1、第二章 随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：20 学时教
2、学过程：2.1 随机变量及其分布例 2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数 ：1、2、6；X(2) 个产品中的不合格品个数 ：0、1、2、 ；nYn(3) 某商场一天内来的顾客数 ：0、1、2、；Z(4) 某种型号电视机的寿命 ： 。T,)2.1.1 随机变量的概念定义 2.1.1 定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量，常用大写 、X、 等表示；随机变量的取值用小写字母 、 、 等表示。YZxyz注意：(1) 随机变量 是样本点 的函数，其定义域为 ，其值域为()X，若 表示掷一颗骰子出现的点数，则 是不可能事件；(,)R 1.5X(2) 若 为随机变量，则 、 、均为随机事件，即：X
3、kab；:()abab(3) 注意以下一些表达式： kkaXbXa(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：若随机变量 可能取值的个数为有限个或可列个，则称 为离散随机变量；XX若随机变量 的可能取值充满某个区间 ，则称 为连续随机变量，其中X(,)abX可以是 ， 可以是 。前例 2.1.1 中的 、 、 为离散随机变量；而abYZ为连续随机变量。T2.1.2 随机变量的分布函数定义 2.1.2 设 是一个随机变量，对任意实数 ，称Xx()Fxp为随机变量 的分布函数，且称 服从 ，记为 ，有时也可用()F()XF表明是 的分布函数。()Xx定理 2.1.1 任一个分布函数
4、都有如下三条基本性质：()x(1) 单调性： 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数，即对()Fx(,)任意的 ，有 ；12x12(2) 有界性： ，有 ，且x0()1x()lim()xF(3) 右连续性： 是 的右连续函数，即对任意的 ，有()Fx 0x00li()x即： 。()x注：(1) 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2) 有了分布函数的定义，可以计算：()()paXbFa0等。()1()2.1.3 离散随机变量的概率分布列定义 2.1.3 设 是一个离散随机变量，如果 的所有可能取值是 、XX1x、 、，则称 取 的概率2xnix()iiipxXx(1,2,)i
5、n 为 的概率分布列或简称为分布列，记为 。XiXp分布列也可用下列形式表示： 1x2x nxp()()p ()p分布列的基本性质：(1) 非负性： ()0ix(1,2)i(2) 正则性： 。1iip注：(1) 上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件；(2) 离散随机变量的分布函数为： 。()()iixFp求离散随机变量的分布列应注意：(1) 确定随机变量的所有可能取值；(2) 计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意：(1) 是递增的阶梯函数；()Fx(2) 其间断点均为右连续的；(3) 其间断点即为 的可能取值点；X(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。例 2.
6、1.2 已知 的分布列如下：0 1 2p136求 的分布函数？X解：。0131()22xFx例 2.1.3 已知 的分布函数如下，求 的分布列？XX00.41()821xFx解： 的分布列如下：X0 1 2p0.4 0.4 0.22.1.4 连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量 的可能取值充满某个区间 ，所以对连续随机变量X(,)ab，有 ，从而无法仿离散随机变量用 来描述连续随机变X()0pcpXc量 的分布；定义 2.1.4 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在实数轴上的一个()Fx非负可积函数 ，使得对任意实数 ，有()pxx()Ftd则称 为连续随机变量，称 为 的概率密度函数，
7、简称为密度函数。X()pxX密度函数的基本性质：(1) 非负性： ；()0(2) 正则性： 。1pxd注：(1) 上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；(2) ；()()bapaX(3) 是 上的连续函数；Fx,(4) ；()(0)xF(5) ；()()()paXbpabpaXbpabFa(6) 当 在 点可导时， ，当 在 点不可导时，()xxFx。()0x离散随机变量与连续随机变量对比：离散随机变量 连续随机变量分布列： （唯一）()iipXx密度函数： （不唯一）()Xpx)iixFFtd且(0)a()()paba点点计较 ()0pXa为阶梯函数，即：()Fx(0)a为连
