其得到提升的概率,解：根据题意，分别以M记 “某员工为男性”、W记 “某员工为女性”，以A记 “某员工得到提升” ，由表中数据有 P(M)=960/1200=0.80P(W)=240/1200=0.20P(MA)=288/1200=0.24P(WA)=36/1200=0.03若一个员工为男性，则其得到提升的概率为若一个员工为女性，则其得到提升的概率,员工提升情况表,条件概率的性质

15、式：P(AB)=P(B)P(A|B) 乘法公式的推广：当P(A1A2An)0时，有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),例1.10 零件出售“假一赔十”,已知：商店出售某零件每箱装这种零件100件，且包括4件次品假一赔十：顾客买一箱零件，如果随机取1件发现是次品，商店立刻用10件合格品取代其放入箱中某顾客在一个箱子中先后取了3件进行测试求这3件都不是合格品的概率,解：以Ai记“顾客在第i次取到不合格品”(i=1,2,3)，则有根据乘法公式可知，顾客取出的3件都不是合格品的概率为,1.3.2 事件独立性,相互独立事件：对于任意事件A和

16、B，如果有P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与B相互独立/A与B独立相互独立事件的性质性质1 若事件A与B相互独立，则P(B|A)=P(B) 性质2 若事件A与B相互独立，则与B、A与、与均独立,例1.11 射击问题,已知甲、乙二人独立地向同一目标射击，其命中率分别为0.6和0.7求目标被射中的概率解：根据题意，以A记“甲射中目标”，以B记“乙射中目标”，以C记“目标被射中”，因此有C= AB。由于事件A和B是相互独立的，故目标被射中的概率为 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.7-0.60.7=0.88

17、也可以先考虑C的对立事件，显然有 P(C)=1-P( )=1- P( )=1-P( )=1-P( )P( )=1- (1-0.6)(1-0.3)=0.88,1.3.3 全概率公式,完备事件组：若A1,A2,An两两互斥，且A1A2An=，则称A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组全概率公式：，其中A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组，P(Ai)0,例1.12 零件加工,已知某车间有甲、乙、丙三条生产线加工一批零件，各生产线的产量分别占总产量的40%、35%和25%，且这三条生产线加工该零件的次品率分别为2%、4%和5%求从这批零件中任意取出一个零件是次品的概率解：分别以A1、

18、A2、A3记零件来自甲、乙、丙生产线，以B记“取出次品”，显然A1，A2，A3构成这一随机取样试验样本空间的完备事件组,由已知条件可知P(A1)=0.40P(A2)=0.35P(A3)=0.25P(B|A1)=0.02P(B|A2)=0.04P(B|A3)=0.05根据全概率公式，取出次品的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) =0.400.020.350.040.250.05=0.0345,1.3.4 贝叶斯公式,贝叶斯公式：，其中A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组，P(B)0，P(Ai)0,例1.13 零件加工,在例1.12中

19、，如果取出的零件是次品，分别求这个零件是由甲、乙、丙生产线加工的概率解：分别以A1、A2、A3记取出的零件来自甲、乙、丙生产线，以B记“取出次品”，则根据例1.12，有根据贝叶斯公式，可以得到,1.4 随机变量及其分布,1.4.1 随机变量及其分布函数1.4.2 随机变量的数字特征1.4.3 常用的离散型分布1.4.4 常用的连续型分布,1.4.1 随机变量及其函数分布,随机现象的结果数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果随机现象数量化的表现随机变量,(1)随机变量与分布函数,随机变量(X,Y,Z)：定义在样本空间上的取值为实数的函数，满足中每一个点，

20、即每个基本事件都有实轴上的点与之对应离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数轴上的某一区间分布函数：F(x)=P(Xx)，分布函数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X落在区间(-,x上的概率,(2)离散型随机变量及其分布,离散型随机变量的分布列：pi=P(X=xi)，其中xi为离散型随机变量X的所有可能取值，i=1,2,n,分布列的表格形式离散型随机变量的分布函数：,离散型随机变量的分布列,分布列的性质,分布列的性质：非负性：pi0 正则性：对于任意实数a、b(ab)，有,例1.14 骰子点数之和,掷两颗骰子，以X记出现的点数之和求X的分

