1、七年级有理数讲义 1第一章 有理数知识点提要1.1 正数和负数 0 以外的数前面加上负号“”的书叫做负数，其余叫做正数。 数既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2 有理数 1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。 注意事项 ：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 同一根数轴，单位长度不能改变。 一般地，设是一个正数，则数轴上表示 a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a 的点在原点的左边，与原点的距离是
2、a 个单位长度。1.2.3 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数。1.2.4 绝对值 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 注意事项 ：比较有理数的大小：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 例题【考题 11】|2 2|的值是（ ）A2 B.2 C4 D4解 C 点拨
3、：由于 22=4，而| 4|=4故选 C【考题 12】在下面等式的内填数， 内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：=6 ；= 6 七年级有理数讲义 2解： 2 4 = 6 点拨：此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符合题目要求即可【考题 13】自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以 3 后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数 R，它会掉入一个数字“ 陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”那么最终掉人“ 陷井”的这个固定不变的数 R=_解：13 点拨：可
4、任意举一个自然数去试验，如 15，(1+5 ）3+1=19， （1+9 ）3+1=31，(3+1）3+1=13(1+3）3+1=13，【考题 14】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所已知青少年宫在学校东 300m 处，商场在学校西 200m 处，医院在学校东 500m 处若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用 1 个单位长度表示 100m （1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离：解：（1）如图 121 所示：（2）300 （200 ）=500（m） ；或| 200300 |=500（m） ；或 300
5、+|200|=500（m ） 答：青少宫与商场之间的距离是 500m。三、针对性训练：(30 分钟 ) 1（4）的相反数是_，（+8）是_的相反数 （考察相反数的概念）2若 的倒数与 互为相反数，则 a 等于（ ） （考察相反数的概念）3a 2a-933已知有理数 x、y 满足 求 xyz 的值 （考察绝1+2y-4z6=0x，对值的性质）4如图 122 是一个正方体盒子的展开图，请把-10，8， 10，2 ，8 ，2 分别填入六个 小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数 （综合运用一七年级有理数讲义 3二章知识）5在数轴上 a、b、c、d 对应的点如图 123 所示，化简|
6、a b|+|cb|+|cc| +|db|.（考察数轴上的点的大小何正负关系）6把下面各数填入表示它所在的数集里 （考察有理数的分类）3，7， ，0，2003，141 ，0608， 5 25正有理数集 ； 负有理数集 ；整 数 集 ； 有理 数 集 ；7已知 a 与 b 互为倒数， c 和 d 互为相反数，且|x|=6，求式子 的23ab-(c+d)x值 （考察倒数相反数概念）8比较 与 的大小 （借助绝对值比较两数的大小）1516 29321.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大
7、的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 加法交换律：abb a 加法结合律：(ab)c a(b c) 1.3.2 有理数的减法 有理数的减法可以转化为加法来进行。 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数。aba(b) 1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法 有理数乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2） 任何数同 0 相乘，都得 0。（3） 乘积是 1 的两个数互为倒数。 七年级有理数讲义 4（4） 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数
8、是奇数时，积是负数。 乘法交换律：abba 乘法结合律：（ab）ca（bc）乘法分配律：a（bc）ab ac 1.4.2 有理数的除法 有理数除法法则： （1） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 aba (b0) 1（2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3） 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数， n
9、叫做指数，当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂。 注意事项 ：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。 有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；同极运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 1.5.2 科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 a10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，n是正整数） ，使用的是科学记数法。 用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n1。 1.5.3 近似数和有效数字 接近实际数目，
10、但与实际数目还有差别的数叫做近似数。 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 注意事项 ：对于用科学记数法表示的数 a10n，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字【考题 21】今年我市二月份某一天的最低气温为5 oC， 最高气温为 13 oC，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A18 oC B18 oC C13 oC D5 oC解：B 点拨：13（ 5）135=18（） 七年级有理数讲义 5【考题 22】生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养 级的能量，大约只有 10的能量能够流动到下一个
11、营养级，在 H1H2 H3H4H5H6 这条生物链中， （H n 表示第 n 个营养级，n=l，2， ，6） ，要使 H6 获得 10 千焦的能量，需要 H1 提供的能量约为（ ）千焦A10 4 B10 5 C 106 D 107解:C 点拨：因只有 10的能量从上一营养级流到下一营养级，所以要使 H6获得 10 千焦的能量，则 H1 需 100 千焦，以此类推， H1 需提供 106 千焦【考题 23】计算：6 1 =_解： 16点拨：需用 1(a0,p)pa其 中 为 正 整 数三、针对性训练：(45 分钟 ) (答案：212 ) 4、152-+-46342.873abcd abcd=9,
12、+cd、 计 算 ：、 计 算 ：、 已 知 、 、 、 是 四 个 互 相 不 相 等 的 整 数 ， 且 求 的 值 。223341110.5+(-)-4()()(-)22计 算 ：5、我们平常用的数是十进制的数 如 2639=2 1036 1023 102910 ，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码：0，1如二进制中：1011220 21+ 120 等于十进制的数 5；10111 124+023+122+121+120 等于十进制的数 23请问二进制中的 1101 等于十进制中的哪个数？_7已知|x|=3，|y|=2
13、 ，且 xy0，则 x+y 的值等于_8计算 12|18|+( 7)+(15)其中错误的个数是（ ）七年级有理数讲义 6A3 B4 C5 D6单元检测 一、选择题（本大题共 15 小题，共 45 分）：1、在1，2，1，2 四个数中，最大的一个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）1 （D）22、有理数 3的相反数是（ ）（A） （B） （C）3 （D） 33、计算 |的值是（ ）（A）2 （D） 21 （C） 21 （D）24、有理数3 的倒数是（ ）（A）3 （B） 3 （C）3 （D） 35、 是（ ）（A）整数 （B）分数 （C）有理数 （D）以上都不对6、计算：（1）（2）等于（ ）（
14、A）l （B） 1 （C）3 （D）37、大于3.5，小于 2.5 的整数共有（ ）个。（A）6 （B）5 （C）4 （D）38、如果 a|，那么 a 是（ ）（A）0 （B）0 和 1 （C）正数 （D）非负数9、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（ ）（A）同号，且均为负数 （B）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大（C）同号，且均为正数 （D）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大二、填空题：（本大题共 5 小题，共 15 分）七年级有理数讲义 710、如果向银行存入人民币 20 元记作+20 元，那么从银行取出人民币 32.2 元记作_。11、比较大小：_3.14（填
15、=，号） 。12、 642。13、一个数的倒数等于它的本身，这个数是_。三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 40 分）14、 （本题 6 分）在数轴上表示下列各数：0，2.5， 213，2，+5， 31。16、 （本题 12 分）直接写出答案：（1） |23|=_； （2） 75=_；（3） 1=_； （4） 410._；17、 （共 22 分）计算下列各题（要求写出解题关键步骤）：（1） （4 分） 25 （2） （本题 6 分）4321（3） （本题 6 分） （4） （本题 6 分） （3）（7） ）（）（ 3215（5） （本题 6 分） （3.6）（2.5） （6） （本题 6 分）（ 128324七年级有理数讲义 8（7） （本题 6 分） )53(1072(（8） （本题 6 分） （4.7）（8.9）（7.5）（6）18、某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自 A 地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；问：，最后他们是否回到出发点？若没有，则在 A 地的什么地方？距离 A 地多远？，若每千米耗油 0.05 升，则今天共耗油多少升？