8、续函数，即：)Fx()例 2.1.4 设 ，求(1) 常数 ；(2) ?30xkeXpk(Fx解：(1) ；3k(2) 。1()00xeF例 2.1.5 设 ，求 ?()101pxxX其 它 ()Fx解： 。2010() 11xxFx例 2.1.6 设 与 同分布， 的密度为XYX2302()8xxp其 它已知事件 和 独立，且 ，求常数 ？AXaBYa3()4pABa解：因为 ，且 、 独立，得()pA2()2()p再由 解得：3)4AB1由此得 02a因此321()8aapXxd从中解得 。34a2.2 随机变量的数学期望2.2.1 数学期望的概念例 2.2.1（分赌本问题）若甲乙两赌徒赌
9、技相同，各出赌注 50 元，无平局，谁先赢 3 局，则获全部赌注，当甲赢 2 局、乙赢 1 局时，中止了赌博，问如何分赌本？赌本有两种分法：(1) 按已赌局数分：则甲分总赌本的 、乙分总赌本的 ；33(2) 按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得 是一个可能X取值为 0 或 100 的随机变量，其分布列为： X0 100p1434甲的“期望”所得是： 。130754这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期望是一种加权平均。2.2.2 数学期望的定义定义 2.2.1 设离散随机变量 的分布列为X()(iipXx(1
10、,2,)in 若 ，则称 为随机变量 的数学期望，简称期1|iii1)(iiExpX望或均值。若级数 不收敛，则称 的数学期望不存在。1|()iiixp定义 2.2.2 设连续随机变量 的密度函数为 ，若 ，X()px|()xpd则称 为随机变量 的数学期望，简称期望或均值。若级数()()EXxpd不收敛，则称 的数学期望不存在。|x例 2.2.2 设随机变量 的分布列如下：X10 1 2p0.2 0.1 0.4 0.3求 ?()EX解： 。10.2.10.42.3082.2.3 数学期望的性质定理 2.2.1 设随机变量 的分布用分布列 或用密度函数 表示，X()ipx()px若 的某一函数
11、 的数学期望 存在，则X()g()Eg。1()()iiixpEd例 2.2.3 设随机变量 的概率分布为：X0 1 2p1244求 ？2()EX解： 2221(0)(1)()。3614数学期望的性质：(1) 若 是常数，则 ；c()Ec(2) 对任意的常数 ，有 ；a()Xa(3) 对任意的两个函数 、 ，有1()gx212()()()EgXE例 2.2.4 设 ，求下列 的函数的数学期望01xp其 它 X(1) ；(2) ?21X2()解：(1) ；3E(2) 。2()62.3 随机变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即 取值的中心，有很大的局限性，在一些情况X下，仅知道平均值是不够的，
12、还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么量去表示随机变量 与其数学期望的偏离程度呢？显然，可用随机变量的平均值 来表示 与 的偏离程度，但为了数字|()|XE(|)|E()EX上处理的方便，通常用 来表示 与 的偏离程度。2()EXX()E2.3.1 方差与标准差的定义定义 2.3.1 若随机变量 的数学期望 存在，则称偏差平方22()的数学期望 为随机变量 （或相应分布）的方差，记2()XE()EXX为 221()()()i iixEpxVar Xd在 离 散 场 合在 连 续 场 合称方差的正平方根 为 （或相应分布）的标准差，记为 或 。()VarX()X注意：(1) 方差反映了随机
13、变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散。(2) 标准差的量纲与随机变量的量纲相同。2.3.2 方差的性质性质 2.3.1 。22()()VarXEX性质 2.3.2 若 为常数，则 。c0Varc性质 2.3.3 若 、 为常数，则 。b2()()baVrX例 2.3.1 设 ，求 和 ？()120pxxX其 它 ()E()解： 121()()()Edxdx；3123201|xx；23017()()()6Xpxx 。2276VarEX随机变量的标准化：设 ，令()0()XYVar则有 、 ，称 为 的标准化。()0EY()1VarYX2.3.3 切比雪夫不等式定理 2.3.
