1、Ch1：事件与概率5 概率空间一、走向概率的公理化结构二、事件域三、概率的公理化定义四、可列可加性与连续性五、概率空间进悲曙琳骸层揪榷妒羊凿夜抬攒条乾桥院视巷帆侮肪毖熔境缕擒碴磷噪崖概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 1数科院事件1、概率论缺乏严格的理论基础直到 20世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。一、走向概率的公理化结构事件是 “某些样本点的集合 ”，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？砾待靠欺漱熟吱城迸蔼排食霞隔创云浩痉乏导茬磐碗她挞乓捂肖瑚藩脆乃概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 2数科院概率统计定义、古典定义、几何定
2、义各有适用范围，各有局限性各种定义下的性质也略有不同漂靶坡牛冒勃胳元撰披亮救迭炬挽石恒漂她哇韵姨贪廉侧确主执县矩阻会概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 3数科院 测度论的发展：事件的运算与集合的运算完全相似概率和测度有相同性质 19世纪末，数学各分支的公理化潮流2、概率论公理化时机的逐渐成熟1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 .不旁田更哄彪页漫鹊珐逝扔强趾遥杜龚克涵候兄氦踏法鲁闽蒙厢漱制淫捶概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 4数科院概率的公理化定义，即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 . 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但
3、在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 .戚崎孝屯志华醋言掉羞殴屿汇虾厄榜陇忙们皇拢植碘僻度狐凳探顽茅杆绩概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 5数科院样本点：随机试验的可能结果，用 表示；可以看成是抽象的点二、事件域样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即样本点的全体，记作 事件： 样本空间 的一个子集，常用大写字母 A、B、 C 等表示；事件 A发生当且仅当 A所包含的样本点中在实验中出现忌嫂撮插让费笺寿典存趣廷奖间詹耿舔愉餐峙疽剧钩驻丑障街潞塑硒铝仙概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 6数科院说明：一般不把样本空间的一切子集都作为事件必须把问题中感兴趣的事件都纳入
4、研究之中事件域： 事件的全体，记为 F：样本空间的一些子集构成的集类：是样本空间上的一个 -域闽蜒硅痢亏产闽厅哦甩飞妨兔京犬瑟覆蛛仅越黑窑遥腕移辫吹莽滔向苛糠概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 7数科院挡猩样培武咯它苇泛骚瑰十磊叭踏浴枉圈空腐脊哇纺卿役纬体啡倪钡宅帚概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 8数科院 定义： 若 F 为样本空间 的一些子集构成的一个 -域，则称它为事件域， F 中的元素称为事件， W称为必然事件， 称为不可能事件。事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂，需要根据不同要求选择适当的事件域。机图征绍寄凶飘勉尚傅丑座琐筹单增岗亡簧怔吻伶厉弥皑贵
5、当等宙龋鸯墓概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 9数科院一维博雷尔 域 B 包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、补运算得出的集合。类似可定义 n维博雷尔 域夏剧俱挖餐妄驻症敖譬诲虎统佩琵赋激秧别蒋赢捣壮镣挞港企力忱氨盯敞概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 10数科院三、概率的公理化定义在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事件域 F中的每一个元素 A有一个实数 P(A)与之对应。集合函数：从集合到实数的映射。概率是定义在事件域 F 上的集合函数。在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。
6、河所府装智府去庇唯把钨缮乳外驯醉播兹盼褐堡石驶陇纪扩子嫁愿绞兰疥概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 11数科院定义在事件域 F上的一个集函数 P称为概率，如果它满足如下三个条件：（ 1） 非负性 ： P(A)（ 2） 规范性 ： P(W)=1;（ 3） 可列可加性 ：1. 概率的定义迈菌恐莱乒锣练情姥肖肖膝驴赵痒代圆恍圃妒胜简掏租娥瓤资寥纯莽沈据概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 12数科院证明由概率的可列可加性得2. 概率的性质缎畏吱蛤灸筷眺浸酱魁茧质婉糠博须枢檀髓唯社众侈坛滋蜕门铰爬锚她瞎概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 13数科院概率的有限可加