21、布列解：掷两颗骰子，可能出现的点数的组合为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)计算可得X的分布列为,表1-1 两颗骰子点数之和的分布列,例1.15 离散型随机变量的分布函数,设随机变量X的分布列为求X的分布函数

22、解：根据分布列，得到X的分布函数如下,F(x)的图形呈一条阶梯状的曲线，且取值1、2、3处为跳跃点，其跳跃度分别为0.2、0.3、0.4,(3)连续型随机变量及其分布,连续型随机变量的分布函数：其中，p(x)是实数轴上的非负可积函数，称为随机变量X的概率密度函数/密度函数密度函数的性质：非负性：p(x)0 正则性：对于任意实数a、b(ab)，有,例1.16 随机变量的分布函数（待续）,设连续型随机变量X的密度函数为求X的分布函数F(x) 解：由分布函数的定义可得当x-1时，p(x)=0，所以,随机变量的分布函数（续）,当-1x0时当0x1时当x1时综上所述，X的分布函数为,1.4.2

23、随机变量的数字特征,随机变量的数字特征：用来表示随机变量分布的某些重要特征的数字指标常用的数字特征：数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平的偏离程度,(1)数学期望,数学期望(E(x)/)：随机变量所有可能取值的平均水平离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量X的数学期望，即X的所有可能取值为x1,x2,xn关于权p1,p2,pn的加权平均值连续型随机变量的数学期望：,数学期望的性质,性质1 对于任意常数c，有E(c)=c 性质2 对于任意随机变量X和常数a、b，有E(aX)=aE(X) E(X+b)=E(X)+b 性质3 对于任意随机变量X和Y，有

24、E(XY)=E(X)E(Y) 性质4 对于任意随机变量X和Y，若X与Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y),例1.17 离散型随机变量的数学期望,试求例1.14中随机变量X的数学期望解：根据表1-1中的计算结果，计算得到X的数学期望为,例1.18 连续型随机变量的数学期望,试求例1.16中随机变量X的数学期望解：已知X的密度函数为因此X的数学期望为,(2)方差与标准差,方差：D(X)= E X-E(X) 2，当且仅当E X-E(X) 2存在时标准差：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：,方差的性质,性质1 对于任意常数c，有D(c)=0 性质2 对于任意随机变量X和常数a、b，

25、有D(aX)=a2D(X) D(X+b)=D(X) 性质3 对于任意随机变量X和Y，若X与Y相互独立，有D(X+Y)=D(X)+D(Y) 性质4 对于任意随机变量X，有D(X)=E(X2)+E(X)2,1.4.3 常用的离散型分布,(1)0-1分布,0-1分布/两点分布/伯努利分布随机变量X服从参数为p的0-1分布/XB(1,p) 离散型随机变量X的概率分布为：P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，（0p1）0-1分布的数学期望、方差和标准差 E(X)=1p0(1-p)=pD(X)=(1-p)2p(0-p)2(1-p)=p(1-p),0-1分布的分布列,(2)二项分布,n重伯努利试验设试验

26、E只可能有两个结果：A和，将E独立的重复地进行n次，则这一穿重复的独立试验为n重伯努利试验二项分布n重伯努利试验中，事件A出现的次数为随机变量X随机变量X服从参数为n,p的二项分布/XB(n,p) 随机变量X的概率分布为：二项分布的数学期望、方差和标准差 E(X) =np D(X) =np(1-p),例1.19 产品抽样检查,已知在10件产品中混入了2件次品，现有放回地先后取出3件产品，用随机变量X表示次品数求X的分布列，E(X)，D(X) 解：由于抽样是有放回的，因此每次取出次品的概率都相同，这是一个n重伯努利试验。随机变量X的可能取值为0,1,2,3，且,故X的分布列为另外，有,(3)泊