14、1（切比雪夫不等式）设随机变量 的数学期望和方差都存在，则对任意的常数 ，有0或 。2()(|)|VarXpXE2()(|)|1VarXpEX定理 2.3.2 若随机变量 的方差存在，则 的充要条件是 几乎(0处处为某个常数，即 。()1pa2.4 常用离散分布2.4.1 二项分布定义 如果随机变量 的分布列为X()(1)knknpXCp(0,1.)n则称这个分布为二项分布，记为 。,bp当 时，称 为二点分布或 分布。(,)b例 2.4.1 设 、 ，已知 ，求 ？2Xp(4,)Y8(1)9X(1)pY解：由 知 ，于是8(1)9p109022C从而解得 ，所以3。044(1)()1(23)
15、801pYpC二项分布的数学期望与方差：设 ，令 ，则(,)Xbnq011!()nnk knk kEpppq nk nqk1 )()!()!(nkknkqpC1)1(1n)(又因 2211!()()nk knnkEXpqkpq nkknnk 11 )!()!() pqpnkpn knk 2 )2(2)!()2(!)(qCnkk2)()1( npppn2)1()(于是 。22 2()VarXEXnpq2.4.2 泊松分布定义 如果随机变量 的分布列为()!kpXe(0,1.)其中参数 ，则称这个分布为泊松分布，记为 。0()XP泊松分布的数学期望与方差：设 ，则()XP100!()!kkkEpe
16、e 又因 2200()()!k kkkX 2210()!()!kkkee22于是 。22()()VarXEX二项分布的泊松近似：在二项分布中，当 较大时，直接计算是很麻烦的，下面我们给出一个当nn 很大而 p 很小时的近似计算公式。定理 2.4.1（泊松定理）在 重贝努里试验中，事件 在一次试验中出现的A概率为 （与试验总数 有关） ， （ 为常数） ，则对任意确定n nplim0的非负整数 ，有k。ekCpbnknnn !)1(li),;(lim证明：设 ，则 ，于是nnknknknknn kpCpkb )1()!()1)1(),;( 2()()()!k nkn对任意确定的 k，当 时 、n
17、1i )1,2(i、1knen所以。ekpnbn!),;(lim在实际计算中，当 ， 时，上式的近似值效果颇佳，而205.p且 时，效果更好。10p2.4.3 超几何分布定义 如果随机变量 的分布列为X()knMNCpX(0,1.)kr其中 、 、 且 、 、 均为整数，则称这个分布为mi,rnNM超几何分布，记为 。(,)hn超几何分布对应于无放回抽样模型：个产品中有 个不合格品，从中无放回地抽取 个，不合格品的个数为NMn。X2.4.4 几何分布与负二项分布定义 如果随机变量 的分布列为X1()(kpp(,2.)则称这个分布为几何分布，记为 。(Gep几何分布对应于抽样模型：为独立重复的伯
18、努里试验中， “首次成功”时的试验次数。X几何分布的数学期望与方差：设 ，令 ，则()Gep1qp111kkkk dEqpq20()()kddpqpq又因 2221111()()()kkkkkkEXpq2221 1 0() ()kkk kddpqqp2 321()()dqpp于是 。222()()pVarXEX定理 2.4.2（几何分布具有无记忆性）设 ，则对任意的正整数XGe与 ，有mn。(|)pXmn定义 如果随机变量 的分布列为X1()()rkrkCp(,1.)r则称这个分布为负二项分布（巴斯卡分布） ，记为 。(,)XNbrp负二项分布对应于抽样模型：为独立重复的伯努里试验中， “第
19、次成功”时的试验次数。Xr注：(1) 二项随机变量是独立 随机变量之和；01(2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和。2.5 常用连续分布2.5.1 正态分布定义 若随机变量 的概率密度函数为X2()1()xpxe)(x其中 和 为常数，且 ，则称随机变量 服从参数为 和 的正态分布，0X或高斯(Gauss)分布，称 为正态变量，记为 ，正态分布X2(,)N的密度函数 所表示的曲线称为正态曲线。),(2N2()1()xpxe正态分布的性质：(1) 正态曲线以 为对称轴；(2) 当 时取最大值 ；x21(3) 以 轴为水平渐近线，即 离 越远， 的值越小，且 时，x()pxx。()0px相应
20、的分布函数为： 2()1()2txFed和 的图形分别如下图所示：px当 固定，改变 的值， 的图形沿 轴平移而不改变形状，因而()ypxx又称为位置参数；其图如下：当 固定，改变 的值，则 的图形的形状随着 的增大而变得平()ypx坦，故 称为形状参数。其图如下：称参数 、 的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其01 (0,1)XN密度函数记为2()xxe)(x相应的分布函数为 21()txed其图如下：标准正态分布的计算：当 时， 的函数值可查表得到；0x)(x当 时，由 的对称性即 知，先查 ，再由y)(x)(x来得到 的函数值。)(1)(xx)(x例 2.5.1 若 ，求下列事件的概率