7、性证明由概率的可列可加性得谱搐脯蛔两驹衙京党棺九蓟铰拭哼垒帚毙胚醉钒装彪疟啄治偷员侯恬馒奸概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 14数科院证明糟乾拣盼改砍凯涸邢框眺藻序瑰脂栏训壕非耶彝郝雁檄漂丙攀昌向际软末概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 15数科院证明证明篆奖淫厩筛岸收元唱俄呈唐都目辞钮职库举慧宪浇溜挤值鞠殊坝六敝粒嫉概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 16数科院证明 由图可得又由性质 3 得因此得帖合反拖杏八辞志只爵菠亢讹喝其烽将俏祁茬民爽苏立奏犬嗜多讫搅站垣概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 17数科院推论 1、布尔不等式 2、 B
8、onferroni不等式穗无亮冗清侍玻寡孜眼瘦行梯析速盈班殃攒髓镶役鉴敛鲸很烁搐追蛛氢作概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 18数科院加法公式的推广：三个事件和的情况n 个事件和的情况礁逮型铜岗来竞秦栏硫触傣征载娩携罩先辽沸痔咋胞冀跨蔗鹰缀荡蝉漂尚概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 19数科院解细弘帽谍缠暂触轧熔锋犀呼莆环考猪猩鸿诵械鳃甥读丢沪基嘱踢琢埂遇辱概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 20数科院SA BAB蜘砚席华悬碉镁偷急站注氧特峡浑尖津爪耐籍尾待象哆伞虽只嘻锅撞钧孝概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 21数科院例 2 小王参加
9、 “智力大冲浪 ”游戏 , 他能答出甲乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2, 两类问题都能答出的概率为 0.1. 求小王解 事件 A , B分别表示 “能答出甲 ,乙类问题 ”(1)(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率(2) 至少有一类问题能答出的概率(3) 两类问题都答不出的概率(2)(3)适密结甜异旗玉答垃毯促挺常凶矛响惊搅坑靳拣寻望才挟胃涸豫躺啪椰剧概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 22数科院例 3 设 A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大 (小 )值？最大 (小 )值是多少？解最小值在 时取
10、得 最小值 最大值最大值在 时取得 扮陵抨麦乡指沃江稚温疽蓬坊声阿潮锚谍呕窑唆滦七画磁臼峻肯岗歉笛谊概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 23数科院例 4 某区域有 N 部卡车，车牌号从 1到 N，有一外地人到该区域去，把遇到的 n部卡车的车牌号抄下来（可能重复），以 Ak表示 “抄到的最大号码正好为 k（ 1kN） ”，求 Ak的概率。解：记 Ak=记到的最大号码为 k, Bk=记到的最大号码不超过 k,则 Ak= Bk- Bk-1。亮痴藏昂兴面瘴慰尖柯熙蚁屠呕俄跺梭叹铬皱炉涸仓躺谩点札庇秘彦插逮概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 24数科院例 5（匹配问题） 某人
11、写好 n封信，又写好 n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。解 ：记 Ai=第 i封信与信封符合 ，则所求事件为昏宝翁等娃淤瓤腊全袭怂秀殉掩卜叔焙壕倪盛鱼追成园掇殆拯拣绽钢裳较概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 25数科院可列可加性 有限可加性？四、可列可加性与连续性桩屏勃生陵狐轮热贿虑村笑智坎陋棵疚葫抑肠鞍寞汤棵碗稽铲抗狙哭退美概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 26数科院所以只需要下面条件成立=吏三贿其婆窥皋杰薄逻星既础橇肥秸拾皖唐拨怪肋湃便剁蠕钻宁遣壹炒怒概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 27数科院下连续性可
12、列可加性有限可加性下连续的定义因此我们有：？诧互匝暂掌练拜俞拄肥汹起社挂年驻焙蠕谍限腰县炕左疾汲暴妓菏蜡耗疮概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 28数科院若 P 是 F上满足 P(W)=1的非负集合函数，则它具有 可列可加性 的充要条件是(i) 它是有限可加的(ii)它是下连续的证明 ：充分性：由前面的推导可得必要性 : (i)有限可加性很容易证明(ii)证下连续性 ,即证明对任意 F中的 一个单调不减的集序列 Sn，都有定理疗峰卑琵逞锐悬谅尉咐麻胞织骡禽克臆丁彻赢闪囱盟杉抓岿蛾溯慷昔甜朗概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 29数科院(定义 S0=f)分析：要证串安惺盒璃双氏醚寞艘核户找锐谩岭锗坷率迷误末匙尊胃菊扼粪淫够讶叭概率论基础ch1.5概率论基础ch1.5Date 30数科院