27、松分布,泊松分布随机变量X服从参数为的泊松分布/XP() 随机变量X的概率分布为：泊松分布的数学期望、方差和标准差E(X) = D(X) = 二项分布的泊松近似在n重伯努利试验中，当n很大，而A“成功”发生的概率p很小时，二项分布可以用=np的泊松分布来近似,例1.20 订票电话次数,假定某航空公司预订票处十分钟内接到订票电话的次数服从参数为7的泊松分布求订票处在十分钟内恰好接到6次电话的概率解：以随机变量X表示订票处在十分钟内接到订票电话的次数，且XP(8)，故利用泊松分布表，当k=6， =7时,例1.21 疾病普查,已知某种疾病的发病率为0.001，某地区共有5000居民，现有一医疗团队

28、为该地区居民义务会诊求该地区患有这种疾病的人数不超过5人的概率解：以随机变量X记该地区患有这种疾病的人数，则XB(5000，0.001)，所以有通过二项分布来求解这个问题计算量是很大的，由于n很大，而p很小，这时我们可以利用泊松分布来求解 =np=50000.001=5,(4)超几何分布（待续）,超几何分布从混有M件不合格品的N件产品中不放回地先后抽取n件，其中含有的不合格品的个数为随机变量X随机变量X服从超几何分布/XH(n,N,M) 随机变量X的概率分布为其中m=minM,n，且MN，nN，n，N，M均为正整数,超几何分布（续）,超几何分布的数学期望、方差和标准差超几何分布的二项近

29、似当抽样的个数远远小于产品的总数时，不放回抽样可以近似地看成有放回抽样,1.4.4 常用的连续型分布,(1)均匀分布,均匀分布随机变量 X服从区间(a,b)上的均匀分布/XU(a,b) 随机变量X的密度函数为均匀分布的分布函数均匀分布的数学期望，方差和标准差,例1.22 均匀分布概率,设随机变量X服从(0,10)上的均匀分布求P(3x7)与P(50 ）指数分布的分布函数指数分布的数学期望、方差和标准差,例1.23 等待时间,假设某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟记）服从参数=0.4的指数分布求等待时间不超过3分钟的概率解：根据题意，可知等待时间X的分布函数为因此，

30、等待时间不超过3分钟的概率为 P(X3)=F(3)=1-e-0.43=1-e-1.2=0.699,(3)正态分布（待续）,正态分布随机变量X服从正态分布/XN(, 2) 随机变量X的密度函数为(-0)正态分布的分布函数,正态密度函数,正态分布（续）,正态分布的密度函数具有如下性质正态密度函数在平面直角坐标系的位置由参数确定正态密度函数的尺度由参数所确定正态分布的数学期望、方差和标准差E(X)= D(X)= 2 (X)= ,标准正态分布,标准正态分布：参数=0, =1时，正态分布N(0,1)称为标准正态分布标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数正态分布的标准化：对于一般正态分布，作变

31、换，将其转换为标准正态分布ZN(0,1),例1.24 上班路线选择,已知：王某家住市区西郊，他到东郊工作单位的上班的路线可以有两种选择：一是横穿市区，这条路线路程较短，但交通堵塞严重，所需时间XN(30,100)；二是选择环城公路，这条路线路程较远，但堵塞少，所需时间YN(40,16)求：若距上班时间还有50分钟，应选择哪条路线若距上班时间还有45分钟，应选择哪条路线解：根据题意，设王某选择第一条路线需要花费的时间为x，选择第二条路线需要花费的时间为y,解题过程,若距离上班时间还有50分钟，则对于两条路线，王某准时上班的概率分别为此时选择第二条路线时准时上班的概率较大，因此应选第二条路线,

32、若距离上班时间还有45分钟，则对于两条路线，王某准时上班的概率分别为此时选择第一条路线时准时上班的概率较大，因此应选第一条路线,3原则,3原则：如果随机变量X N(0,1),则 P(|X-|)=0.6826P(|X-|2)=0.9545P(|X-|3)=0.9973,(4) 2分布，t分布，F分布,设随机变量X1，X2，Xn相互独立且都服从N(0,1)，则随机变量服从自由度为n的2分布，记作Y 2(n) 设随机变量XN(0,1)，Y 2(n)，且它们相互独立，则随机变量服从自由度为n的t分布，记作Zt(n) 设随机变量X和Y相互独立，分别服从为2(m)和2(n)，则随机变量服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记作ZF(m,n),

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