21、： (1) ；(2) 0,1XN(1.52)pX；(3) ；(4) ；(5) ？(.52)pX(.52)p(.751.2)pX|解：略。非标准正态分布的计算：定理 2.5.1 若 ，则 。2(,)XN(0,1)XYN利用定理 2.5.1，将非标准正态分布化为标准正态分布计算，即若 ，则令 ，于是2(,)。122112xxxxpxXpY例 2.5.2 若 ，求(1) ；(2) 若2(08,3)N(07)pX，求常数 ？()0.95paa解：(1) 118(127)( )33pXp7808)()(2)(2130.995(2) 由 10108()()().9533aapa反查表得： ，于是.64.。
22、108512953a正态分布的数学期望与方差：设 ，则2(,)XN2 2()11) ()x tEeded tt22 2 2()2221()()()x tVarXExeded 。22222|)(dtete正态分布的 原则：3设 ，则2(,)XN0.6821(|)(|)()954.73kXpXkpkk 可见在一次试验中， 几乎必然落在区间 内，或者说，在),(一般情形下， 在一次试验中落在区间 以外的概率可以忽略不X,3计，这就是通常所说的 原则。32.5.2 均匀分布定义 若随机变量 具有概率密度函数1()0axbpxb其 它则称 在区间 上服从均匀分布，记为 。X(,) (,)XUab相应的分
23、布函数为： 0()1xaxFbb和 的图形分别如下图所示：()px例 2.5.3 若 ，现对 进行 4 次独立观测，试求至少有 3 次观(0,1)XUX测值大于 5 的概率？解：设随机变量 是 4 次独立观测中观测值大于 5 的次数，则 ，Y (4,)Ybp其中 ()p由 得0,1XU05().dx于是，所求概率为。3444 5()(1)0.16pYCpp均匀分布的数学期望与方差：设 ，则(,)XUab12bExd222()3baa于是 。2222 2()()()()1abbaVrXEX2.5.3 指数分布定义 若随机变量 具有概率密度函数 0()xepx其中参数 ，则称 服从参数为 的指数分
24、布，记为 。0X()XExp相应的分布函数为： 10()xeF指数分布的数学期望与方差：设 ，则()XExp0 00 1( | |xxxxedede222 202) | xd于是 。2()()()VarXEX定理 2.5.2（指数分布的无记忆性）如果 ，则对任意的 、()XExp0s，有 。0t(|)()pstpt证明：由 知(XEx()se又因 ，于是t。()()(|) ()sttpXstepXst pXt例 2.5.4 若某设备在任何长为 的时间 内发生故障的次数 服从t0,t ()Nt，则相继两次故障之间的间隔时间 。()Pt()TExp证明：由 ，则()NtPt(!ktpte(0,1.
25、)又因两次故障之间的间隔时间 是非负的随机变量，且事件 表明此TTt设备在 没有发生故障，即 ，于是0,t()0tNt当 时，有()TFtp当 时，有t1()1()01ttpTtpte于是 的概率密度函数为 0()tTept即： 。()Ex2.5.4 伽玛分布函数 称为伽玛函数，其中参数 。10()xed 0伽玛函数具有如下性质：(1) 、 ；(1)(2)(2) ，当 为自然数 时，有n()(!nn定义 若随机变量 具有概率密度函数X10()0xepx其中 为形状参数， 为尺度参数，则称 服从伽玛分布，记为X。(,)XGa伽玛分布的数学期望与方差：设 ，则(,)XGa0(1)(xEed2122
26、0()(1)(xX于是 。222)()()VarEX定义 若随机变量 具有概率密度函数 21210()()0xnnepx则称 服从自由度为 的 分布，记为 。X22()Xn伽玛分布的两个特例：(1) ；(1,)()GaExp(2) 2n若 ，则2()X、 。En2Varn2.5.5 贝塔分布函数 称为贝塔函数，其中参数 、 。110(,)()abBbxdx 0ab贝塔函数具有如下性质：(1) ；(,)(,)(2) 。,()abB定义 若随机变量 具有概率密度函数X11()()0()0abxxbpx其 它其中 、 都是形状参数，则称 服从贝塔分布，记为 。0aX(,)XBeab贝塔分布的数学期望
27、与方差：设 ，则(,)XBeab110()(1)()()ababbaExdx110)()()abbX2()()()aa于是 22 2(1)( ()aVrXEXbb。2()1)ab贝塔分布的特例：。(1,)0,)BeU2.6 随机变量函数的分布在实际问题中，我们常要讨论随机变量函数的分布。例如分子运动的速度是随机变量，分子的动能 也是随机变量，它是 的函数。设 是X21YmXX随机变量， 是一个单值函数，则称 为随机变量 的函数。()gx()g2.6.1 离散随机变量函数的分布设 是离散随机变量， 的分布列为：XX1x2x nxp()()p ()p则 也是离散随机变量，其分布列为：()YgX1(
28、)gx2()x ()ngxpp p当 、 、 、中有某些值相等时，则将它们合并，将对应的1()gx2()ngx概率相加即可。例 2.6.1 设随机变量 的分布列如下，试求随机变量 的分布列？X2YXX210 1 2p0.2 0.1 0.1 0.3 0.3解：由题意得： Y2 0 0 2 60.2 0.1 0.1 0.3 0.3再将相同值合并得 的分布列为2YX0 2 6p0.2 0.5 0.32.6.2 连续随机变量函数的分布对连续随机变量 ，分情况讨论 的分布：X()YgX当 严格单调时：()gx定理 2.6.1 设 是连续随机变量，其密度函数为 ， 严格单()Xpx()yg调，其反函数 有
29、连续导函数，则 也是连续型随机变量，且其密度()hy()Yg函数为 ()|(|()0XYpayb其 它其中 、 。min),(agmx(),g证明：为求 的密度函数，先求其分布函数。当 为严格单调增函数时，它的反函数 也是严格单调增函数，()yx ()hy且 ，由于当 取值于 时， 取值于 ，所以0h),()(,当 时， ；ya()0YFyp当 时， ；b)1当 时y ()()()(hyY XFpgXyppxd于是， 的密度函数为；()()0XYphyayby其 它当 为严格单调减函数时，可以类似证明。gx定理 2.6.2 若 ，则当 时，有2(,)N0a。YaXba推论 若 ，则2(,)。0
30、1N例 2.6.2 设 ，试求 的分布?2(,)XYX解：由题意知： 仍是正态变量，且Y()()0EYE2VarVar所以 。2(0,)N注：分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念。定理 2.6.3（对数正态分布）若 ，则 的概率密度函数为2(,)XNXYe。2(ln)10()20yYepy定理 2.6.4 设 ，则当 时，有(,)XGa0k。(,Ykk定理 2.6.5 设 ，若 为严格单调增的连续函数，则()XFx()X。()0,1)XFU当 为其它形式时：gx若 对应的函数 不满足条件时，则可用定义来求，与定理()Y()ygx的证明类似。例 2.6.3 设 ，试求随机变量 的密度函数？
31、(0,1)XN2YX解：因为 在 上不是单调函数，所以用定义来求2xy),(由于当 取值于 时， 取值于 ，所以y),0当 时，有 ；0y()YFyp当 时，有2()()()2()1YypXyXy于是， 的密度函数为 120()0yYey即 。2(1)2.7 分布的其它特征数2.7.1 阶矩k定义 2.7.1 设 为随机变量， 为正整数，若 存在，则Xk|kEX),21(称 ()kkE为 的 阶原点矩。X若 存在，则称|()|k),21kvX为 的 阶中心矩。显然， 的数学期望 是 的一阶原点矩， 的方差 是 的二()EXX()VarX阶中心矩。2.7.2 变异系数定义 2.7.2 设随机变量
32、 的二阶矩存在，则称比值()()vVarXCE为 的变异系数。X作用： 是无量纲的量，用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大()vCX小。2.7.3 分位数定义 2.7.3 设连续随机变量 的分布函数为 ，密度函数为 ，对X()Fx()px任意的 ，称满足(0,1)ppxFd的 为此分布的 分位数，又称下侧 分位数；px p称满足1()()pxd的 为此分布的上侧 分位数。px分位数与上侧分位数之间的关系：、 。1p1px注：(1) 因为 小于等于 的可能性为 ，所以 大于 的可能性为 ；XpxpXpx1p(2) 对离散分布不一定存在 分位数。2.7.4 中位数定义 2.7.4 设连续随机变量 的分布函数为 ，密度函数为 ，称X()Fx()px时的 分位数 为此分布的中位数，即 满足0.5p0.5x0.5。0.5.()()xFpd中位数与均值比较：相同点：都是反映随机变量的位置特征；不同点：含义不同。2.7.5 偏度系数定义 2.7.5 设随机变量 的三阶矩存在，则称比值X33122()()vEX为 的分布的偏度系数，简称偏度。2.7.6 峰度系数定义 2.7.6 设随机变量 的四阶矩存在，则称比值X44222()3()vEX为 的分布的峰度系数，简称峰度。
